DucklingStudyDucklingStudy
Đăng nhậpSign in

AP Calculus BCAP Calculus AB

tích phân xác địnhdefinite integral

definite integralVietnamese: tích phân xác định

Tích phân xác định (definite integral) là số thực đo diện tích có dấu giữa đồ thị hàm số và trục hoành trên đoạn, tính bằng giới hạn tổng Riemann.A definite integral is a real number that measures the signed area between the graph of a function and the x-axis over an interval, defined as the limit of Riemann sums.

Trực giác: Biết tốc độ nước chảy vào bể ở từng lúc, nhân với khoảng thời gian rất ngắn rồi cộng lại, ta được tổng lượng nước trong cả buổi.Intuition: Suppose you know the rate at which water flows into a tank at each moment. Multiplying the rate by a very short time interval and adding up all those pieces gives the total amount of water that flowed in over the whole period.

Công thức chínhKey formula

∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi∗) Δx\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x
Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tích phân xác định của ff trên [a,b][a,b] là diện tích có dấu giữa đồ thị và trục hoành. Chia [a,b][a,b] thành nn đoạn bằng nhau, mỗi đoạn rộng Δx=b−an\Delta x=\frac{b-a}{n}. Ở đoạn thứ ii, chọn một điểm xi∗x_i^* (mút trái, mút phải hoặc trung điểm). Hình chữ nhật thứ ii cao f(xi∗)f(x_i^*). Cộng các hình chữ nhật rồi cho nn rất lớn, ta được tích phân.

Phần đồ thị dưới trục hoành cho giá trị âm. Muốn diện tích hình học, hãy tách đoạn tại các điểm đồ thị cắt trục hoành, rồi lấy giá trị tuyệt đối từng phần. Nếu ff liên tục trên [a,b][a,b], ta tính bằng F(b)−F(a)F(b)-F(a), với FF là nguyên hàm của ff.

The definite integral of ff on [a,b][a,b] is the signed area between the graph of ff and the x-axis. Divide [a,b][a,b] into nn equal subintervals, each of width Δx=b−an\Delta x=\frac{b-a}{n}. In the iith subinterval, choose a sample point xi∗x_i^* (the left endpoint, right endpoint, or midpoint). The iith rectangle has height f(xi∗)f(x_i^*). Add up the areas of the rectangles and let nn grow without bound, and the limit of these sums is the definite integral.

Any part of the graph below the x-axis contributes a negative value. To find the geometric area, split the interval at the points where the graph crosses the x-axis, then take the absolute value of each piece. If ff is continuous on [a,b][a,b], the integral equals F(b)−F(a)F(b)-F(a), where FF is an antiderivative of ff.

Ký hiệuNotation
  • •∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx với aa, bb là cận dưới và cận trên
  • •Δx=b−an\Delta x=\dfrac{b-a}{n}
  • •∑i=1nf(xi∗) Δx\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x là tổng Riemann.
Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas
∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi∗) Δx\int_a^b f(x)\,dx=\htmlClass{fp-3}{\lim_{n\to\infty}\htmlClass{fp-2}{\sum_{i=1}^{n} \htmlClass{fp-0}{f(x_i^*)}\,\htmlClass{fp-1}{\Delta x}}}

Dùng khi đề yêu cầu xấp xỉ bằng tổng Riemann trái, phải, điểm giữa, hoặc đổi giới hạn của một tổng sang tích phân.Use this when a problem asks you to approximate with a left, right, or midpoint Riemann sum, or to convert the limit of a sum into an integral.

Trong đóWhere

a, ba,\ bcận dưới và cận trên của đoạn lấy tích phânf(x)f(x)hàm số dưới dấu tích phân, giả sử liên tục trên [a,b][a,b]nnsố đoạn con chia đều của [a,b][a,b]Δx\Delta xbề rộng mỗi đoạn con, bằng b−an\dfrac{b-a}{n}xi∗x_i^*điểm mẫu chọn trong đoạn con thứ ii (đầu trái, đầu phải hoặc điểm giữa)
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{F(b)}-\htmlClass{fp-1}{F(a)}}

Dùng khi tìm được nguyên hàm FF của ff để tính chính xác tích phân xác định.Use this when you can find an antiderivative FF of ff and want to evaluate the definite integral exactly.

Trong đóWhere

F(x)F(x)một nguyên hàm bất kì của ff, thỏa F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)a, ba,\ bcận dưới và cận trên của tích phân
Δx=b−an\Delta x=\dfrac{b-a}{n}

Dùng để tính bề rộng mỗi đoạn con khi chia đều [a,b][a,b] thành nn phần, trước khi lập tổng Riemann.Use this to find the width of each subinterval when [a,b][a,b] is divided into nn equal parts, before setting up the Riemann sum.

Trong đóWhere

Δx\Delta xbề rộng mỗi đoạn cona, ba,\ bhai đầu mút của đoạn chiannsố đoạn con
Hay hiểu saiCommon misconceptions1 ý · 1 phút đọc1 point · 1 min read

Đọc giới hạn của tổng thành tích phân thì không được đoán cận.

Cần khớp Δx=b−an\Delta x=\frac{b-a}{n} và điểm xi∗x_i^*. Trên [2,6][2,6] thì Δx=4n\Delta x=\frac{4}{n}, và với mút phải thì xi∗=2+4inx_i^*=2+\frac{4i}{n}.

When you rewrite the limit of a sum as an integral, you cannot just guess the limits of integration.

Match Δx=b−an\Delta x=\frac{b-a}{n} and the sample point xi∗x_i^* to the sum. On [2,6][2,6], Δx=4n\Delta x=\frac{4}{n}, and with right endpoints xi∗=2+4inx_i^*=2+\frac{4i}{n}.

Mẹo phòng thiExam tips1 mẹo1 tip

Đề hỏi diện tích thì đừng chỉ tính tích phân của ff.

Phần dương và phần âm triệt tiêu nhau. Ví dụ ∫−11x dx=0\int_{-1}^{1}x\,dx=0 nhưng diện tích thật là 11.

If a question asks for area, do not simply evaluate the integral of ff.

Positive and negative parts cancel each other. For example, ∫−11x dx=0\int_{-1}^{1}x\,dx=0, but the actual area is 11.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common
Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common
Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1675 (kí hiệu $\int$ của Leibniz); khoảng 1819–1820 (cách viết có cận của Fourier)Gottfried Wilhelm LeibnizJoseph FourierIsaac NewtonAnh em nhà Bernoulli

Ý niệm nảy sinh từ bài toán tính diện tích và thể tích; Leibniz đưa ra kí hiệu ∫\int năm 1675, còn Fourier viết cận trên, cận dưới khoảng 1819–1820.
The idea arose from problems of finding areas and volumes. Leibniz introduced the symbol ∫\int in 1675, and Fourier wrote the upper and lower limits of integration around 1819–1820.

Vì sao mang đúng cái tên này? Dấu ∫\int là chữ "s" kéo dài, kiểu chữ s dài (ſ) của thời xưa. Leibniz lấy nó từ chữ đầu của từ Latin "summa", nghĩa là "tổng". Cái tên vì thế gợi đúng ý nghĩa ban đầu của phép toán: cộng gộp vô số đại lượng rất nhỏ. Leibniz viết kí hiệu này để chỉ tổng của mọi giá trị của một đại lượng, chẳng hạn ∫x dx\int x\,dx. Còn từ "tích phân" (integral) thì không do Leibniz đặt. Theo một luận văn về lịch sử khái niệm này, tên gọi đó do anh em nhà Bernoulli gợi ý. Kí hiệu của Leibniz ban đầu dùng cho tích phân bất định (indefinite integral). Mãi đến khoảng 1819–1820, Fourier mới viết cận dưới và cận trên ngay trên và dưới dấu ∫\int, và đó là dạng ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx mà học sinh AP thấy hôm nay. Kí hiệu của Newton kém may mắn hơn. Ông gọi tích phân là đại lượng chảy (fluent), coi nó là phép ngược của đạo hàm mà ông gọi là fluxion. Để chỉ tích phân, ông đặt một vạch đứng nhỏ phía trên biến hoặc đóng biến trong một cái khung. Vạch đứng dễ nhầm với kí hiệu đạo hàm, còn cái khung thì thợ in khó dựng, nên cả hai cách viết đều không được dùng rộng rãi.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTổng Riemann, ký hiệu tổng sigma và ký hiệu tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ diện tích bằng tổng RiemannTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB
Cần trướcLearn firsttổng RiemannRiemann sum
Dẫn tớiLeads tođịnh lý cơ bản của giải tíchfundamental theorem of calculusgiá trị trung bình của hàm sốaverage value of a function
Liên quanRelatedgiới hạnlimitcận tích phânlimits of integrationtích phân bất địnhindefinite integral
Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

tích phân bất địnhindefinite integral
Khác nhau ở đâuHow they differTích phân xác định có hai cận và cho ra một số, thường gắn với diện tích có dấu. Tích phân bất định không có cận và cho ra một họ hàm cộng hằng số CC.
Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho ∫132x dx\int_1^3 2x\,dx mà thí sinh viết x2+Cx^2+C thay vì thay cận để được 88; ngược lại, gặp ∫2x dx\int 2x\,dx lại tự thay số.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

  1. [1]Stewart. tr. 7, 18, 26.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy.Written by DucklingStudy. © DucklingStudy. Xuất bảnPublished .