AP Calculus BCAP Calculus AB

hằng số tích phânconstant of integration

constant of integrationVietnamese: hằng số tích phân

Hằng số tích phân (constant of integration) là số C cộng thêm khi lấy nguyên hàm, vì các nguyên hàm của cùng một hàm chỉ khác nhau một hằng số.The constant of integration is the number $C$ added when finding an antiderivative, because any two antiderivatives of the same function differ only by a constant.

Trực giác: Biết vận tốc xe ở mọi lúc, nhưng không biết xe xuất phát từ cây số nào. Cây số xuất phát đó chính là C.Intuition: Suppose you know a car's velocity at every moment but not which mile marker it started from. That starting mile marker is $C$ .

Công thức chínhKey formula

\int f(x)\,dx=F(x)+C

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hằng số tích phân là số $C$ cộng thêm khi lấy nguyên hàm. Trên một khoảng, mọi nguyên hàm của một hàm chỉ khác nhau một hằng số. Ví dụ $x^2$ và $x^2+5$ đều có đạo hàm $2x$ , nên cùng là nguyên hàm của $2x$ .

Mỗi giá trị của $C$ cho một hàm trong họ. Đồ thị của chúng bị dời lên hoặc xuống, nên tiếp tuyến tại cùng một $x$ song song nhau. Tích phân xác định không cần $C$ , vì $C$ bị trừ mất trong $F(b)-F(a)$ , với $F$ là một nguyên hàm. Nếu đề cho điều kiện ban đầu (giá trị của hàm tại một điểm), thay vào để tìm đúng một giá trị của $C$ .

The constant of integration is the number $C$ added when finding an antiderivative. On an interval, any two antiderivatives of a function differ only by a constant. For example, $x^2$ and $x^2+5$ both have derivative $2x$ , so both are antiderivatives of $2x$ .

Each value of $C$ gives one function in the family. Their graphs are vertical shifts of one another, so the tangent lines at the same $x$ are parallel. A definite integral does not need $C$ , because $C$ cancels in $F(b)-F(a)$ , where $F$ is an antiderivative. If an initial condition is given (the value of the function at a point), substitute it to find exactly one value of $C$ .

Ký hiệuNotation

\int f(x)\,dx = F(x) + C

, trong đó

F'(x)=f(x)

và

C

là hằng số thực tùy ý.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{\int f(x)\,dx}=\htmlClass{fp-1}{F(x)}\htmlClass{fp-2}{+C}

Dùng khi tính tích phân bất định; có điều kiện ban đầu thì thay vào để tìm $C$ . Tích phân xác định thì $C$ triệt tiêu.Use this when evaluating an indefinite integral; if an initial condition is given, substitute it to find $C$ . In a definite integral, $C$ cancels.

Trong đóWhere

f(x)

hàm dưới dấu tích phân, tức hàm cần tìm nguyên hàm

F(x)

một nguyên hàm của

f

, thỏa

F'(x)=f(x)

C

hằng số tích phân, một số thực bất kỳ; mỗi giá trị của

C

cho một nguyên hàm khác nhau

\dfrac{d}{dx}\left[F(x)+C\right]=F'(x)=f(x)

Dùng để kiểm tra nguyên hàm: đạo hàm kết quả phải ra hàm dưới dấu tích phân, và $C$ nào cũng được vì $C'=0$ .Use this to check an antiderivative: differentiating the result must give the integrand, and any $C$ works because $C'=0$ .

Trong đóWhere

F(x)

một nguyên hàm của

f

C

hằng số tích phân; đạo hàm của nó bằng

0

f(x)

hàm dưới dấu tích phân, bằng

F'(x)

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đáp án khác đáp án mẫu một hằng số chưa chắc là sai.

Vì đạo hàm của hằng số bằng $0$ , nên $x^2$ và $x^2+5$ đều là nguyên hàm của $2x$ . Nhưng thiếu $+C$ thì chưa viết đủ họ nguyên hàm.

Tích phân xác định không thêm $+C$ .

Với $F$ là một nguyên hàm, $(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$ nên $C$ bị trừ mất. Chỉ thêm $C$ khi lấy nguyên hàm không có cận.

Thêm $+C$ ngay lúc lấy nguyên hàm, không thêm sau khi giải ra $y$ .

Từ $\ln|y|=x+C$ suy ra $y=Ae^x$ , với $A$ là hằng số mới. Đáp án không phải $y=e^x+C$ , vì $C$ nằm trong số mũ nên thành thừa số nhân.

An answer that differs from the answer key by a constant is not necessarily wrong.

Since the derivative of a constant is $0$ , both $x^2$ and $x^2+5$ are antiderivatives of $2x$ . However, without $+C$ the answer does not describe the whole family of antiderivatives.

A definite integral does not get a $+C$ .

If $F$ is an antiderivative, then $(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$ , so $C$ cancels. Add $C$ only when finding an antiderivative with no limits of integration.

Add $+C$ at the moment you integrate, not after solving for $y$ .

From $\ln|y|=x+C$ it follows that $y=Ae^x$ , where $A$ is a new constant. The answer is not $y=e^x+C$ , because $C$ sits in the exponent and becomes a multiplicative factor.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết $+C$ ngay ở dòng lấy nguyên hàm.

Với phương trình vi phân tự luận, quên $C$ thường mất điểm của bước này. Các điểm của nghiệm riêng phía sau cũng dễ mất theo, dù sau đó bạn dùng điều kiện đúng.

Dùng điều kiện ban đầu để tìm $C$ , rồi viết nghiệm đầy đủ dạng $y=\dots$ .

Chỉ ghi giá trị của $C$ là chưa đủ, vì giám khảo cần thấy $y$ theo $x$ . Thay điểm đã cho ngay sau bước tích phân sẽ gọn hơn.

Write $+C$ on the same line where you integrate.

On a free-response differential equation, forgetting $C$ usually costs the point for that step. It can also cost the later points for the particular solution, even if you then use the initial condition correctly.

Use the initial condition to find $C$ , then write the full solution in the form $y=\dots$ .

Giving only the value of $C$ is not enough, because graders need to see $y$ in terms of $x$ . Substituting the given point right after the integration step keeps the work cleaner.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo điểm đầu lên xuống — đường nguyên hàm tịnh tiến, độ dốc vẫn y nguyên

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNguyên hàm & tích phân bất định: quy tắc cơ bản và ký hiệuTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân từng phầnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNguyên hàm & tích phân bất định: quy tắc cơ bản và ký hiệuTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Dẫn tớiLeads totích phân bất địnhindefinite integral bài toán giá trị ban đầuinitial value problem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

nghiệm riêngparticular solution

Khác nhau ở đâuHow they differHằng số tích phân

C

là tham số tự do, đại diện cho cả họ hàm. Nghiệm riêng là hàm đã thay

C

bằng một số cụ thể.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho điều kiện đầu như

f(0)=3

rồi hỏi hàm cụ thể: phải tìm

C

để ra nghiệm riêng, không dừng ở nghiệm tổng quát.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 507, 544, 891.