AP Calculus BCAP Calculus AB

quy tắc đạo hàm của tíchproduct rule

product ruleVietnamese: quy tắc đạo hàm của tích

Quy tắc đạo hàm của tích (product rule) là cách tính đạo hàm của tích hai hàm: lấy đạo hàm từng thừa số, giữ nguyên thừa số kia rồi cộng hai kết quả.The product rule is the method for differentiating a product of two functions: differentiate each factor in turn, keep the other factor unchanged, and add the two results.

Trực giác: Thảm chữ nhật đang nở ra cả dài lẫn rộng. Diện tích tăng gần bằng: dài thêm nhân rộng cũ, cộng rộng thêm nhân dài cũ.Intuition: Picture a rectangular rug whose length and width are both growing. The area increases by approximately the change in length times the original width, plus the change in width times the original length.

Công thức chínhKey formula

\dfrac{d}{dx}\big[f(x)g(x)\big]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Quy tắc đạo hàm của tích (product rule) giúp tính đạo hàm của $f\cdot g$ , với $f$ và $g$ đều có đạo hàm. Ta lấy đạo hàm từng thừa số, giữ nguyên thừa số còn lại, rồi cộng hai kết quả.

Ví dụ: $(x\cdot x^2)'=1\cdot x^2+x\cdot 2x=3x^2$ . Đạo hàm của tích không phải tích hai đạo hàm, vì $1\cdot 2x=2x$ khác $3x^2$ . Quy tắc này hữu ích nhất khi tích không khai triển được, như $xe^x$ . Với tích ba thừa số trở lên, ta áp dụng quy tắc nhiều lần.

The product rule gives the derivative of $f\cdot g$ when both $f$ and $g$ are differentiable. Differentiate each factor while leaving the other unchanged, then add the two results.

For example, $(x\cdot x^2)'=1\cdot x^2+x\cdot 2x=3x^2$ . The derivative of a product is not the product of the derivatives, since $1\cdot 2x=2x$ is not equal to $3x^2$ . The rule is most useful when the product cannot be expanded, as in $xe^x$ . For a product of three or more factors, apply the rule repeatedly.

Ký hiệuNotation

• $(fg)' = f'g + fg'$
• $\dfrac{d}{dx}(uv)=u\dfrac{dv}{dx}+v\dfrac{du}{dx}$

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\dfrac{d}{dx}\big[f(x)g(x)\big]}=\htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-1}{f'(x)g(x)}+\htmlClass{fp-2}{f(x)g'(x)}}

Dùng khi đạo hàm một tích hai hàm khả vi mà không tiện khai triển; đạo hàm của tích không phải $f'g'$ .Use this to differentiate a product of two differentiable functions when expanding is inconvenient; the derivative of the product is not $f'g'$ .

Trong đóWhere

f(x),\ g(x)

hai hàm số khả vi, được nhân với nhau

f'(x),\ g'(x)

đạo hàm của

f

và của

g

theo

x

\dfrac{d}{dx}

phép lấy đạo hàm theo biến

x

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đạo hàm của tích không bằng tích hai đạo hàm.

Phải dùng $(fg)'=f'g+fg'$ . Thử $f=g=x$ : $(x^2)'=2x$ , còn $f'g'=1\cdot 1=1$ . Hai kết quả khác nhau.

Không dùng quy tắc tích cho hàm hợp như $\sin(x^2)$ .

Hàm này là một hàm đặt trong hàm khác, không phải hai hàm nhân nhau. Hãy dùng đạo hàm hàm hợp. Còn $5\sin x$ chỉ cần giữ hằng số $5$ rồi lấy đạo hàm $\sin x$ .

Quy tắc tích có hai hạng tử, đều mang dấu cộng.

Đừng bỏ hạng tử nào và đừng đổi dấu. Dấu trừ chỉ xuất hiện ở quy tắc thương.

The derivative of a product is not the product of the derivatives.

The correct formula is $(fg)'=f'g+fg'$ . Try $f=g=x$ : $(x^2)'=2x$ , but $f'g'=1\cdot 1=1$ , so the two results differ.

The product rule does not apply to a composite function such as $\sin(x^2)$ .

This is one function nested inside another, not two functions multiplied together, so use the chain rule. For $5\sin x$ , simply keep the constant $5$ and differentiate $\sin x$ .

Both terms in the product rule carry a plus sign.

Do not drop either term or change a sign. A minus sign appears only in the quotient rule.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Ghi rõ $f$ , $g$ , $f'$ , $g'$ ra nháp trước khi ghép.

Viết dạng $f'g+fg'$ rồi mới thay số. Bài FRQ thường chấm theo từng bước, nên sai ở bước cuối vẫn giữ được điểm phần đúng.

Trước khi tính, hãy hỏi: có hai thừa số cùng chứa $x$ không?

Nếu có, dùng quy tắc tích. Nếu chỉ là hàm hợp, dùng đạo hàm hàm hợp. Nếu là phân số, cân nhắc quy tắc thương.

Write out $f$ , $g$ , $f'$ , and $g'$ on scratch paper before combining them.

Write the form $f'g+fg'$ first, then substitute. FRQs are usually scored step by step, so an error in the last step can still earn credit for the correct earlier work.

Before differentiating, ask whether two factors both contain $x$ .

If so, use the product rule. If the function is only a composite, use the chain rule. If it is a fraction, consider the quotient rule.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

cuối thế kỷ 17Gottfried Wilhelm Leibniz

Cuối thế kỷ 17, Leibniz viết

d(uv)=u\,dv+v\,du

trong bài báo đầu tiên của ông về giải tích; quy tắc về sau mang tên ông.

In the late 17th century, Leibniz wrote

d(uv)=u\,dv+v\,du

in his first paper on calculus; the rule later took his name.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi "quy tắc đạo hàm của tích" mô tả đúng việc quy tắc làm. Chữ "tích" là kết quả của phép nhân, tức hai hàm số đang được nhân với nhau, nên đây là quy tắc để lấy đạo hàm của một biểu thức dạng tích. Tiếng Anh gọi là product rule vì lý do tương tự. Tên này còn có những tên gọi khác gắn với Leibniz: quy tắc Leibniz (Leibniz rule) hoặc quy tắc tích Leibniz. Cách gọi ấy ghi nhận vai trò của ông, người được xem là đã tìm ra quy tắc. Kí hiệu vi phân $d(uv) = u\,dv + v\,du$ của ông là dạng gốc của công thức. Ngày nay công thức thường được viết theo hai lối. Lối kí hiệu Lagrange (Lagrange's notation) cho $(u\cdot v)' = u'\cdot v + u\cdot v'$ , còn lối kí hiệu Leibniz cho $\dfrac{d}{dx}(u\cdot v) = \dfrac{du}{dx}\cdot v + u\cdot \dfrac{dv}{dx}$ . Hai cách viết này diễn đạt cùng một quy tắc.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc tích: đạo hàm của một tích hai hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc thương (The Quotient Rule)Đạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính đạo hàmĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc tích: đạo hàm của một tích hai hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc thương (The Quotient Rule)Đạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính đạo hàmĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđạo hàmderivative quy tắc tổngsum rule

Dẫn tớiLeads toquy tắc dây chuyềnchain rule đạo hàm hàm ẩnimplicit differentiation

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

quy tắc đạo hàm của thươngquotient rule

Khác nhau ở đâuHow they differQuy tắc tích cho

(fg)'=f'g+fg'

, hai số hạng cộng nhau và thứ tự không quan trọng. Quy tắc thương có dấu trừ ở tử và mẫu bình phương, nên thứ tự rất quan trọng.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

\dfrac{f(x)}{g(x)}

mà học sinh lấy

f'/g'

hoặc áp dụng công thức tích với dấu cộng; hoặc đảo thứ tự

f'g-fg'

ở tử số của thương.

quy tắc tổngsum rule

Khác nhau ở đâuHow they differQuy tắc tổng cho

(f+g)'=f'+g'

, tức đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm. Quy tắc tích cho

(fg)'=f'g+fg'

, không phải

f'g'

Hay nhầm khiMixed up whenHọc sinh viết

(fg)'=f'g'

vì tưởng đạo hàm của tích cũng tách đơn giản như đạo hàm của tổng.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 215–217.