AP Statistics

ước lượng khoảng

interval estimate

Còn gọi: ước lượng bằng khoảng · khoảng ước lượng

Ước lượng khoảng là một khoảng các giá trị được dùng để ước lượng tham số chưa biết của tổng thể, thay vì chỉ đưa ra một con số duy nhất.

Trong thống kê suy luận, người ta thường không thể xác định chính xác giá trị của một tham số tổng thể — chẳng hạn tỉ lệ thực hay trung bình thực — mà chỉ có thể quan sát dữ liệu từ một mẫu. Thay vì báo cáo một giá trị điểm duy nhất, ước lượng khoảng cung cấp một khoảng $[\hat{\theta} - E,\; \hat{\theta} + E]$ , trong đó $\hat{\theta}$ là thống kê mẫu và $E$ là sai số biên (margin of error). Khoảng này phản ánh sự biến động vốn có khi lấy mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể.

Độ rộng của khoảng phụ thuộc vào ba yếu tố liên quan chặt chẽ với nhau. Thứ nhất, mức tin cậy càng cao thì giá trị tới hạn $z^*$ càng lớn, kéo theo khoảng càng rộng. Thứ hai, độ phân tán của tổng thể — đo bằng độ lệch chuẩn (standard deviation) — càng lớn thì sai số biên càng lớn. Thứ ba, và quan trọng nhất trong thực hành, cỡ mẫu $n$ càng lớn thì sai số biên (margin of error) tỉ lệ với $1/\sqrt{n}$ càng nhỏ. Do đó, tăng gấp bốn cỡ mẫu mới giúp giảm sai số biên đi một nửa — đây là lý do kích thước tuyệt đối của mẫu quyết định độ chính xác, chứ không phải tỉ lệ mẫu trên tổng thể.

Cần phân biệt hai cách diễn giải thường gặp trong đề thi. Diễn giải khoảng cụ thể phát biểu rằng ta tin tưởng ở mức độ nhất định rằng tham số tổng thể nằm trong khoảng đã tính. Ngược lại, diễn giải mức tin cậy phát biểu rằng nếu lặp lại quy trình lấy mẫu và xây dựng khoảng rất nhiều lần, thì tỉ lệ các khoảng chứa tham số thực sẽ xấp xỉ bằng mức tin cậy đã chọn. Vì vậy, sự phân biệt này rất quan trọng: không phải tham số dao động trong khoảng, mà chính khoảng được xây dựng từ mẫu ngẫu nhiên mới thay đổi từ lần này sang lần khác.

Ký hiệu

\hat{\theta} \pm E

, với

E = z^* \cdot SE(\hat{\theta})

Trực giác: Hỏi một người về tuổi của bạn, họ không nói chắc được 27 tuổi — nhưng họ có thể nói tự tin rằng bạn từ 25 đến 30 tuổi: đó chính là ước lượng khoảng.

Công thức

\htmlClass{fp-0}{\hat{\theta}} \pm \htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-1}{z^*} \cdot \htmlClass{fp-2}{SE(\hat{\theta})}}

Dùng khi cần ước lượng một tham số quần thể bằng một khoảng giá trị thay vì một con số duy nhất; công thức này là khung chung cho mọi khoảng tin cậy, bất kể tham số là trung bình hay tỉ lệ.

Trong đó

\hat{\theta}

Ước lượng điểm (point estimate) của tham số, tính từ mẫu

z^*

Giá trị tới hạn từ phân phối chuẩn chuẩn, tương ứng với mức tin cậy đã chọn

SE(\hat{\theta})

Sai số chuẩn (standard error) của ước lượng, phản ánh độ biến động qua các mẫu khác nhau

Khái niệm này sinh ra từ đâu

đầu thập niên 1930Jerzy NeymanEgon Pearson

Ước lượng khoảng, với dạng phổ biến nhất là khoảng tin cậy (confidence interval), được đưa vào thống kê hồi đầu thập niên 1930 nhờ công của Jerzy Neyman cùng Egon Pearson. Mục đích là đo lường mức độ bất định bao quanh một con số ước lượng, thay vì chỉ đưa ra một giá trị trần trụi.

Trước thập niên 1930, khi muốn nói điều gì đó về tổng thể, các nhà thống kê chủ yếu dựa vào kiểm định giả thuyết: đưa ra một khẳng định rồi xem dữ liệu có bác bỏ được nó hay không. Cách làm ấy trả lời câu hỏi "có hay không", nhưng không cho biết tham số thực sự nằm quanh đâu và ta tin điều đó đến mức nào. Đầu thập niên 1930, Jerzy Neyman và Egon Pearson đề xuất một lối đi khác: thay vì một con số, hãy báo cáo cả một khoảng giá trị kèm theo mức độ tin cậy gắn với nó. Ngày nay cách ước lượng này có mặt khắp kinh tế học, tài chính, y học và khoa học xã hội.

Thử nghiệm tương tác

Kéo mức tin cậy lên 99% — nhìn mọi thanh khoảng dài ra

Hay hiểu sai

Nhân hai đầu mút với cỡ tổng thể, không phải cỡ mẫu.

Đổi từ tỉ lệ sang số đếm không cần tính lại sai số biên.

Khoảng tin cậy (confidence interval) nói về tham số của tổng thể, không nói về từng cá thể.

Khoảng chứa số 0 không có nghĩa hai tỉ lệ bằng nhau.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhóm nghiên cứu thử nghiệm loại thuốc mới đã chọn ngẫu nhiên 200 người đang dùng thuốc để phỏng vấn. Trong số đó, 76 người cho biết họ gặp tác dụng phụ. Giả sử toàn bộ 5.000 người trong vùng đều đã dùng loại thuốc này, và mọi điều kiện cho suy luận thống kê đều thỏa mãn.

aHãy xây dựng ước lượng khoảng ở mức tin cậy 90% cho tỉ lệ người dùng thuốc gặp tác dụng phụ.
bTừ kết quả câu (a), hãy ước lượng khoảng cho số người trong 5.000 người sẽ báo cáo gặp tác dụng phụ.

1Bước 1: Trước hết ta xác định tham số và kiểm tra điều kiện. Tham số cần ước lượng là

p

, tỉ lệ toàn bộ người dùng thuốc gặp tác dụng phụ. Mẫu được chọn ngẫu nhiên và

200

nhỏ hơn

10\%

tổng số người dùng thuốc, nên các quan sát coi như độc lập; đồng thời

n\hat{p}=76\ge 10

và

n(1-\hat{p})=124\ge 10

, nên phân bố mẫu của tỉ lệ đủ gần chuẩn để dùng thủ tục

z

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàySuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · bài “Khoảng tin cậy cho tỉ lệ tổng thể” — khoá AP Statistics

Cần trướcsai số biên

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

ước lượng điểmpoint estimate

Khác nhau ở đâuƯớc lượng điểm cho một con số duy nhất, còn ước lượng khoảng cho một đoạn có độ rộng phản ánh mức độ không chắc chắn

Hay nhầm khiđề hỏi 'construct an estimate' mà không nói rõ kiểu, thí sinh dễ chỉ tính một giá trị thay vì lập cả khoảng

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 336, 343, 345.

2Ví dụ 2/2

Trong một kho lạnh có 1.000 quả táo giống golden delicious và 1.000 quả táo giống red delicious. Người ta lấy ngẫu nhiên 75 quả golden delicious thì thấy 48 quả có tì vết; lấy ngẫu nhiên 75 quả red delicious thì thấy 42 quả có tì vết. Giả sử mọi điều kiện cho suy luận thống kê đều thỏa mãn và ta dùng mức tin cậy 95%.

aXây dựng ước lượng khoảng cho hiệu hai tỉ lệ táo có tì vết (golden delicious trừ red delicious).
bƯớc lượng khoảng cho hiệu số quả táo có tì vết giữa 1.000 quả golden delicious và 1.000 quả red delicious, rồi nêu ý nghĩa của việc khoảng này chứa số 0.

1Bước 1: Ta gọi

p_1

là tỉ lệ táo golden delicious có tì vết và

p_2

là tỉ lệ táo red delicious có tì vết, tham số cần ước lượng là hiệu

p_1-p_2

. Hai mẫu đều ngẫu nhiên và độc lập với nhau, mỗi mẫu 75 quả chỉ chiếm

7{,}5\%

của 1.000 quả nên nhỏ hơn ngưỡng

10\%

. Ngoài ra

48

75-48=27

42

và

75-42=33

đều lớn hơn hoặc bằng 10, nên điều kiện chuẩn hóa được thỏa.

2Bước 2: Hai tỉ lệ mẫu là

\hat{p}_1=\dfrac{48}{75}=0{,}64

và

\hat{p}_2=\dfrac{42}{75}=0{,}56

, do đó ước lượng điểm cho hiệu là

\hat{p}_1-\hat{p}_2=0{,}08

. Con số này nói rằng trong mẫu, tỉ lệ táo lỗi của giống golden cao hơn giống red tám điểm phần trăm.

3Bước 3: Sai số chuẩn của hiệu hai tỉ lệ là

SE=\sqrt{\frac{(0{,}64)(0{,}36)}{75}+\frac{(0{,}56)(0{,}44)}{75}}=\sqrt{0{,}003072+0{,}0032853}=\sqrt{0{,}0063573}\approx 0{,}0797.

Vì hiệu chịu ảnh hưởng của cả hai mẫu nên hai phương sai được cộng lại, khiến sai số chuẩn ở đây lớn hơn hẳn so với trường hợp một mẫu.

4Bước 4: Với mức tin cậy 95%, ta lấy

z^{*}=1{,}96

, nên biên sai số là

1{,}96\times 0{,}0797\approx 0{,}1563

. Vậy ước lượng khoảng cho hiệu hai tỉ lệ là

0{,}08\pm 0{,}1563\;\Rightarrow\;(-0{,}0763;\;0{,}2363).

Đầu mút âm xuất hiện là chuyện bình thường, vì hiệu của hai tỉ lệ hoàn toàn có thể mang dấu âm.

5Bước 5: Vì mỗi giống có đúng 1.000 quả, ta nhân cả hai đầu mút với

1000

1000\times(-0{,}0763)\approx -76\quad\text{và}\quad 1000\times 0{,}2363\approx 236.

Nói cách khác, khoảng ước lượng cho hiệu số quả có tì vết là

80\pm 156

quả.

Ở câu (a), ta tin cậy 95% rằng hiệu tỉ lệ táo có tì vết giữa giống golden delicious và giống red delicious nằm trong khoảng từ $-0{,}0763$ đến $0{,}2363$ . Ở câu (b), quy về số quả, ta tin cậy 95% rằng số táo golden delicious có tì vết nhiều hơn số táo red delicious có tì vết trong khoảng từ $-76$ đến $236$ quả. Vì khoảng này chứa số 0, dữ liệu chưa đủ bằng chứng để khẳng định một giống táo có tỉ lệ tì vết cao hơn giống kia; hiệu bằng 0 vẫn là một giá trị hợp lí.