AP Calculus BC

phương trình vi phân logisticlogistic differential equation

logistic differential equationVietnamese: phương trình vi phân logistic

Còn gọi:Also called: logistic growth · logistic model

Phương trình vi phân logistic (logistic differential equation) là phương trình mô tả quần thể tăng nhanh rồi chậm dần tới sức chứa môi trường.A logistic differential equation models a population that grows quickly at first, then slows as it approaches the carrying capacity of its environment.

Trực giác: Tin đồn trong lớp 40 bạn lan nhanh nhất khi nửa lớp đã biết: lúc đó vừa nhiều người kể, vừa nhiều người để nghe.Intuition: A rumor in a class of 40 students spreads fastest when half the class already knows it, because then there are both many people to tell it and many people left to hear it.

Công thức chínhKey formula

\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Phương trình vi phân logistic (logistic differential equation) mô tả quần thể lớn lên nhưng bị môi trường kìm lại. Gọi $P$ là số cá thể ở thời điểm $t$ , $M$ là sức chứa, $k>0$ là hằng số. Khi đó $\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{M}\right)$ .

Khi $P$ nhỏ, quần thể tăng gần như theo hàm mũ. $P$ tăng khi $0<P<M$ và giảm khi $P>M$ . Vậy $P=M$ là nghiệm cân bằng ổn định, còn $P=0$ không ổn định. Nếu $0<P(0)<\frac{M}{2}$ , đồ thị có dạng chữ S, điểm uốn tại $P=\frac{M}{2}$ , tiệm cận ngang $P=M$ . Trong công thức nghiệm, $K=M$ , $P_0=P(0)$ và $A=\frac{M-P_0}{P_0}$ .

A logistic differential equation describes a population whose growth is limited by its environment. Let $P$ be the population at time $t$ , $M$ the carrying capacity, and $k>0$ a constant. Then $\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{M}\right)$ .

When $P$ is small, the population grows nearly exponentially. $P$ increases when $0<P<M$ and decreases when $P>M$ , so $P=M$ is a stable equilibrium solution and $P=0$ is unstable. If $0<P(0)<\frac{M}{2}$ , the graph is S-shaped, with an inflection point at $P=\frac{M}{2}$ and a horizontal asymptote at $P=M$ . In the solution formula, $K=M$ , $P_0=P(0)$ , and $A=\frac{M-P_0}{P_0}$ .

Ký hiệuNotation

• $\dfrac{dP}{dt}=kP\left(1-\dfrac{P}{M}\right)$
• $P$ là quy mô quần thể, $k$ là hằng số tăng trưởng, $M$ là sức chứa. Đề AP đôi khi viết $\dfrac{dP}{dt}=\dfrac{k}{M}P(M-P)$ , cùng một phương trình. Một số đề dùng $L$ thay cho $M$ và $y$ thay cho $P$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-3}{\frac{dP}{dt}}=\htmlClass{fp-0}{kP}\htmlClass{fp-2}{\left(1-\htmlClass{fp-1}{\frac{P}{K}}\right)}

Dùng để đọc xu hướng nghiệm mà không cần giải: xét dấu $\frac{dP}{dt}$ , và $P=K/2$ cho tốc độ tăng lớn nhất.Use this to read the long-term behavior of solutions without solving: check the sign of $\frac{dP}{dt}$ , and note that $P=K/2$ gives the maximum growth rate.

Trong đóWhere

P

quy mô quần thể tại thời điểm

t

t

thời gian

k

hằng số tốc độ tăng trưởng (

k>0

), cho biết quần thể tăng nhanh thế nào khi còn nhỏ

K

sức chứa của môi trường (carrying capacity), tức quy mô tối đa mà môi trường duy trì được lâu dài

P(t)=\frac{K}{1+Ae^{-kt}},\quad A=\frac{K-P_0}{P_0}

Dùng khi đề cho $P(0)=P_0$ và hỏi quy mô quần thể tại một thời điểm cụ thể; khi $t\to\infty$ thì $P\to K$ .Use this when the problem gives $P(0)=P_0$ and asks for the population size at a specific time; as $t\to\infty$ , $P\to K$ .

Trong đóWhere

P(t)

quy mô quần thể tại thời điểm

t

P_0

quy mô ban đầu, tức

P(0)

A

hằng số xác định từ điều kiện ban đầu

k

hằng số tốc độ tăng trưởng

K

sức chứa của môi trường

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Sức chứa là $M$ trong thừa số $(M-P)$ , không phải hệ số đứng ngoài.

Với $\frac{dP}{dt}=\frac{1}{2100}P(700-P)$ , sức chứa là $700$ . Với $\frac{dP}{dt}=\frac{1}{10}P-\frac{1}{5000}P^2$ , hãy đặt $P$ ra ngoài: $\frac{1}{5000}P(500-P)$ , nên sức chứa là $500$ .

Điểm uốn ở $P=\frac{M}{2}$ chỉ có khi $0<P(0)<\frac{M}{2}$ .

Khi đó đồ thị lõm lên trước, rồi lõm xuống sau điểm uốn. Nếu $P(0)>\frac{M}{2}$ thì $P$ đã qua mức $\frac{M}{2}$ ngay từ đầu, nên đồ thị không có điểm uốn.

Có $P$ và $(M-P)$ chưa chắc là logistic.

Cần dạng $rP(M-P)$ với $r>0$ và $M>0$ . Với $r>0$ , phương trình $\frac{dP}{dt}=rP(P-M)$ có $P=M$ là cân bằng không ổn định. Nếu $P>M$ thì $P$ tăng vọt; nếu $0<P<M$ thì $P$ giảm về $0$ .

The carrying capacity is the $M$ in the factor $(M-P)$ , not the coefficient in front.

For $\frac{dP}{dt}=\frac{1}{2100}P(700-P)$ , the carrying capacity is $700$ . For $\frac{dP}{dt}=\frac{1}{10}P-\frac{1}{5000}P^2$ , factor out $P$ to get $\frac{1}{5000}P(500-P)$ , so the carrying capacity is $500$ .

The inflection point at $P=\frac{M}{2}$ exists only when $0<P(0)<\frac{M}{2}$ .

In that case the graph is concave up first and concave down after the inflection point. If $P(0)>\frac{M}{2}$ , then $P$ is already past $\frac{M}{2}$ at the start, so the graph has no inflection point.

Having both $P$ and $(M-P)$ as factors does not guarantee the equation is logistic.

The form must be $rP(M-P)$ with $r>0$ and $M>0$ . For $r>0$ , the equation $\frac{dP}{dt}=rP(P-M)$ has an unstable equilibrium at $P=M$ . If $P>M$ , then $P$ blows up; if $0<P<M$ , then $P$ decreases toward $0$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Đọc sức chứa $M$ trước, rồi mới tìm hằng số.

Cách này loại ngay đáp án sai sức chứa. Ở tự luận, hãy viết $\frac{dP}{dt}=rP(M-P)$ với $r>0$ trước khi thay số. Hằng số này khác $k$ : $r=\frac{k}{M}$ . Khi dùng $P(t)=\frac{M}{1+Ae^{-kt}}$ thì lấy $k=rM$ .

Giới hạn và tốc độ tăng lớn nhất không cần giải.

Nếu $P(0)>0$ thì $P(t)$ tiến tới $M$ khi $t$ càng lớn. Tốc độ tăng lớn nhất khi $P=\frac{M}{2}$ . Hãy nêu rõ $0<P(0)<\frac{M}{2}$ để đồ thị đi qua mức đó.

Read off the carrying capacity $M$ first, then find the constant.

This immediately eliminates answer choices with the wrong carrying capacity. On free-response questions, write $\frac{dP}{dt}=rP(M-P)$ with $r>0$ before substituting numbers. This constant differs from $k$ : $r=\frac{k}{M}$ . When using $P(t)=\frac{M}{1+Ae^{-kt}}$ , take $k=rM$ .

You can find the limit and the maximum growth rate without solving the equation.

If $P(0)>0$ , then $P(t)$ approaches $M$ as $t$ becomes large, and the growth rate is greatest when $P=\frac{M}{2}$ . State that $0<P(0)<\frac{M}{2}$ so the graph actually passes through that level.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1838Pierre François VerhulstAdolphe QueteletRaymond PearlLowell ReedAlfred J. Lotka

Verhulst, dưới sự hướng dẫn của Quetelet, xây dựng phương trình từ giữa thập niên 1830 đến 1847 để mô tả dân số sát thực tế hơn mô hình mũ.

Verhulst, under the guidance of Quetelet, developed the equation between the mid-1830s and 1847 to describe population growth more realistically than the exponential model.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chính Verhulst là người đặt tên cho hàm này, trong bài phân tích mở rộng năm 1844 (công bố năm 1845). Các nguồn đã đọc không giải thích vì sao ông chọn chữ "logistic", nên không thể nói gì thêm về gốc của chữ này. Về sau, phương trình còn được gọi là phương trình Verhulst–Pearl, vì Raymond Pearl và Lowell Reed tìm lại nó năm 1920. Đến năm 1925, Alfred J. Lotka lại suy ra phương trình một lần nữa và gọi nó là "quy luật tăng trưởng dân số".

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình logistic với phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm tổng quát bằng phương pháp tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termSuy luận với trường hệ số gócPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstphương trình vi phândifferential equation sức chứa môi trườngcarrying capacity

Dẫn tớiLeads tophương pháp tách biếnseparation of variables bài toán giá trị ban đầuinitial value problem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tăng trưởng mũexponential growth

Khác nhau ở đâuHow they differTăng trưởng mũ có

\dfrac{dy}{dt}=ky

nên tăng mãi không giới hạn. Mô hình logistic có

\dfrac{dy}{dt}=ky\left(1-\dfrac{y}{K}\right)

nên tiến tới sức chứa

K

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho quần thể trong môi trường hữu hạn, hoặc hỏi

\lim_{t\to\infty}y

, thì dùng logistic. Nếu đề không nhắc giới hạn nào của quần thể thì thường là tăng trưởng mũ.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 619, 644, 649.