AP Statistics

dạng của mối liên hệ

form of association

Còn gọi: form of association

Dạng của mối liên hệ là hình dạng tổng thể của đám mây điểm, cho biết hai biến định lượng liên hệ theo đường thẳng hay đường cong.

Khi vẽ biểu đồ phân tán (scatterplot) cho hai biến định lượng, người ta thường mô tả mối liên hệ (association) giữa chúng qua bốn đặc điểm: dạng, hướng, độ mạnh và giá trị ngoại lai. Trước tiên, dạng của mối liên hệ (form of association) được nhìn đến vì nó cho biết đám mây điểm chạy theo đường thẳng hay uốn theo đường cong: nếu các điểm bám sát một đường thẳng, đó là dạng tuyến tính, còn nếu chúng tạo thành hình chữ U hay đường cong tăng dần, đó là dạng phi tuyến. Vì hệ số tương quan r và mô hình hồi quy tuyến tính chỉ mô tả tốt mối liên hệ dạng tuyến tính, nên việc xác định đúng dạng có ý nghĩa quyết định. Do đó, nếu áp dụng chúng cho dữ liệu có dạng cong, kết quả sẽ gây hiểu lầm dù r tính ra có vẻ lớn, chẳng hạn một đám mây hình chữ U vẫn có thể cho r gần 0 dù hai biến có quy luật rõ ràng. Vì vậy, trước khi tính tương quan hay lập phương trình hồi quy, cần nhìn biểu đồ phân tán để xác nhận dạng liên hệ là tuyến tính. Khi nghi ngờ dạng phi tuyến, người ta thường kiểm tra qua đồ thị phần dư (residual): nếu phần dư xếp thành hình vòng cung thay vì rải ngẫu nhiên quanh 0, đó là dấu hiệu dữ liệu không có dạng đường thẳng. Khi đó, cần biến đổi dữ liệu (data) hoặc chọn mô hình phi tuyến phù hợp hơn thay vì tiếp tục dùng hồi quy tuyến tính.

Ký hiệur (chỉ đo dạng tuyến tính)

Trực giác: Giống như nhìn một đàn chim bay để đoán chúng đang bay thành hàng thẳng hay lượn theo vòng cung.

Thử nghiệm tương tác

Nặn lại đám điểm — nhìn dạng đổi mà hệ số tương quan vẫn cao

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Hệ số tương quan không cho biết dạng của mối liên hệ.

Giá trị $r$ gần $0$ không có nghĩa hai biến không liên hệ gì với nhau.

Dạng và chiều là hai câu hỏi khác nhau, đừng gộp thành một.

Đường thẳng khớp đẹp trên biểu đồ gốc chưa chứng minh dạng tuyến tính.

Mẹo phòng thi

Mô tả một biểu đồ phân tán phải đủ bốn phần và phải có ngữ cảnh.

Khi dạng là đường cong, đừng dùng chữ "tương quan" trong câu trả lời.

Trước khi dự đoán bằng phương trình hồi quy, hãy nói một câu về dạng.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một trung tâm kiểm định an toàn giao thông cho cùng một mẫu xe phanh gấp ở năm tốc độ khác nhau và ghi lại quãng đường xe đi thêm cho tới khi dừng hẳn. Tốc độ

x

(mph): 20, 30, 40, 50, 60. Quãng đường phanh

y

(ft): 22, 45, 77, 118, 170. Phần mềm thống kê báo hệ số tương quan (correlation coefficient)

r = 0{,}988

và đường hồi quy bình phương tối thiểu

\hat{y} = -61{,}2 + 3{,}69x

aDựa trên các số liệu, hãy mô tả chiều và dạng của mối liên hệ giữa tốc độ và quãng đường phanh.
bTính phần dư tại năm điểm dữ liệu và cho biết biểu đồ phần dư gợi ý điều gì về việc dùng mô hình đường thẳng ở đây. Giá trị $r = 0{,}988$ có đủ để khẳng định dạng tuyến tính hay không?

1Bước 1: Trước hết hãy xem

y

thay đổi ra sao khi

x

tăng đều mỗi 10 mph. Các mức tăng liên tiếp là

45-22=23

77-45=32

118-77=41

và

170-118=52

. Vì

y

luôn tăng khi

x

tăng nên chiều của mối liên hệ là đồng biến, tức là chiều dương.

2Bước 2: Tuy nhiên bản thân các mức tăng đó lại không đứng yên: 23, 32, 41, 52 là một dãy càng lúc càng lớn. Một đường thẳng đòi hỏi mỗi 10 mph phải cộng thêm một lượng quãng đường như nhau, điều đó rõ ràng không xảy ra. Do đó trên biểu đồ tán xạ (scatterplot) các điểm nằm trên một đường cong đi lên và lõm lên trên, nghĩa là dạng cong (curved), không phải dạng thẳng.

3Bước 3: Bây giờ kiểm chứng lại bằng phần dư

e = y - \hat{y}

. Thay lần lượt vào

\hat{y} = -61{,}2 + 3{,}69x

: tại

x=20

ta được

\hat{y}=12{,}6

nên

e = 22 - 12{,}6 = 9{,}4

; tại

x=30

\hat{y}=49{,}5

nên

e=-4{,}5

; tại

x=40

\hat{y}=86{,}4

nên

e=-9{,}4

; tại

x=50

\hat{y}=123{,}3

nên

e=-5{,}3

; tại

x=60

\hat{y}=160{,}2

nên

e=9{,}8

. Tổng năm phần dư bằng

0

, đúng như tính chất của đường hồi quy bình phương tối thiểu.

4Bước 4: Xếp các phần dư theo thứ tự

x

tăng dần, ta được

+9{,}4

-4{,}5

-9{,}4

-5{,}3

+9{,}8

: dương ở hai đầu, âm ở giữa. Đó chính là hình chữ U trên biểu đồ phần dư (residual plot), dấu hiệu kinh điển cho thấy đường thẳng đã bỏ sót một độ cong có hệ thống của dữ liệu. Vì vậy mô hình tuyến tính không phù hợp, dù nó đi qua khá sát các điểm.

5Bước 5: Còn giá trị

r = 0{,}988

thì sao? Hệ số tương quan chỉ đo mức độ các điểm bám sát một đường thẳng, và nó vẫn có thể rất gần

1

khi dữ liệu nằm trên một đường cong đơn điệu như ở đây. Nói cách khác,

r

lớn chưa bao giờ là bằng chứng cho dạng tuyến tính; chỉ có hình dạng của biểu đồ tán xạ và biểu đồ phần dư mới trả lời được câu hỏi về dạng.

Mối liên hệ giữa tốc độ và quãng đường phanh có chiều dương và dạng cong, lõm lên trên: xe chạy càng nhanh thì mỗi 10 mph tăng thêm lại kéo theo một mức tăng quãng đường phanh lớn hơn trước. Biểu đồ phần dư có hình chữ U ( $+9{,}4$ ; $-4{,}5$ ; $-9{,}4$ ; $-5{,}3$ ; $+9{,}8$ ) khẳng định điều đó, nên không nên dùng $\hat{y} = -61{,}2 + 3{,}69x$ để dự đoán quãng đường phanh, bất chấp $r = 0{,}988$ .

2Ví dụ 2/2

Một nhóm học sinh nuôi cấy vi khuẩn và đếm số lượng khuẩn lạc sau mỗi giờ. Thời gian

t

(giờ): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Số khuẩn lạc

y

: 20, 40, 80, 160, 320, 640. Để phân tích, nhóm lập thêm cột

\log_{10} y

và thu được: 1,301; 1,602; 1,903; 2,204; 2,505; 2,806.

aMô tả dạng của mối liên hệ trên biểu đồ tán xạ gốc giữa $t$ và $y$ , và trên biểu đồ giữa $t$ và $\log_{10} y$ .
bViết mô hình dự đoán cho $\log_{10} y$ , chuyển về mô hình cho $y$ , rồi dự đoán số khuẩn lạc tại $t = 7$ giờ.

1Bước 1: Trên dữ liệu gốc, mỗi giờ trôi qua số khuẩn lạc không cộng thêm một lượng cố định mà nhân lên gấp đôi:

40/20 = 2

80/40 = 2

, và tương tự cho các bước sau. Các mức tăng tuyệt đối là 20, 40, 80, 160, 320 — tăng rất nhanh. Vì thế biểu đồ tán xạ gốc có chiều dương nhưng dạng cong, lõm mạnh lên trên, đúng kiểu tăng trưởng mũ.

2Bước 2: Sau phép biến đổi lô-ga (log transformation), hãy xét các hiệu liên tiếp của cột

\log_{10} y

1{,}602 - 1{,}301 = 0{,}301

, rồi

1{,}903 - 1{,}602 = 0{,}301

, và cả ba hiệu còn lại cũng đều bằng

0{,}301

. Mỗi giờ cộng thêm đúng một lượng như nhau, nên các điểm nằm thẳng hàng hoàn hảo. Nhờ đó dạng của mối liên hệ sau biến đổi là tuyến tính.

3Bước 3: Từ đó viết ngay được đường thẳng, với hệ số góc là

0{,}301

và tung độ gốc là giá trị tại

t = 0

\widehat{\log_{10} y} = 1{,}301 + 0{,}301\,t

Công thức này nói rằng mỗi giờ, lô-ga thập phân của số khuẩn lạc dự đoán tăng thêm

0{,}301

đơn vị.

4Bước 4: Chuyển ngược về thang đo gốc bằng cách lấy lũy thừa cơ số 10 hai vế:

\hat{y} = 10^{1{,}301 + 0{,}301t} = 10^{1{,}301}\cdot\left(10^{0{,}301}\right)^{t} = 20\cdot 2^{t}

Vì

10^{1{,}301} \approx 20

và

10^{0{,}301} \approx 2

, mô hình mũ này tái hiện đúng quy luật cứ mỗi giờ số khuẩn lạc lại nhân đôi.

5Bước 5: Cuối cùng, thay

t = 7

\hat{y} = 20\cdot 2^{7} = 20\cdot 128 = 2560

. Có thể kiểm tra lại bằng đường thẳng:

\widehat{\log_{10} y} = 1{,}301 + 0{,}301\cdot 7 = 3{,}408

, và

10^{3{,}408} \approx 2560

. Hai cách cho cùng một kết quả, đúng như mong đợi.

Biểu đồ tán xạ gốc giữa thời gian và số khuẩn lạc có chiều dương với dạng cong theo kiểu tăng trưởng mũ, còn biểu đồ giữa thời gian và $\log_{10} y$ có dạng tuyến tính hoàn hảo. Mô hình tương ứng là $\widehat{\log_{10} y} = 1{,}301 + 0{,}301t$ , tức $\hat{y} = 20\cdot 2^{t}$ , và tại $t = 7$ giờ ta dự đoán khoảng $2560$ khuẩn lạc. Đây là tình huống mà việc nhận đúng dạng của mối liên hệ dẫn thẳng tới lựa chọn phép biến đổi: cong kiểu mũ thì lấy lô-ga của biến phản hồi rồi mới hồi quy tuyến tính.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyĐồ thị quan hệ giữa hai biến định lượngPhân tích hồi quy · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyHệ số tương quan rPhân tích hồi quy · khoá AP Statistics

Cần trướcmối liên hệ biểu đồ phân tán

Dẫn tớibiểu đồ phần dư đường hồi quy bình phương tối thiểu

Liên quanchiều của mối liên hệ liên hệ tuyến tính

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

chiều của mối liên hệ (direction of association)direction of association

Khác nhau ở đâuDạng nói đám điểm đi theo đường thẳng hay đường cong. Chiều chỉ nói hai biến cùng tăng hay ngược nhau.

Hay nhầm khiKhi đề yêu cầu mô tả biểu đồ phân tán, thí sinh hay viết "thuận" rồi tưởng đã trả lời xong phần dạng.

hệ số tương quan (correlation coefficient)correlation coefficient

Khác nhau ở đâuDạng của mối liên hệ được nhận ra bằng mắt từ đồ thị. Hệ số tương quan chỉ đo độ mạnh của phần tuyến tính bằng một con số.

Hay nhầm khiThấy

r

gần

0

liền kết luận hai biến không liên hệ, trong khi dữ liệu có thể mang dạng cong rất rõ.

Thử nghiệm tương tác

Hay hiểu sai

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

Bạn nắm chắc chưa?

Học tiếp từ đây

Hay nhầm với

Cùng chủ đề