AP Calculus BC

tích phân từng phầnintegration by parts

integration by partsVietnamese: tích phân từng phần

Tích phân từng phần (integration by parts) là kỹ thuật đưa tích phân của tích hai hàm về tích phân dễ tính hơn, dựa trên quy tắc đạo hàm của tích.Integration by parts is a technique that rewrites the integral of a product of two functions as an easier integral, based on the product rule for derivatives.

Trực giác: Giống chia lại việc cho hai người: một hàm được làm nhẹ bằng đạo hàm, hàm kia nặng thêm vì lấy nguyên hàm. Chọn khéo thì phần còn lại dễ tính hơn.Intuition: Think of it as redistributing the work between two people: differentiating makes one function lighter, while antidifferentiating makes the other heavier. With a good choice, the remaining integral is easier to evaluate.

Công thức chínhKey formula

\int u\,dv = uv - \int v\,du

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tích phân từng phần là cách tính tích phân của một tích hai hàm khi đổi biến không dùng được. Nó là quy tắc đạo hàm của tích đọc ngược. Viết biểu thức dưới dấu tích phân là $u\,dv$ , với $du=u'(x)\,dx$ , $dv=v'(x)\,dx$ và $v$ là một nguyên hàm của $v'(x)$ .

Ví dụ: với $u=x$ , $dv=e^x\,dx$ thì $du=dx$ , $v=e^x$ , nên $\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+C$ . Hãy chọn $u$ sao cho $du$ đơn giản hơn, và $dv$ sao cho $v$ dễ tính. Với tích phân xác định, phải thế hai cận vào phần $uv$ .

Integration by parts is a method for integrating a product of two functions when substitution does not work. It is the product rule for derivatives read in reverse. Write the integrand as $u\,dv$ , where $du=u'(x)\,dx$ , $dv=v'(x)\,dx$ , and $v$ is an antiderivative of $v'(x)$ .

Example: with $u=x$ and $dv=e^x\,dx$ , we get $du=dx$ and $v=e^x$ , so $\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+C$ . Choose $u$ so that $du$ is simpler, and choose $dv$ so that $v$ is easy to find. For a definite integral, evaluate the $uv$ term at both limits of integration.

Ký hiệuNotation

• $\int u\,dv = uv - \int v\,du$
• $\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = \Big[f(x)g(x)\Big]_a^b - \int_a^b g(x)f'(x)\,dx$

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{\int u\,dv} = \htmlClass{fp-1}{uv} \htmlClass{fp-2}{- \int v\,du}

Dùng khi hàm dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm khác nhau và phép đổi biến không xử lý được.Use this when the integrand is a product of two different types of functions and substitution does not work.

Trong đóWhere

u

hàm được chọn để lấy đạo hàm, thường là hàm đa thức,

\ln x

hoặc

\tan^{-1}x

dv

phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân, kể cả

dx

, và phải lấy nguyên hàm được

du

vi phân của

u

, tức là

du = u'(x)\,dx

v

một nguyên hàm của

dv

, tức là

v = \int dv

(không cần cộng hằng số

C

ở bước này)

\int_a^b f(x)\,g'(x)\,dx = \Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b - \int_a^b g(x)\,f'(x)\,dx

Dùng cho tích phân xác định: thế cận vào cả phần $fg$ lẫn tích phân còn lại, với $f'$ và $g'$ liên tục trên $[a,b]$ .Use this for definite integrals: evaluate both the $fg$ term and the remaining integral at the limits, where $f'$ and $g'$ are continuous on $[a,b]$ .

Trong đóWhere

f(x)

hàm được chọn để lấy đạo hàm (vai trò của

u

)

g'(x)

hàm được chọn để lấy nguyên hàm (vai trò của

dv/dx

)

g(x)

một nguyên hàm của

g'(x)

(vai trò của

v

)

a,\ b

cận dưới và cận trên của tích phân xác định

\Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b

hiệu

f(b)g(b) - f(a)g(a)

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Nguyên hàm của một tích không bằng tích các nguyên hàm.

Với $\int xe^x\,dx$ , viết $\frac{x^2}{2}\cdot e^x$ là sai. Nguyên hàm không phân phối qua phép nhân. Đạo hàm của kết quả đó không bằng $xe^x$ .

Chọn sai $u$ và $dv$ có thể làm tích phân mới khó hơn.

Với $\int xe^x\,dx$ , đặt $u=e^x$ , $dv=x\,dx$ thì $v=\frac{x^2}{2}$ , và tích phân mới chứa $x^2$ nên khó hơn. Khi đó hãy đổi vai trò $u$ và $dv$ .

Với tích phân xác định, phải thế cận vào cả phần $uv$ .

Với cận $a$ và $b$ , $[uv]_a^b=u(b)v(b)-u(a)v(a)$ . Không đổi cận như phép đổi biến, vì $x$ vẫn là biến tích phân.

The antiderivative of a product is not the product of the antiderivatives.

For $\int xe^x\,dx$ , writing $\frac{x^2}{2}\cdot e^x$ is wrong. Integration does not distribute over multiplication, and the derivative of that result is not $xe^x$ .

A poor choice of $u$ and $dv$ can make the new integral harder.

For $\int xe^x\,dx$ , letting $u=e^x$ and $dv=x\,dx$ gives $v=\frac{x^2}{2}$ , and the new integral contains $x^2$ , which is harder. In that case, swap the roles of $u$ and $dv$ .

For a definite integral, evaluate the $uv$ term at the limits of integration.

With limits $a$ and $b$ , $[uv]_a^b=u(b)v(b)-u(a)v(a)$ . Do not change the limits as in substitution, because $x$ is still the variable of integration.

Mẹo phòng thiExam tips3 mẹo3 tips

Ghi rõ bốn dòng $u$ , $du$ , $dv$ , $v$ trước khi thay vào công thức.

Bước này giúp kiểm tra $du$ có $dx$ và $v$ là nguyên hàm đúng. Dùng từng phần hai lần thì ghi lại bốn dòng cho lần hai.

Thử đổi biến trước khi dùng từng phần.

Nếu một thừa số là đạo hàm (hoặc bội hằng số của đạo hàm) của phần bên trong thừa số kia, như $\int xe^{x^2}\,dx$ , hãy đổi biến. Chỉ khi đổi biến không được, như $\int xe^x\,dx$ , mới dùng từng phần.

Tích phân từng phần chỉ nằm trong AP Calculus BC.

Đề AP Calculus AB không yêu cầu kỹ thuật này.

Write out the four lines $u$ , $du$ , $dv$ , $v$ before substituting into the formula.

This lets you check that $du$ includes $dx$ and that $v$ is a correct antiderivative. If you use integration by parts twice, write out the four lines again for the second round.

Try substitution before integration by parts.

If one factor is the derivative (or a constant multiple of the derivative) of the inside of the other factor, as in $\int xe^{x^2}\,dx$ , use substitution. Use integration by parts only when substitution fails, as in $\int xe^x\,dx$ .

Integration by parts appears only in AP Calculus BC.

The AP Calculus AB exam does not require this technique.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1715Brook Taylor

Năm 1715, Brook Taylor công bố ý tưởng tích phân từng phần, rút từ quy tắc đạo hàm của tích, để tính tích phân của tích hai hàm.

In 1715, Brook Taylor published the idea of integration by parts, derived from the product rule for derivatives, to integrate products of two functions.

Vì sao mang đúng cái tên này? Các nguồn đã đọc không ghi lại lý do lịch sử của cái tên, nên không thể khẳng định ai đặt tên hay đặt vào lúc nào. Tuy vậy, cách các nguồn mô tả kỹ thuật này cho thấy nghĩa của chữ "từng phần". Biểu thức dưới dấu tích phân là một tích, và ta tách nó thành hai "phần": một hàm chọn làm hàm thứ nhất để lấy đạo hàm, một hàm chọn làm hàm thứ hai để tìm nguyên hàm (antiderivative). Tích phân ban đầu nhờ đó được đưa về một tích phân khác, gồm đạo hàm của phần này nhân với nguyên hàm của phần kia. Trong tiếng Anh, kỹ thuật này còn có tên gọi khác là partial integration, cũng gợi ý tưởng xử lý từng phần của tích. Công thức này cũng được xem là phiên bản tích phân của quy tắc đạo hàm của một tích, vì nó được suy ra trực tiếp từ quy tắc ấy.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân từng phầnTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn kỹ thuật tìm nguyên hàmTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstquy tắc đạo hàm của tíchproduct rule nguyên hàmantiderivative

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương pháp đổi biến sốintegration by substitution

Khác nhau ở đâuHow they differTích phân từng phần dùng cho tích của hai hàm không liên quan trực tiếp, như

x e^x

. Đổi biến số dùng khi một thừa số là đạo hàm của phần bên trong hàm kia, như

2x e^{x^2}

Hay nhầm khiMixed up whenGặp tích như

x\cos x

hay

x e^{x^2}

, học sinh không biết chọn cách nào; hãy thử xem một thừa số có phải đạo hàm của phần trong hàm còn lại không.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 7, 507, 510.