Đang tải bài học…

AP Statistics

mối liên hệ thuận

positively associated

Mối liên hệ thuận là mối quan hệ giữa hai biến định lượng trong đó giá trị lớn của biến này đi kèm với giá trị lớn của biến kia.

Khi nghiên cứu hai biến định lượng trên cùng một tập hợp cá thể, ta thường tự hỏi liệu chúng có biến thiên cùng chiều hay không. Mối liên hệ thuận (positively associated) xuất hiện mỗi khi giá trị lớn của biến thứ nhất có xu hướng đi kèm với giá trị lớn của biến thứ hai, và ngược lại, giá trị nhỏ của biến này đi kèm với giá trị nhỏ của biến kia. Trên biểu đồ phân tán (scatterplot), các điểm dữ liệu sẽ dàn trải theo hướng đi lên từ trái sang phải, tạo thành một dải mây điểm nghiêng lên.

Do đó, khi vẽ đường hồi quy qua đám mây điểm đó, hệ số góc của đường sẽ mang dấu dương — nghĩa là khi $x$ tăng thì $y$ cũng tăng theo xu hướng tuyến tính. Hệ số tương quan (correlation coefficient) $r$ trong trường hợp này nhận giá trị dương, và $r$ càng gần $1$ thì các điểm càng bám sát đường thẳng, cho thấy mối liên hệ càng chặt chẽ. Tuy nhiên, cần nhớ rằng $r > 0$ chỉ đo cường độ và hướng của mối liên hệ tuyến tính, chứ không khẳng định biến này gây ra biến kia.

Vì vậy, khi đọc một biểu đồ phân tán, bước đầu tiên là quan sát hướng tổng thể của đám mây điểm trước khi tính toán bất kỳ hệ số nào. Nếu dải điểm đi lên rõ rệt, ta có cơ sở để kết luận hai biến liên hệ thuận và tiếp tục đo lường mức độ chặt chẽ bằng $r$ . Ngược lại, nếu đám mây điểm nằm ngang hoặc hỗn loạn, việc tìm đường hồi quy sẽ không mang lại ý nghĩa thực tiễn, dù $r$ có khác không đôi chút.

Ký hiệur > 0

Trực giác: Khi chiều cao của học sinh tăng lên, sải tay của các em cũng dài ra theo — hai số đo cùng đi lên, đó là liên hệ thuận.

Thử nghiệm tương tác

Kéo các điểm bên phải tụt xuống — nhìn dấu của r đổi từ dương sang âm

Hay hiểu sai

Mối liên hệ thuận không có nghĩa là mọi điểm đều đi lên.

Thuận nói về hướng, không nói gì về độ mạnh.

Liên hệ thuận không chứng minh biến này gây ra biến kia.

Đừng gọi mọi dạng đi lên là "tương quan dương".

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một giáo viên muốn tìm hiểu quan hệ giữa thời gian ôn tập và kết quả thi thử. Cô chọn 5 học sinh, ghi lại số giờ mỗi em tự ôn trong tuần trước kỳ thi (

x

) và điểm bài thi thử thang 20 (

y

(2;5)

(4;9)

(6;10)

(8;14)

(10;17)

aMô tả chiều của mối liên hệ giữa hai biến và giải thích căn cứ.
bTính hệ số tương quan và nêu ý nghĩa của dấu cũng như độ lớn của nó.
cTìm đường thẳng hồi quy dự đoán điểm thi thử theo số giờ ôn tập, giải thích hệ số góc, và cho biết có thể kết luận rằng ôn nhiều làm điểm cao hơn hay không.

1Bước 1: Trước hết cần đặt đúng vai trò của hai biến: số giờ ôn tập là biến giải thích nên đặt trên trục hoành, còn điểm thi thử là biến phản hồi nên đặt trên trục tung. Khi chấm năm cặp giá trị lên biểu đồ phân tán (scatterplot), ta thấy các điểm đi lên từ trái sang phải: em ôn 2 giờ được 5 điểm, còn em ôn 10 giờ được 17 điểm. Nói cách khác, những giá trị lớn của

x

đi kèm với những giá trị lớn của

y

, đúng như định nghĩa của mối liên hệ thuận. Nếu ngược lại, giá trị lớn của biến này đi kèm giá trị nhỏ của biến kia, ta sẽ nói hai biến có mối liên hệ nghịch (negatively associated).

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân tích hồi quy · bài “Đồ thị quan hệ hai biến định lượng (scatterplot)” — khoá AP Statistics

Dẫn tớihệ số tương quan

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

mối liên hệ âmnegatively associated

Khác nhau ở đâuLiên hệ thuận: hai biến cùng tăng cùng giảm; liên hệ âm: một biến tăng thì biến kia giảm

Hay nhầm khikhi biểu đồ phân tán có nhiều nhiễu hoặc xu hướng yếu, học sinh dễ đoán nhầm chiều của liên hệ

mối quan hệ thuậnpositive relationship

Khác nhau ở đâu"liên hệ" mô tả xu hướng thống kê quan sát được trong dữ liệu, còn "quan hệ" đôi khi ngụ ý mối nối nhân quả mạnh hơn

Hay nhầm khiđề AP dùng cả hai cụm gần như hoán đổi nhau, học sinh tưởng đây là hai khái niệm riêng biệt

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 169.

Kéo các điểm bên phải tụt xuống — nhìn dấu của r đổi từ dương sang âm

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mô tả đồ thị phân tán phải đủ bốn phần: hướng, dạng, độ mạnh, ngữ cảnh.

Kiểm tra dấu: $r$ , độ dốc (slope) $b$ của đường hồi quy và hướng liên hệ luôn cùng dấu.

Gặp từ "cause" trong đề, viết ngay câu phủ nhận nhân quả kèm một biến gây nhiễu cụ thể.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

2Bước 2: Để lượng hóa nhận xét trên, ta tính các tổng bình phương độ lệch. Trung bình của hai biến là

\bar x = 30/5 = 6

và

\bar y = 55/5 = 11

, nên các độ lệch của

x

lần lượt là

-4, -2, 0, 2, 4

và của

y

là

-6, -2, -1, 3, 6

. Từ đó

S_{xx} = 16+4+0+4+16 = 40

S_{yy} = 36+4+1+9+36 = 86

và

S_{xy}=\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=24+4+0+6+24=58.

Điều đáng chú ý là cả năm tích trong tổng

S_{xy}

đều không âm, vì mỗi học sinh ôn trên mức trung bình cũng đạt điểm trên mức trung bình; chính điều này làm

S_{xy}

dương và báo hiệu chiều thuận.

3Bước 3: Hệ số tương quan (correlation coefficient) được tính bằng

r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}=\frac{58}{\sqrt{40\cdot 86}}=\frac{58}{\sqrt{3440}}\approx 0{,}989.

Dấu dương của

r

khẳng định lại chiều thuận đã nhìn thấy trên biểu đồ, còn độ lớn gần

1

cho biết các điểm nằm rất sát một đường thẳng. Vì vậy, ở đây việc dùng một mô hình tuyến tính để mô tả quan hệ là hợp lý.

4Bước 4: Đường hồi quy bình phương nhỏ nhất (least-squares regression line) có hệ số góc

b = S_{xy}/S_{xx} = 58/40 = 1{,}45

và tung độ gốc

a = \bar y - b\bar x = 11 - 1{,}45\cdot 6 = 2{,}3

, tức là

\hat y = 2{,}3 + 1{,}45x

. Hệ số góc dương một lần nữa phản ánh mối liên hệ thuận: mỗi giờ ôn tập tăng thêm ứng với điểm thi thử dự đoán tăng thêm khoảng

1{,}45

điểm. Cần nói "dự đoán" và "ứng với", chứ không nói "làm tăng", vì đó mới là điều dữ liệu cho phép khẳng định.

5Bước 5: Cuối cùng, phải phân biệt liên hệ với nhân quả. Đây là dữ liệu quan sát trên 5 học sinh tự chọn thời lượng ôn tập, không phải một thí nghiệm có phân nhóm ngẫu nhiên, nên những biến gây nhiễu như năng lực nền, động cơ học tập hay chất lượng giấc ngủ đều có thể đồng thời làm tăng cả số giờ ôn lẫn điểm số. Do đó, dù

r

rất gần

1

, ta chỉ được kết luận về sự đồng biến chứ không được kết luận rằng ôn tập gây ra điểm cao. Thêm nữa, cỡ mẫu chỉ có 5 nên kết luận càng phải thận trọng.

Hai biến có mối liên hệ thuận: học sinh ôn nhiều giờ hơn cũng có điểm thi thử cao hơn, thể hiện qua $S_{xy}=58>0$ và $r\approx 0{,}989$ — một liên hệ thuận, tuyến tính và rất mạnh. Đường hồi quy $\hat y = 2{,}3 + 1{,}45x$ cho biết cứ thêm một giờ ôn tập thì điểm dự đoán tăng khoảng $1{,}45$ điểm. Tuy nhiên, vì đây là nghiên cứu quan sát nên không thể kết luận rằng việc ôn tập là nguyên nhân làm điểm thi tăng.

2Ví dụ 2/2

Một nhóm nghiên cứu theo dõi 12 cây bạch đàn non, ghi tuổi cây tính theo tuần (

x

, từ 2 đến 30 tuần) và chiều cao tính theo centimét (

y

). Biểu đồ phân tán cho thấy các điểm đi lên nhưng cong: giai đoạn đầu chiều cao tăng chậm, càng về sau càng tăng nhanh. Máy tính báo hệ số tương quan

r = 0{,}94

, đường hồi quy

\hat y = -8{,}6 + 3{,}2x

, và biểu đồ phần dư (residual plot) có dạng chữ U rõ rệt.

aHai biến này có mối liên hệ thuận hay nghịch? Nêu hai căn cứ khác nhau.
bMột học sinh lập luận: vì hai biến liên hệ thuận và $r = 0{,}94$ nên mô hình đường thẳng là phù hợp. Nhận xét lập luận này.
cNếu đổi đơn vị của tuổi cây từ tuần sang tháng (chia mọi giá trị $x$ cho 4), chiều của mối liên hệ và giá trị $r$ thay đổi ra sao?

1Bước 1: Câu hỏi về chiều luôn được trả lời trước tiên bằng hình dạng đám mây điểm. Ở đây các điểm đi lên từ trái sang phải, nghĩa là cây càng nhiều tuần tuổi thì càng cao, tức giá trị lớn của biến này đi kèm giá trị lớn của biến kia. Căn cứ thứ hai nằm ở các con số:

r = 0{,}94 > 0

và hệ số góc

3{,}2 > 0

, hai dấu dương này luôn đi cùng nhau vì

r

và hệ số góc chỉ khác nhau ở một thừa số dương là tỉ số hai độ lệch chuẩn (standard deviation). Vì vậy có thể khẳng định chắc chắn rằng tuổi và chiều cao liên hệ thuận.

2Bước 2: Tuy nhiên, khẳng định về chiều không đồng nghĩa với khẳng định về dạng. Liên hệ thuận chỉ nói rằng xu hướng chung là cùng tăng, còn xu hướng ấy có thể là đường thẳng, cũng có thể là một đường cong đi lên. Đám mây điểm đã cong thấy rõ, và dạng chữ U của biểu đồ phần dư càng xác nhận điều đó: phần dư âm ở khoảng giữa và dương ở hai đầu là dấu hiệu kinh điển của việc ép một đường thẳng lên một quan hệ cong. Do đó lập luận của bạn học sinh không đúng, dù

r = 0{,}94

trông rất đẹp.

3Bước 3: Cần nhớ thêm rằng

r

lớn không phải là bằng chứng cho tính tuyến tính; nó chỉ đo mức độ chặt của thành phần tuyến tính trong quan hệ. Một quan hệ cong đều đặn và đi lên vẫn có thể cho

r

rất gần

1

, nên trình tự đúng khi làm bài là nhìn biểu đồ phân tán và biểu đồ phần dư trước, rồi mới đọc

r

. Hướng xử lý hợp lý ở đây là biến đổi dữ liệu, chẳng hạn hồi quy

\ln y

theo

x

, sau đó kiểm tra lại phần dư.

4Bước 4: Về việc đổi đơn vị, đặt

x' = x/4

thì mỗi độ lệch

x_i - \bar x

cũng bị chia cho 4, kéo theo

S_{x'y} = S_{xy}/4

và

\sqrt{S_{x'x'}} = \sqrt{S_{xx}}/4

. Thay vào công thức

r = S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}

, thừa số

1/4

ở tử và mẫu triệt tiêu nên

r

vẫn bằng

0{,}94

. Nói cách khác,

r

không có đơn vị và không đổi khi ta đổi thang đo tuyến tính với hệ số dương; chiều thuận cũng được giữ nguyên, chỉ có hệ số góc đổi thành

3{,}2 \times 4 = 12{,}8

cm mỗi tháng.

Tuổi cây và chiều cao có mối liên hệ thuận, thể hiện ở đám mây điểm đi lên và ở dấu dương của $r = 0{,}94$ cũng như của hệ số góc $3{,}2$ . Nhưng thuận không có nghĩa là thẳng: biểu đồ phân tán cong và phần dư hình chữ U cho thấy mô hình đường thẳng không phù hợp, nên lập luận của học sinh kia bị bác bỏ. Khi đổi tuổi cây từ tuần sang tháng, chiều liên hệ vẫn thuận và $r$ vẫn là $0{,}94$ vì hệ số tương quan không phụ thuộc đơn vị đo; chỉ hệ số góc đổi thành $12{,}8$ cm mỗi tháng.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.