AP Calculus BCAP Calculus AB

tích phân bất địnhindefinite integral

indefinite integralVietnamese: tích phân bất định

Tích phân bất định (indefinite integral) của một hàm là họ tất cả nguyên hàm của hàm đó, viết dưới dạng một nguyên hàm cộng thêm hằng số tùy ý.The indefinite integral of a function is the family of all its antiderivatives, written as one antiderivative plus an arbitrary constant.

Trực giác: Biết vận tốc xe ở mọi lúc, bạn biết xe đi được bao xa, nhưng không biết nó xuất phát từ đâu. Mỗi điểm xuất phát cho một đường vị trí khác.Intuition: If you know a car's velocity at every moment, you know how far it has traveled, but not where it started. Each starting point gives a different position curve.

Công thức chínhKey formula

\int f(x)\,dx = F(x) + C

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tích phân bất định (indefinite integral) của hàm $f(x)$ là tập hợp mọi hàm có đạo hàm bằng $f(x)$ trên một khoảng. Chẳng hạn $\int 2x\,dx = x^2 + C$ , vì $(x^2+C)'=2x$ với mọi hằng số $C$ .

Hai nguyên hàm bất kì trên cùng một khoảng chỉ hơn kém nhau một hằng số. Nên chỉ cần tìm một nguyên hàm $F(x)$ rồi cộng $C$ . Khác với tích phân xác định cho ra một số, tích phân bất định cho ra một họ hàm. Khi tính $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ với cận $a$ , $b$ , hằng số $C$ bị triệt tiêu, nên chọn $C=0$ là đủ.

The indefinite integral of a function $f(x)$ is the set of all functions whose derivative equals $f(x)$ on an interval. For example, $\int 2x\,dx = x^2 + C$ , because $(x^2+C)'=2x$ for every constant $C$ .

Any two antiderivatives on the same interval differ only by a constant, so it is enough to find one antiderivative $F(x)$ and add $C$ . Unlike a definite integral, which gives a number, an indefinite integral gives a family of functions. When you evaluate $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ with limits $a$ and $b$ , the constant $C$ cancels, so choosing $C=0$ is sufficient.

Ký hiệuNotation

\int f(x)\,dx = F(x) + C

, với

F'(x) = f(x)

. Dấu

\int

là dấu tích phân,

f(x)

là hàm dưới dấu tích phân (integrand),

dx

cho biết biến lấy nguyên hàm,

C

là hằng số tích phân.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\int f(x)\,dx} = \htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-1}{F(x)} + \htmlClass{fp-2}{C}}

Dùng cho bài "tính $\int f(x)\,dx$ " không có cận; kết quả là một họ hàm nên phải ghi kèm $+C$ .Use this for problems that ask you to evaluate $\int f(x)\,dx$ with no limits of integration; the result is a family of functions, so you must include $+C$ .

Trong đóWhere

f(x)

hàm dưới dấu tích phân (hàm cần tìm nguyên hàm)

F(x)

một nguyên hàm của

f

, thỏa

F'(x)=f(x)

C

hằng số tích phân, nhận giá trị thực bất kì

dx

vi phân, cho biết biến lấy tích phân là

x

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Viết $\int 2x\,dx = x^2$ là thiếu $+C$ .

Đạo hàm của $x^2+C$ bằng $2x$ với mọi hằng số $C$ . Thiếu $C$ mới là một nguyên hàm, chưa đủ cả họ.

Tích phân bất định là một họ hàm, không phải một số.

Không có cận thì phải có $+C$ . Có cận thì kết quả là một số, không thêm $+C$ .

Writing $\int 2x\,dx = x^2$ is incomplete because it omits $+C$ .

The derivative of $x^2+C$ is $2x$ for every constant $C$ , so $x^2$ alone is just one antiderivative, not the whole family.

An indefinite integral is a family of functions, not a number.

Without limits of integration, the answer needs $+C$ ; with limits, the result is a number and takes no $+C$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết $+C$ ngay khi lấy nguyên hàm, trước khi thay điều kiện ban đầu.

Trong bài phương trình vi phân tách biến, quên $+C$ ở bước này thường mất cả các điểm sau. Sau đó mới thay điều kiện ban đầu để tìm $C$ .

Đạo hàm lại kết quả để kiểm tra.

Ra đúng hàm dưới dấu tích phân là đúng. Nếu lệch một hệ số, thường do quên chia cho hệ số của $x$ . Ví dụ $\int \cos 3x\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x + C$ .

Write $+C$ as soon as you take the antiderivative, before applying the initial condition.

In a separable differential equation, forgetting $+C$ at this step usually costs all the later points. Only then substitute the initial condition to solve for $C$ .

Differentiate your answer to check it.

If you get back the integrand, the answer is correct. If you are off by a constant factor, you probably forgot to divide by the coefficient of $x$ , as in $\int \cos 3x\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x + C$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1675Gottfried Wilhelm LeibnizIsaac Newton

Năm 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz đưa ra ký hiệu tích phân bất định để biểu diễn việc cộng gộp vô số đại lượng vô cùng nhỏ.

In 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz introduced the notation for the indefinite integral to represent the summation of infinitely many infinitesimal quantities.

Vì sao mang đúng cái tên này? Dấu ∫ không phải một ký hiệu tự nghĩ ra từ hư không. Leibniz lấy nó từ chữ s dài (long s), viết là ſ, đứng cho từ Latinh summa nghĩa là "tổng". Vì vậy, khi nhìn dấu tích phân, ta thực chất đang nhìn một chữ "S" kéo dài, nhắc rằng tích phân là phép cộng gộp rất nhiều phần nhỏ. Ban đầu Leibniz viết theo kiểu biểu diễn tổng của mọi giá trị của đại lượng $x$ , rồi về sau mới chuyển sang dạng $\int x\,dx$ . Còn tên gọi "tích phân" (integral) là do anh em nhà Bernoulli gợi ý. Cách viết của Newton thì kém may mắn hơn. Ông đặt một vạch đứng nhỏ phía trên biến, hoặc bao biến trong một cái khung. Vạch đứng dễ nhầm với dấu chấm trên đầu $\dot{x}$ hay dấu phẩy $x'$ vốn dùng để chỉ đạo hàm, còn kiểu khung lại khó in. Vì thế các cách viết này không được dùng rộng rãi. Ký hiệu của Leibniz linh hoạt hơn và cuối cùng được chấp nhận ở Anh vào đầu thế kỷ 19, nhờ hoạt động của Analytical Society.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo điểm đầu lên xuống — mọi nguyên hàm chỉ lệch nhau theo phương đứng

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNguyên hàm & tích phân bất định: quy tắc cơ bản và ký hiệuTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân bằng phép đổi biếnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNguyên hàm & tích phân bất định: quy tắc cơ bản và ký hiệuTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân bằng phép đổi biếnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđạo hàmderivative

Dẫn tớiLeads tophương pháp đổi biến sốintegration by substitution bài toán giá trị ban đầuinitial value problem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tích phân xác địnhdefinite integral

Khác nhau ở đâuHow they differTích phân bất định cho một họ hàm số dạng

F(x)+C

. Tích phân xác định có hai cận và cho ra một con số.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

\int_a^b f(x)\,dx

nhưng học sinh lại viết thêm

+C

, hoặc đề hỏi nguyên hàm tổng quát mà học sinh lại thay cận để ra một số.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 7, 437, 448.