DucklingStudyDucklingStudy

AP Statistics

chiều của mối liên hệ

direction of association

Còn gọi: direction of association

Chiều của mối liên hệ là hướng biến thiên giữa hai biến định lượng: dương khi cùng tăng, âm khi một tăng thì biến kia giảm.

Khi quan sát biểu đồ phân tán (scatterplot) của hai biến định lượng, điều đầu tiên cần đọc ra là chiều của mối liên hệ: các điểm dữ liệu có xu hướng đi lên từ trái sang phải hay đi xuống. Nếu giá trị của biến này tăng thì giá trị của biến kia cũng có xu hướng tăng theo, ta gọi đó là mối liên hệ đồng biến (dương). Ngược lại, nếu biến này tăng mà biến kia lại giảm, mối liên hệ được gọi là nghịch biến (âm). Khi các điểm phân tán không cho thấy xu hướng tăng hay giảm rõ rệt nào, ta nói hai biến không có mối liên hệ tuyến tính đáng kể về chiều.

Chiều của mối liên hệ được phản ánh trực tiếp qua dấu của hệ số tương quan rr và dấu của hệ số góc trong mô hình hồi quy tuyến tính. Cụ thể, r>0r>0 tương ứng với chiều đồng biến, còn r<0r<0 tương ứng với chiều nghịch biến; giá trị r=0r=0 không nhất thiết có nghĩa là không có liên hệ, mà chỉ có nghĩa là không có liên hệ tuyến tính. Do đó khi đề bài cho một giá trị rr hoặc một phương trình hồi quy y^=b0+b1x\hat{y}=b_0+b_1x, thí sinh chỉ cần nhìn vào dấu của rr hoặc của b1b_1 để trả lời ngay câu hỏi về chiều, mà không cần vẽ lại đồ thị.

Cần phân biệt chiều với hai đặc điểm khác cũng được mô tả khi đọc biểu đồ phân tán, đó là hình dạng (tuyến tính hay phi tuyến) và độ mạnh của mối liên hệ. Một mối liên hệ có thể rất mạnh nhưng lại mang chiều âm, hoặc rất yếu nhưng vẫn mang chiều dương; hai đặc điểm này độc lập với nhau. Vì vậy, một câu trả lời đầy đủ trong bài thi AP Statistics thường phải nêu đủ cả ba yếu tố — chiều, hình dạng và độ mạnh — chứ không chỉ dừng lại ở việc nói mối liên hệ là dương hay âm.

Ký hiệur > 0 (đồng biến), r < 0 (nghịch biến)

Trực giác: Giống như đi trên một con dốc: nếu cả hai biến cùng tăng thì đó là dốc lên, còn nếu biến này tăng mà biến kia lại giảm thì đó là dốc xuống.

Thử nghiệm tương tác

Lật đám mây xuống dưới — dấu của r đổi, độ lớn thì y nguyên

Lật đám mây xuống dưới — dấu của r đổi, độ lớn thì y nguyên

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Chiều âm không có nghĩa là mối liên hệ yếu.

Liên hệ dương không chứng minh biến này gây ra biến kia.

Hệ số tương quan gần 0 không đồng nghĩa với "không có mối liên hệ".

Đừng gán chiều cho dữ liệu của hai biến phân loại.

Mẹo phòng thi

Mô tả biểu đồ phân tán phải đủ bốn phần và gắn tên biến.

Dấu của rr và dấu của hệ số góc (slope) trong đường hồi quy luôn giống nhau.

Viết "có xu hướng" thay vì khẳng định chắc nịch khi diễn giải chiều.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2
Một giáo viên theo dõi tám học sinh trong tuần ôn thi. Với mỗi em, cô ghi lại xx là số giờ luyện đề trong tuần và yy là số câu sai trong bài kiểm tra 40 câu cuối tuần. Kết quả thu được: (2; 28), (3; 25), (5; 22), (6; 20), (8; 15), (9; 14), (11; 10), (12; 8).
  1. aVẽ phác biểu đồ phân tán trong đầu và mô tả chiều, dạng, độ mạnh của mối liên hệ giữa số giờ luyện đề và số câu sai.
  2. bTính hệ số tương quan rr và giải thích dấu của nó xác nhận điều gì về chiều của mối liên hệ.
  3. cTìm hệ số góc của đường hồi quy bình phương tối thiểu và diễn giải nó trong ngữ cảnh. Nếu đổi đơn vị của xx từ giờ sang phút thì chiều của mối liên hệ có thay đổi không?
1Bước 1: Sắp các điểm theo thứ tự xx tăng dần, ta thấy yy lần lượt là 28, 25, 22, 20, 15, 14, 10, 8 — dãy này giảm đều, không có chỗ nào bật lên. Trên biểu đồ phân tán (scatterplot), đám mây điểm đi xuống từ trái sang phải và bám khá sát một đường thẳng. Vậy mối liên hệ có chiều nghịch biến (negative association), dạng tuyến tính, và mạnh. Khi trả lời câu mô tả kiểu này, phải nêu đủ chiều – dạng – độ mạnh – có nêu tên hai biến trong ngữ cảnh.
2Bước 2: Tính hai giá trị trung bình làm gốc so sánh: xˉ=568=7\bar{x}=\frac{56}{8}=7 và yˉ=1428=17.75\bar{y}=\frac{142}{8}=17.75. Các độ lệch xi−xˉx_i-\bar{x} là −5,−4,−2,−1,1,2,4,5-5,-4,-2,-1,1,2,4,5; các độ lệch yi−yˉy_i-\bar{y} là 10.25, 7.25, 4.25, 2.25, −2.75, −3.75, −7.75, −9.7510.25,\,7.25,\,4.25,\,2.25,\,-2.75,\,-3.75,\,-7.75,\,-9.75. Quan sát ngay được điều cốt lõi: khi xi−xˉx_i-\bar{x} âm thì yi−yˉy_i-\bar{y} dương và ngược lại, nghĩa là mọi tích chéo đều âm.
3Bước 3: Cộng các tích chéo và các bình phương độ lệch: ∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)=−181\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=-181, ∑(xi−xˉ)2=92\sum (x_i-\bar{x})^2=92, ∑(yi−yˉ)2=357.5\sum (y_i-\bar{y})^2=357.5. Tổng tích chéo mang dấu âm chính là dấu hiệu đại số của chiều đi xuống mà mắt ta đã thấy ở Bước 1.
4Bước 4: Thay vào công thức r=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2 ∑(yi−yˉ)2=−18192×357.5=−181181.36≈−0.998.r=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2\,\sum (y_i-\bar{y})^2}}=\frac{-181}{\sqrt{92\times 357.5}}=\frac{-181}{181.36}\approx -0.998. Tử số quyết định dấu, còn mẫu số luôn dương vì là căn của hai tổng bình phương; do đó r<0r<0 khẳng định chiều nghịch biến, và độ lớn gần 1 khẳng định mối liên hệ tuyến tính rất mạnh.
5Bước 5: Hệ số góc (slope) của đường hồi quy là b=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2=−18192≈−1.967b=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2}=\frac{-181}{92}\approx -1.967, nên mỗi giờ luyện đề tăng thêm ứng với số câu sai giảm trung bình khoảng 1,97 câu. Nếu đổi xx sang phút thì mỗi giá trị xx được nhân với 60, tử số và mẫu số của rr cùng đổi theo một hệ số dương, nên rr giữ nguyên −0.998-0.998; chỉ hệ số góc thu nhỏ lại thành −181/(92×60)≈−0.0328-181/(92\times 60)\approx -0.0328 câu mỗi phút. Vì vậy chiều của mối liên hệ không phụ thuộc đơn vị đo, cũng không đổi nếu ta hoán vai trò của hai biến.

Số giờ luyện đề và số câu sai có mối liên hệ tuyến tính nghịch biến rất mạnh: r≈−0.998r\approx -0.998, học sinh luyện đề càng nhiều thì càng sai ít câu, trung bình giảm khoảng 1,97 câu cho mỗi giờ luyện thêm. Chiều nghịch biến này giữ nguyên khi đổi đơn vị thời gian, nhưng lưu ý rằng đây là dữ liệu quan sát nên ta chỉ kết luận về chiều của mối liên hệ, không kết luận luyện đề là nguyên nhân làm giảm số câu sai.

2Ví dụ 2/2
Một kỹ sư đo mức tiêu hao nhiên liệu của cùng một mẫu xe ở mười tốc độ ổn định khác nhau. Gọi xx là tốc độ (km/h) và yy là lượng xăng tiêu hao (lít trên 100 km), số liệu là: (20; 11.5), (30; 9.6), (40; 8.2), (50; 7.3), (60; 6.9), (70; 7.0), (80; 7.6), (90; 8.6), (100; 10.0), (110; 11.8).
  1. aTính hệ số tương quan rr cho bộ dữ liệu này.
  2. bMột học sinh kết luận: "Vì rr gần 0 nên tốc độ và mức tiêu hao nhiên liệu không có liên hệ gì với nhau." Hãy nhận xét kết luận đó và mô tả đúng mối liên hệ.
1Bước 1: Tính các trung bình: xˉ=65010=65\bar{x}=\frac{650}{10}=65 và yˉ=88.510=8.85\bar{y}=\frac{88.5}{10}=8.85. Các độ lệch của xx là −45,−35,−25,−15,−5,5,15,25,35,45-45,-35,-25,-15,-5,5,15,25,35,45, còn các độ lệch của yy là 2.65, 0.75, −0.65, −1.55, −1.95, −1.85, −1.25, −0.25, 1.15, 2.952.65,\,0.75,\,-0.65,\,-1.55,\,-1.95,\,-1.85,\,-1.25,\,-0.25,\,1.15,\,2.95.
2Bước 2: Cộng các tích chéo: nửa bên trái cho các tích −119.25, −26.25, 16.25, 23.25, 9.75-119.25,\,-26.25,\,16.25,\,23.25,\,9.75, nửa bên phải cho −9.25, −18.75, −6.25, 40.25, 132.75-9.25,\,-18.75,\,-6.25,\,40.25,\,132.75. Tổng lại được ∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)=42.5\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=42.5, một con số rất nhỏ vì các tích âm và tích dương gần như triệt tiêu lẫn nhau.
3Bước 3: Với ∑(xi−xˉ)2=8250\sum (x_i-\bar{x})^2=8250 và ∑(yi−yˉ)2=29.285\sum (y_i-\bar{y})^2=29.285, ta có r=42.58250×29.285=42.5491.5≈0.086.r=\frac{42.5}{\sqrt{8250\times 29.285}}=\frac{42.5}{491.5}\approx 0.086. Giá trị này gần 0, nghĩa là gần như không có thành phần tuyến tính nào trong dữ liệu.
4Bước 4: Tuy nhiên, hãy nhìn lại dãy yy: từ 11.5 nó giảm liên tục xuống 6.9 tại x=60x=60, rồi tăng liên tục trở lại đến 11.8 tại x=110x=110. Đám mây điểm vẽ thành một đường cong hình chữ U rất rõ, gần như không có điểm nào chệch khỏi đường cong đó. Vậy hai biến liên hệ với nhau cực kỳ chặt chẽ, chỉ là liên hệ ấy không tuyến tính.
5Bước 5: Từ đó rút ra nguyên tắc: chiều của mối liên hệ chỉ được nêu thành một từ duy nhất ("đồng biến" hay "nghịch biến") khi dạng của đám mây điểm là đơn điệu. Ở đây chiều đổi hướng tại khoảng x≈65x\approx 65 km/h, nên phải mô tả theo từng đoạn chứ không được dùng rr để phán xét. Hệ số tương quan (correlation coefficient) chỉ đo độ mạnh và chiều của quan hệ tuyến tính, nên r≈0r\approx 0 chỉ bác bỏ dạng đường thẳng, không bác bỏ mọi mối liên hệ.

Hệ số tương quan chỉ bằng r≈0.086r\approx 0.086, nhưng kết luận của học sinh là sai. Biểu đồ phân tán cho thấy mối liên hệ rất mạnh dạng đường cong chữ U: với tốc độ dưới khoảng 65 km/h, tốc độ tăng thì mức tiêu hao nhiên liệu giảm (nghịch biến), còn từ khoảng 65 km/h trở lên, tốc độ tăng thì mức tiêu hao tăng (đồng biến). Vì chiều đổi hướng giữa chừng nên không thể gán một chiều duy nhất cho cả bộ dữ liệu, và luôn phải xem biểu đồ trước khi dùng rr để mô tả.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyĐồ thị quan hệ giữa hai biến định lượngPhân tích hồi quy · khoá AP Statistics
Bài học chứa thuật ngữ nàyHệ số tương quan rPhân tích hồi quy · khoá AP Statistics
Dẫn tớihệ số tương quanbiểu đồ phân tán
Liên quanmối liên hệmối liên hệ thuậnmối liên hệ âm
Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

dạng của mối liên hệ (form of association)form of association
Khác nhau ở đâuChiều cho biết đám điểm đi lên hay đi xuống. Dạng cho biết đám điểm theo đường thẳng hay theo đường cong.
Hay nhầm khiCâu hỏi mô tả biểu đồ phân tán yêu cầu đủ bốn ý, thí sinh hay viết "linear" rồi tưởng đã trả lời xong phần chiều.
hệ số tương quan (correlation coefficient)correlation coefficient
Khác nhau ở đâuChiều của mối liên hệ chỉ là thông tin thuận hay nghịch. Hệ số tương quan gộp cả chiều qua dấu lẫn độ mạnh qua độ lớn.
Hay nhầm khiThấy r âm nhưng gần 0, nhiều thí sinh kết luận "không có chiều", trong khi chiều vẫn là nghịch, chỉ yếu.

Cùng chủ đề

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy. Xuất bản .