AP Calculus BCAP Calculus AB

nghiệm tổng quátgeneral solution

general solutionVietnamese: nghiệm tổng quát

Còn gọi:Also called: family of solutions · general solution of a differential equation

Nghiệm tổng quát (general solution) của phương trình vi phân là công thức chứa hằng số tùy ý C, mỗi giá trị của C cho một nghiệm của phương trình.A general solution of a differential equation is a formula containing an arbitrary constant $C$ , where each value of $C$ gives one solution of the equation.

Trực giác: Nghiệm tổng quát giống một công thức nấu ăn còn để trống chỗ "nêm muối tùy ý": mỗi lượng muối cho ra một nồi canh khác nhau nhưng vẫn cùng một món.Intuition: A general solution is like a recipe with a blank that says "add salt to taste": each amount of salt gives a different pot of soup, but it is still the same dish.

Công thức chínhKey formula

y=\int f(x)\,dx=F(x)+C

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Nghiệm tổng quát là công thức chứa hằng số tùy ý $C$ . Mỗi giá trị của $C$ cho một nghiệm của phương trình vi phân. Ví dụ, $f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ có nghiệm tổng quát $f(x)=\arctan x+C$ .

Hằng số $C$ xuất hiện vì đạo hàm làm mất hằng số cộng. Mỗi giá trị $C$ ứng với một đường cong trong họ. Phương trình cấp một thường có một hằng số, cấp hai có hai hằng số. Nghiệm riêng là một đường duy nhất, tìm $C$ nhờ điều kiện ban đầu. Với một số phương trình, vài nghiệm đặc biệt (như $y=0$ ) có thể không nằm trong công thức.

A general solution is a formula containing an arbitrary constant $C$ , and each value of $C$ gives one solution of the differential equation. For example, $f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ has the general solution $f(x)=\arctan x+C$ .

The constant $C$ appears because differentiation eliminates any added constant. Each value of $C$ corresponds to one curve in the family. A first-order equation typically has one constant, and a second-order equation has two. A particular solution is a single curve, and its value of $C$ is found from an initial condition. For some equations, a few special solutions (such as $y=0$ ) may not be included in the formula.

Ký hiệuNotation

• $y=F(x)+C$ với $C$ là hằng số tùy ý
•có thể ở dạng ẩn như $y^2+\sin y=2x^3+C$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

y=\htmlClass{fp-0}{\int f(x)\,dx}=\htmlClass{fp-1}{F(x)}+\htmlClass{fp-2}{C}

Dùng cho $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ khi chưa có điều kiện đầu; được họ nghiệm chứa $C$ , rồi thay điều kiện đầu để tìm nghiệm riêng.Use this for $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ when no initial condition is given. It yields a family of solutions containing $C$ , and substituting the initial condition then gives the particular solution.

Trong đóWhere

y

hàm cần tìm, thỏa phương trình vi phân

f(x)

vế phải của phương trình, chính là

\dfrac{dy}{dx}

F(x)

một nguyên hàm bất kỳ của

f(x)

, tức

F'(x)=f(x)

C

hằng số tùy ý; mỗi giá trị của

C

cho một nghiệm riêng

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Thiếu $C$ thì chưa phải nghiệm tổng quát.

Không có $C$ chỉ được một đường cong, không phải cả họ nghiệm. Khi tách biến, chỉ cần một hằng số $C$ ở một vế.

Đặt $C$ ngay khi lấy nguyên hàm, đừng cộng vào cuối.

Từ $y^3=\dfrac{x^2}{2}-x+C$ ta được $y=\left(\dfrac{x^2}{2}-x+C\right)^{1/3}$ . Viết $\left(\dfrac{x^2}{2}-x\right)^{1/3}+C$ là họ đường cong khác, không thỏa phương trình.

Đừng bỏ dấu $\pm$ khi khai căn, trừ khi đề cho dấu của $y$ .

Từ $y^2=\sin x-\cos x+C$ ta được $y=\pm\sqrt{\sin x-\cos x+C}$ . Bỏ $\pm$ sớm thì mất một nửa họ nghiệm.

Without $C$ , a formula is not a general solution.

Without $C$ you get only one curve, not the whole family of solutions. When separating variables, you need only one constant $C$ , placed on one side.

Include $C$ as soon as you integrate, rather than adding it at the end.

From $y^3=\dfrac{x^2}{2}-x+C$ we get $y=\left(\dfrac{x^2}{2}-x+C\right)^{1/3}$ . Writing $\left(\dfrac{x^2}{2}-x\right)^{1/3}+C$ gives a different family of curves that does not satisfy the equation.

Do not drop the $\pm$ when taking a square root unless the sign of $y$ is given.

From $y^2=\sin x-\cos x+C$ we get $y=\pm\sqrt{\sin x-\cos x+C}$ . Dropping the $\pm$ too early loses half of the solution family.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết $+C$ ngay khi lấy nguyên hàm, trước mọi bước khác.

Bài tách biến có điểm riêng cho bước có $C$ . Quên $C$ thì các bước sau thường không được điểm.

Đề yêu cầu $y$ theo $x$ thì phải giải ra $y$ , đừng dừng ở $\sin y=e^{\sin x}+C$ .

Chỉ viết $y=\arcsin\left(e^{\sin x}+C\right)$ khi điều kiện ban đầu cho $y$ trong $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ .

Write $+C$ at the moment you integrate, before doing anything else.

Separable-variable problems award a separate point for the step that includes $C$ . If you forget $C$ , the later steps usually earn no credit.

If the problem asks for $y$ in terms of $x$ , solve for $y$ rather than stopping at $\sin y=e^{\sin x}+C$ .

Write $y=\arcsin\left(e^{\sin x}+C\right)$ only when the initial condition places $y$ in $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo điểm đầu khắp mặt phẳng — mỗi điểm chọn ra một đường trong họ nghiệm

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm tổng quát bằng phương pháp tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNguyên hàm & tích phân bất định: quy tắc cơ bản và ký hiệuTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm tổng quát bằng phương pháp tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNguyên hàm & tích phân bất định: quy tắc cơ bản và ký hiệuTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstnguyên hàmantiderivative

Dẫn tớiLeads tophương pháp tách biếnseparation of variables bài toán giá trị ban đầuinitial value problem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

nghiệm riêngparticular solution

Khác nhau ở đâuHow they differNghiệm tổng quát chứa hằng số tuỳ ý

C

và biểu diễn cả họ đường cong. Nghiệm riêng đã có

C

cụ thể nên chỉ là một đường đi qua điểm cho trước.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho điều kiện đầu như

y(0)=3

thì phải tìm nghiệm riêng, đừng dừng lại ở nghiệm tổng quát còn chứa

C

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 385, 621, 633.