AP Calculus BC

đường cardioidcardioid

cardioidVietnamese: đường cardioid

Đường cardioid là đường cong hình quả tim trong tọa độ cực, có một điểm nhọn tại gốc tọa độ và đối xứng qua một trục.A cardioid is a heart-shaped curve in polar coordinates with a cusp at the origin and symmetry about one axis.

Trực giác: Dán một vệt sơn lên vành đồng xu, rồi lăn không trượt nó quanh một đồng xu y hệt đang đứng yên: vệt sơn vẽ nên hình quả tim.Intuition: Put a dab of paint on the rim of a coin, then roll that coin without slipping around an identical coin that stays fixed. The paint mark traces a heart shape.

Công thức chínhKey formula

r=a(1+\cos\theta)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Cardioid (đường hình tim) là đường cong hình quả tim, có một điểm nhọn tại gốc tọa độ. Trong tọa độ cực, $r$ là khoảng cách tới gốc, $\theta$ là góc, và phương trình là $r=a(1+\cos\theta)$ với $a>0$ . Với $a=1$ : tại $\theta=0$ có $r=2$ , tại $\theta=\pi$ có $r=0$ (điểm nhọn).

Đường cong khép kín khi $\theta$ chạy từ $0$ đến $2\pi$ . Điểm xa gốc nhất cách gốc $2a$ . Dạng $1+\cos\theta$ đối xứng qua trục hoành, dạng $1+\sin\theta$ đối xứng qua trục tung. Phần mặt phẳng được đường cong bao quanh có diện tích $\tfrac32\pi a^2$ , bằng $1{,}5$ lần diện tích hình tròn bán kính $a$ .

A cardioid is a heart-shaped curve with a cusp at the origin. In polar coordinates, where $r$ is the distance from the origin and $\theta$ is the angle, its equation is $r=a(1+\cos\theta)$ with $a>0$ . For $a=1$ , $r=2$ at $\theta=0$ and $r=0$ at $\theta=\pi$ (the cusp).

The curve closes as $\theta$ runs from $0$ to $2\pi$ . The point farthest from the origin is at distance $2a$ . The form $1+\cos\theta$ is symmetric about the x-axis, while the form $1+\sin\theta$ is symmetric about the y-axis. The region enclosed by the curve has area $\tfrac32\pi a^2$ , which is $1.5$ times the area of a circle of radius $a$ .

Ký hiệuNotation

• $r = a(1+\cos\theta)$ , $r = a(1+\sin\theta)$ với $a>0$
•diện tích $A=\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$
•hệ số góc $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

r=\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{a}(\htmlClass{fp-1}{1+\cos\theta})}

Dùng để nhận dạng và vẽ cardioid; dạng $\cos$ đối xứng qua trục hoành, dạng $\sin$ qua trục tung, dấu trừ lật hình sang phía đối diện.Use this to recognize and sketch a cardioid: the $\cos$ form is symmetric about the x-axis, the $\sin$ form about the y-axis, and a minus sign flips the curve to the opposite side.

Trong đóWhere

r

khoảng cách từ điểm đang xét tới gốc tọa độ

O

\theta

góc cực, đo từ tia

Ox

theo chiều ngược kim đồng hồ — radian

a

hằng số dương quyết định kích cỡ; khoảng cách lớn nhất tới gốc là

2a

A=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} r^2\,d\theta=\frac{3\pi a^2}{2}

Dùng khi tính diện tích miền bao bởi cardioid: thay $r$ vào $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ , lấy $\theta$ từ $0$ đến $2\pi$ , hạ bậc $\cos^2\theta$ .Use this to find the area enclosed by a cardioid: substitute $r$ into $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ , integrate $\theta$ from $0$ to $2\pi$ , and reduce the power of $\cos^2\theta$ with the half-angle identity.

Trong đóWhere

A

diện tích miền bên trong đường cardioid — đơn vị diện tích

r

bán kính cực, ở đây

r=a(1+\cos\theta)

a

hằng số dương trong phương trình của đường cardioid

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Diện tích cardioid phải tính trên $[0,2\pi]$ , không dừng ở $\pi$ .

Cận từ $0$ đến $\pi$ chỉ vẽ nửa trên của đường cong nên ra một nửa diện tích. Nếu dùng đối xứng thì phải nhân đôi. Đừng quên hệ số $\tfrac12$ trước $\int r^2\,d\theta$ .

Dạng $1+\cos\theta$ đối xứng qua trục hoành, dạng $1+\sin\theta$ đối xứng qua trục tung.

Hai dạng giống nhau nên dễ vẽ nhầm hướng. Với $r=a(1+\cos\theta)$ : $\theta=0$ cho $r=2a$ , $\theta=\pi$ cho $r=0$ . Thử $\theta=0,\ \tfrac{\pi}{2},\ \pi$ là biết hướng.

Tính độ dài cung cardioid phải giữ dấu giá trị tuyệt đối khi khai căn.

Với $r'$ là đạo hàm của $r$ theo $\theta$ , ta có $\sqrt{r^2+(r')^2}=2a\left|\cos\tfrac{\theta}{2}\right|$ . Trên $[\pi,2\pi]$ , $\cos\tfrac{\theta}{2}$ âm. Bỏ dấu tuyệt đối thì tích phân ra $0$ . Kết quả đúng là $8a$ .

The area of a cardioid must be computed over $[0,2\pi]$ , not just $[0,\pi]$ .

Limits from $0$ to $\pi$ trace only the upper half of the curve, which gives half the area; if you use symmetry, you must double the result. Also include the factor $\tfrac12$ in front of $\int r^2\,d\theta$ .

The form $1+\cos\theta$ is symmetric about the x-axis, while $1+\sin\theta$ is symmetric about the y-axis.

The two forms look alike, so it is easy to sketch the wrong orientation. For $r=a(1+\cos\theta)$ , $\theta=0$ gives $r=2a$ and $\theta=\pi$ gives $r=0$ ; testing $\theta=0,\ \tfrac{\pi}{2},\ \pi$ reveals the orientation.

When finding the arc length of a cardioid, keep the absolute value when taking the square root.

With $r'$ the derivative of $r$ with respect to $\theta$ , $\sqrt{r^2+(r')^2}=2a\left|\cos\tfrac{\theta}{2}\right|$ , and $\cos\tfrac{\theta}{2}$ is negative on $[\pi,2\pi]$ . Dropping the absolute value makes the integral equal $0$ , but the correct length is $8a$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết đủ tích phân và hai cận trước khi bấm máy.

Dòng thiết lập được chấm riêng, ví dụ $\tfrac12\int_0^{2\pi}\left(a(1+\cos\theta)\right)^2d\theta$ . Chỉ ghi kết quả của máy thì dễ mất điểm phần này.

Khi tính tay, khai triển $(1+\cos\theta)^2$ đủ ba hạng tử.

Có $(1+\cos\theta)^2=1+2\cos\theta+\cos^2\theta$ và $\cos^2\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}{2}$ . Hay sai: quên hạng tử giữa $2\cos\theta$ , hoặc lấy nguyên hàm của $\cos^2\theta$ như của $\cos\theta$ .

Write out the full integral with both limits before using your calculator.

The setup line earns its own credit, for example $\tfrac12\int_0^{2\pi}\left(a(1+\cos\theta)\right)^2d\theta$ . Writing only the calculator's result can cost you those points.

When working by hand, expand $(1+\cos\theta)^2$ with all three terms.

Use $(1+\cos\theta)^2=1+2\cos\theta+\cos^2\theta$ and $\cos^2\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}{2}$ . Common errors are dropping the middle term $2\cos\theta$ and integrating $\cos^2\theta$ as if it were $\cos\theta$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1741Giovanni Salveminila HireÉtienne Pascal

Không rõ ai tìm ra đường cardioid đầu tiên; tên "cardioid" mới xuất hiện năm 1741, nhiều thập kỷ sau khi hình dạng này đã được nghiên cứu.

No one knows who first discovered the cardioid. The name "cardioid" did not appear until 1741, several decades after the shape had already been studied.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên "cardioid" bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp καρδιά (kardiá), nghĩa là "trái tim", vì đường cong này được cho là giống hình trái tim. Tuy nhiên, cái tên khá hào phóng so với thực tế. Hình dạng của nó giống đường viền mặt cắt ngang của một quả táo tròn bỏ cuống hơn là hình trái tim quen thuộc. Vì vậy, một số tài liệu mô tả nó như "nửa quả táo". Về người đặt tên, Wikipedia ghi là Giovanni Salvemini vào năm 1741, còn MathWorld ghi là de Castillon trong tạp chí Philosophical Transactions of the Royal Society cùng năm đó. Hai nguồn thống nhất về năm 1741 nhưng ghi tên người khác nhau.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTọa độ cực & đạo hàm trong dạng cựcPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiện tích miền cực giới hạn bởi một đường cong cựcPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiện tích miền giới hạn bởi hai đường cong cựcPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Dẫn tớiLeads tođộ dài cungarc length

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

đường limaçonlimaçon

Khác nhau ở đâuHow they differCardioid có

a=b

nên có điểm nhọn tại gốc toạ độ. Limaçon tổng quát có

a\ne b

và có thể có vòng trong hoặc chỗ lõm.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

r=2+2\cos\theta

thì đó là cardioid, còn

r=1+2\cos\theta

hay

r=3+2\cos\theta

là limaçon, nên cần so sánh hai hệ số trước khi vẽ.

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 247, 694, 697.