AP Calculus BC

độ dài cungarc length

arc lengthVietnamese: độ dài cung

Độ dài cung (arc length) là độ dài đo dọc theo một đường cong trơn từ điểm này đến điểm kia, tính bằng một tích phân xác định.Arc length is the distance measured along a smooth curve from one point to another, computed with a definite integral.

Trực giác: Như quãng đường bạn thật sự đi trên con đường đèo ngoằn ngoèo, không phải khoảng cách chim bay giữa hai chân đèo.Intuition: Arc length is the distance you actually travel on a winding mountain road, not the straight-line distance between the two ends of the pass.

Công thức chínhKey formula

L=\int_a^b \sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\,dx

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Độ dài cung (arc length) $L$ là độ dài thật của đường cong, đo dọc theo đường cong chứ không theo đường thẳng. Với $y=f(x)$ trên $[a,b]$ và $f'$ liên tục, $L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$ . Ví dụ $f(x)=2x$ trên $[0,1]$ cho $L=\sqrt5$ , đúng bằng khoảng cách từ $(0,0)$ đến $(1,2)$ .

Với đường cong $x(t)$ , $y(t)$ có đạo hàm liên tục trên $[a,b]$ , tốc độ là $\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$ . Biểu thức dưới căn là bình phương tốc độ. $L$ là tích phân của tốc độ nên luôn là quãng đường đi được. $L$ chỉ bằng độ dài hình học của đường cong khi đường được vẽ đúng một lần. Độ dịch chuyển thì khác: nó có thể bằng $0$ khi đi tới rồi quay lại.

Arc length $L$ is the true length of a curve, measured along the curve rather than along a straight line. For $y=f(x)$ on $[a,b]$ with $f'$ continuous, $L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$ . For example, $f(x)=2x$ on $[0,1]$ gives $L=\sqrt5$ , which is exactly the distance from $(0,0)$ to $(1,2)$ .

For a curve $x(t)$ , $y(t)$ with continuous derivatives on $[a,b]$ , the speed is $\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$ . The expression under the radical is the square of the speed. Because $L$ is the integral of speed, it always gives the total distance traveled. $L$ equals the geometric length of the curve only if the curve is traced exactly once. Displacement is different: it can equal $0$ when the path goes out and then back.

Ký hiệuNotation

• $L=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$ (hàm $y=f(x)$ )
• $L=\int_a^b \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt$ (dạng tham số)
• $L$ hoặc $s$ là độ dài cung.

Đơn vịUnitsCùng đơn vị độ dài với các trục tọa độ (mét, cm, dặm…).

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

L=\htmlClass{fp-3}{\int_a^b \htmlClass{fp-2}{\sqrt{\htmlClass{fp-1}{1+\htmlClass{fp-0}{\left[f'(x)\right]^2}}}}\,dx}

Tính độ dài cung của đồ thị $y=f(x)$ trên $[a,b]$ khi $f'$ liên tục; thường dùng máy tính để tính gần đúng.Use this to find the arc length of the graph of $y=f(x)$ on $[a,b]$ when $f'$ is continuous; a calculator is usually needed to approximate the value.

Trong đóWhere

L

độ dài cung của đồ thị

y=f(x)

từ

x=a

đến

x=b

a,\ b

hai hoành độ đầu mút của cung

f'(x)

đạo hàm của

f

, tức độ dốc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

x

L=\htmlClass{fp-2}{\int_a^b \htmlClass{fp-1}{\sqrt{\htmlClass{fp-0}{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}}}\,dt}

Dùng khi đường cong cho dạng tham số và $x'(t)$ , $y'(t)$ liên tục; chọn $t=x$ thì ra công thức của $y=f(x)$ .Use this when the curve is given parametrically and $x'(t)$ and $y'(t)$ are continuous; choosing $t=x$ recovers the formula for $y=f(x)$ .

Trong đóWhere

L

độ dài cung của đường cong tham số

t

tham số, thường là thời gian

a,\ b

giá trị đầu và cuối của tham số

t

\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}

đạo hàm của tọa độ

x

y

theo

t

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Công thức dùng $f'(x)$ , không dùng $f(x)$ .

Đoạn nhỏ có cạnh ngang $dx$ và cạnh đứng $f'(x)\,dx$ . Pythagore cho độ dài đoạn nhỏ là $\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$ . Thay $f'$ bằng $f$ là đo một đường cong khác.

Độ dài cung không phải $\int_a^b |f'(x)|\,dx$ .

Tích phân này chỉ cộng phần đi lên xuống và bỏ phần đi ngang. Thiếu số $1$ dưới căn là mất chuyển động theo phương $x$ .

Với đường cong tham số, cận tích phân là giá trị của $t$ , không phải của $x$ .

Dưới căn là tổng bình phương của cả hai đạo hàm. Hãy ghi rõ khoảng của $t$ ngay từ đầu để khỏi đổi cận nhầm sang $x$ .

The formula uses $f'(x)$ , not $f(x)$ .

A small piece of the curve has horizontal side $dx$ and vertical side $f'(x)\,dx$ , so the Pythagorean theorem gives its length as $\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$ . Substituting $f$ for $f'$ measures a different curve.

Arc length is not $\int_a^b |f'(x)|\,dx$ .

That integral only adds up the vertical rise and fall and ignores the horizontal motion. Leaving out the $1$ under the radical drops the movement in the $x$ direction.

For a parametric curve, the limits of integration are values of $t$ , not of $x$ .

The radicand is the sum of the squares of both derivatives. State the interval for $t$ at the start so you do not accidentally convert the limits to $x$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết đầy đủ tích phân, gồm cận và hàm dưới căn, trước khi bấm máy.

Điểm nằm ở bước lập tích phân; chỉ ghi đáp số có thể mất phần lớn điểm. Đáp số làm tròn đến ba chữ số thập phân, trừ khi đề yêu cầu khác.

Độ dài cung không nhỏ hơn khoảng cách thẳng giữa hai đầu mút.

Đáp số nhỏ hơn giá trị này thì chắc chắn có lỗi, thường là quên bình phương hoặc nhập sai đạo hàm.

Write the complete integral, including the limits and the function under the radical, before using your calculator.

The credit is in setting up the integral, so writing only a final answer can cost most of the points. Round the answer to three decimal places unless the problem says otherwise.

Arc length is never less than the straight-line distance between the endpoints.

An answer smaller than that distance must contain an error, most often a forgotten square or a miskeyed derivative.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

khoảng 250 TCN (Archimedes); 1659 (van Heuraet)ArchimedesHendrick van HeuraetIsaac NewtonGottfried Wilhelm Leibniz

Khoảng năm 250 TCN Archimedes xấp xỉ đường cong bằng đa giác nội tiếp; cuối thế kỷ 17, Newton và Leibniz viết độ dài cung thành một tích phân.

Around 250 BCE, Archimedes approximated curves with inscribed polygons; in the late 17th century, Newton and Leibniz expressed arc length as an integral.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi "độ dài cung" mang nghĩa đen: đó là độ dài của một cung, tức một đoạn đường cong. Trong lịch sử, việc tìm độ dài đường cong còn được gọi là phép "rectification" (tính độ dài đường cong), và đường cong tính được độ dài gọi là đường cong "rectifiable". Các nguồn tôi đọc chỉ xác nhận cách dùng này, không giải thích nguồn gốc từ nguyên sâu hơn, nên tôi dừng ở đây.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐộ dài cung đường cong trơn và quãng đường đi đượcỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐộ dài cung của đường cong tham sốPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsttích phân xác địnhdefinite integral đạo hàmderivative

Dẫn tớiLeads totổng quãng đường đi đượctotal distance traveled

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

độ dờidisplacement

Khác nhau ở đâuHow they differĐộ dài cung là chiều dài đo dọc theo đường cong, luôn không âm. Độ dời chỉ là khoảng cách có hướng từ điểm đầu đến điểm cuối, nên có thể bằng 0.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho chất điểm chuyển động và hỏi quãng đường đi được hay độ dời. Nhiều bạn lấy hiệu hai vị trí cho cả hai, trong khi quãng đường phải tích phân tốc độ.

Cùng chủ đềSame topic

độ lớnmagnitude

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 8, 10, 18.