AP Calculus BCAP Calculus AB

phương pháp tách biếnseparation of variables

separation of variablesVietnamese: phương pháp tách biến

Phương pháp tách biến (separation of variables) là cách giải phương trình vi phân bằng cách đưa y về một vế, x về vế kia rồi tích phân hai vế.Separation of variables is a method for solving a differential equation by moving all the y terms to one side and all the x terms to the other, then integrating both sides.

Trực giác: Giống như sắp đồ vào hai giỏ: giỏ một chỉ có đồ của y, giỏ hai chỉ có đồ của x. Xong mới xử lý riêng từng giỏ.Intuition: Think of sorting items into two baskets: one holds only the y terms, the other only the x terms. Then you deal with each basket on its own.

Công thức chínhKey formula

\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)\quad\Longrightarrow\quad\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tách biến giải phương trình dạng $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ , với $g(x)$ chỉ chứa $x$ và $h(y)$ chỉ chứa $y$ . Ta đưa $y$ và $dy$ về một vế, $x$ và $dx$ về vế kia, rồi lấy tích phân hai vế.

Ví dụ: $\dfrac{dy}{dx}=2xy$ cho $\dfrac{dy}{y}=2x\,dx$ , nên $\ln|y|=x^2+C$ . Chia cho $h(y)$ có thể làm mất nghiệm hằng $y=k$ với $h(k)=0$ (ở đây là $y=0$ ), nên phải xét riêng. Phương trình $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ không viết được thành tích hai thừa số, nên không tách biến được.

Separation of variables solves equations of the form $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ , where $g(x)$ contains only $x$ and $h(y)$ contains only $y$ . Move $y$ and $dy$ to one side and $x$ and $dx$ to the other, then integrate both sides.

Example: $\dfrac{dy}{dx}=2xy$ gives $\dfrac{dy}{y}=2x\,dx$ , so $\ln|y|=x^2+C$ . Dividing by $h(y)$ can lose a constant solution $y=k$ where $h(k)=0$ (here, $y=0$ ), so check for such solutions separately. The equation $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ cannot be written as a product of an $x$ -factor and a $y$ -factor, so it is not separable.

Ký hiệuNotation

• $\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)$
•sau khi tách: $\int \dfrac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx + C$

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)}\quad\Longrightarrow\quad\htmlClass{fp-3}{\int\htmlClass{fp-1}{\frac{1}{h(y)}\,dy}=\int\htmlClass{fp-2}{g(x)\,dx}}

Dùng cho phương trình dạng $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ : chia cho $h(y)\neq 0$ , tích phân hai vế, và xét riêng nghiệm hằng khi $h(y)=0$ .Use this for equations of the form $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ : divide by $h(y)\neq 0$ , integrate both sides, and check separately for constant solutions where $h(y)=0$ .

Trong đóWhere

\frac{dy}{dx}

đạo hàm của

y

theo

x

, vế trái của phương trình vi phân

g(x)

thừa số chỉ phụ thuộc biến

x

h(y)

thừa số chỉ phụ thuộc biến

y

, với

h(y)\neq 0

khi chia

C

hằng số tích phân, xuất hiện sau khi lấy tích phân hai vế

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Quên $+C$ khi lấy nguyên hàm hai vế là sai.

Thiếu $+C$ thì chỉ còn một nghiệm, không còn cả họ nghiệm và không dùng được điều kiện ban đầu. Chỉ cần một hằng số $C$ , viết ngay lúc lấy nguyên hàm.

Phải tách $y$ và $dy$ về một vế trước khi lấy nguyên hàm.

Với $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ , hãy viết $\dfrac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx$ trước. Khi đó mỗi vế chỉ chứa một biến. Để $y$ ở vế có $dx$ rồi coi $y$ như hằng số là sai.

Nguyên hàm của $\dfrac{1}{y}$ là $\ln|y|$ , không phải $\ln y$ .

Lý do là $y$ có thể âm. Khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, hãy dùng điều kiện ban đầu để biết $y$ dương hay âm.

Forgetting $+C$ when integrating both sides is an error.

Without $+C$ you find only one solution instead of the whole family, and you cannot apply an initial condition. One constant $C$ is enough; write it as soon as you integrate.

You must separate $y$ and $dy$ onto one side before integrating.

For $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ , first write $\dfrac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx$ , so each side contains only one variable. Leaving $y$ on the $dx$ side and treating it as a constant is wrong.

The antiderivative of $\dfrac{1}{y}$ is $\ln|y|$ , not $\ln y$ .

This is because $y$ may be negative. When you drop the absolute value, use the initial condition to decide whether $y$ is positive or negative.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết rõ dòng đã tách biến và hai tích phân.

Bài tự luận AP chấm theo từng bước: dạng đã tách, hai nguyên hàm có $+C$ , rồi giá trị $C$ . Khi đề yêu cầu tách biến, chỉ ghi đáp số thường không đủ điểm.

Đề hỏi $y=f(x)$ thì phải rút $y$ theo $x$ .

Dừng ở dạng ẩn như $\ln|y|=x^2+C$ sẽ mất điểm cuối. Hãy thay điều kiện ban đầu để tìm $C$ , rồi viết nghiệm riêng.

Show the separated equation and both integrals.

AP free-response questions are scored step by step: the separated form, both antiderivatives with $+C$ , and then the value of $C$ . When a problem asks for separation of variables, a final answer alone usually earns little credit.

If the question asks for $y=f(x)$ , solve for $y$ in terms of $x$ .

Stopping at an implicit form such as $\ln|y|=x^2+C$ loses the final point. Substitute the initial condition to find $C$ , then write the particular solution.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1750 (theo ghi nhận của một nguồn tra cứu)L'Hospital

Giải tích của Newton và Leibniz cuối thế kỷ 17 dẫn tới phương trình vi phân; tách biến ra đời để giải loại đưa được mỗi biến về một vế.

Newton's and Leibniz's calculus in the late 17th century led to differential equations. Separation of variables arose as a way to solve those in which each variable can be moved to its own side.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi mô tả đúng thao tác cốt lõi của phương pháp: tách hai biến ra khỏi nhau. Một phương trình vi phân thường (ordinary differential equation) có dạng $\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ được gọi là tách biến được (separable) vì khi $h(y)\neq 0$ , đại số cho phép viết lại sao cho $y$ chỉ nằm ở một vế và $x$ chỉ nằm ở vế còn lại, tức $\dfrac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx$ . Nhờ đó, mỗi vế chỉ còn một biến và có thể lấy nguyên hàm riêng rẽ. "Tách" ở đây là tách trong phép biến đổi đại số, không phải tách theo nghĩa hình học.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm tổng quát bằng phương pháp tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm tổng quát bằng phương pháp tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttích phân bất địnhindefinite integral

Dẫn tớiLeads tobài toán giá trị ban đầuinitial value problem tăng trưởng mũexponential growth

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương pháp đổi biến sốintegration by substitution

Khác nhau ở đâuHow they differTách biến dùng để giải phương trình vi phân bằng cách đưa

y

và

x

về hai vế riêng. Đổi biến số dùng để tính một tích phân bằng cách thay

u=g(x)

Hay nhầm khiMixed up whenCả hai đều có thao tác với

dx

và

dy

rồi lấy tích phân, nên dễ lẫn. Đề cho phương trình chứa

\dfrac{dy}{dx}

thì tách biến, đề cho sẵn một tích phân cần tính thì đổi biến.

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic