tứ phân vị

Để mô tả sự phân bố của dữ liệu (data), người ta cần biết không chỉ giá trị trung tâm (center) mà còn cách các giá trị trải rộng ở mỗi nửa của phân phối. Tứ phân vị đáp ứng nhu cầu đó bằng cách xác định ba mốc: tứ phân vị thứ nhất (first quartile) $Q_1$ tương ứng với bách phân vị thứ 25, tứ phân vị thứ hai $Q_2$ chính là trung vị (median), và tứ phân vị thứ ba (third quartile) $Q_3$ tương ứng với bách phân vị thứ 75. Nhờ đó, toàn bộ tập dữ liệu được chia thành bốn nhóm, mỗi nhóm chứa khoảng một phần tư số quan sát.

Khoảng cách giữa $Q_1$ và $Q_3$ được gọi là khoảng tứ phân vị (interquartile range), tính theo công thức

$$\text{IQR} = Q_3 - Q_1$$

trong đó $Q_1$ và $Q_3$ lần lượt là tứ phân vị thứ nhất và thứ ba. Giá trị $\text{IQR}$ đo lường độ trải rộng của 50% dữ liệu ở giữa, vì vậy nó ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai hơn so với độ lệch chuẩn. Tuy nhiên, $\text{IQR}$ không nắm bắt được biến động ở hai đuôi phân phối; do đó, cần kết hợp với các đại lượng khác để có bức tranh đầy đủ về tập dữ liệu.

Hơn nữa, tứ phân vị là thành phần cốt lõi của tóm tắt năm số $\{\min,\, Q_1,\, Q_2,\, Q_3,\, \max\}$, vốn là nền tảng để vẽ biểu đồ hộp. Ngược lại với các thống kê chỉ phản ánh xu hướng trung tâm, $\text{IQR}$ còn được dùng trong quy tắc $1.5 \times \text{IQR}$ để phát hiện giá trị ngoại lai: một quan sát bị coi là ngoại lai nếu nó nhỏ hơn $Q_1 - 1.5 \cdot \text{IQR}$ hoặc lớn hơn $Q_3 + 1.5 \cdot \text{IQR}$. Vì vậy, nắm vững cách tính tứ phân vị là điều kiện cần thiết để phân tích và so sánh phân phối trong hầu hết các bài toán thống kê mô tả.