DucklingStudyDucklingStudy
Đăng nhậpSign in

AP Calculus BCAP Calculus AB

quy tắc đạo hàm của thươngquotient rule

quotient ruleVietnamese: quy tắc đạo hàm của thương

Quy tắc đạo hàm của thương (quotient rule) là công thức tính đạo hàm của một hàm số dạng thương hai hàm, dùng đạo hàm của tử và của mẫu.The quotient rule is a formula for differentiating a function written as the quotient of two functions, using the derivatives of the numerator and the denominator.

Trực giác: Tỉ lệ chanh trên nước đổi khi cả hai cùng đổi: thêm chanh làm tỉ lệ tăng, thêm nước làm tỉ lệ giảm, nên có dấu trừ.Intuition: Think of the ratio of lemon juice to water when both amounts change: adding lemon raises the ratio, while adding water lowers it. That is why the formula contains a minus sign.

Công thức chínhKey formula

ddx[f(x)g(x)]=f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]=\dfrac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}
Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Quy tắc đạo hàm của thương (quotient rule) cho đạo hàm của fg\dfrac{f}{g}, với ff, gg là hai hàm có đạo hàm tại xx và g(x)≠0g(x)\neq 0. Tử số là f′g−fg′f'g-fg', mẫu số là g2g^2. Ví dụ: (xx+1)′=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2\left(\dfrac{x}{x+1}\right)'=\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}.

Vì g(x)≠0g(x)\neq 0 nên g(x)2>0g(x)^2>0. Do đó dấu của đạo hàm chính là dấu của tử số f′g−fg′f'g-fg'. Khi xét đồng biến, nghịch biến, ta chỉ cần xét tử số.

The quotient rule gives the derivative of fg\dfrac{f}{g}, where ff and gg are differentiable at xx and g(x)≠0g(x)\neq 0. The numerator of the result is f′g−fg′f'g-fg' and the denominator is g2g^2. For example, (xx+1)′=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2\left(\dfrac{x}{x+1}\right)'=\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}.

Because g(x)≠0g(x)\neq 0, we have g(x)2>0g(x)^2>0, so the sign of the derivative is the sign of the numerator f′g−fg′f'g-fg'. To determine where a function is increasing or decreasing, you only need to examine that numerator.

Ký hiệuNotation
  • •(fg)′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
  • •đề AP cũng hay viết ddx[uv]=v u′−u v′v2\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{u}{v}\right]=\dfrac{v\,u'-u\,v'}{v^2} hoặc dydx\dfrac{dy}{dx} cho y=uvy=\dfrac{u}{v}.
Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula
ddx[f(x)g(x)]=f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\htmlClass{fp-0}{\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]}=\dfrac{\htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-1}{f'(x)\,g(x)}-\htmlClass{fp-2}{f(x)\,g'(x)}}}{\htmlClass{fp-4}{\left[g(x)\right]^2}}

Dùng khi hàm là thương của hai hàm khả vi, mẫu g(x)g(x) chứa biến và không rút gọn được về dạng lũy thừa.Use this rule when the function is a quotient of two differentiable functions and the denominator g(x)g(x) contains the variable and cannot be simplified to a power.

Trong đóWhere

f(x)f(x)hàm ở tử sốg(x)g(x)hàm ở mẫu số, với g(x)≠0g(x)\neq 0f′(x)f'(x)đạo hàm của hàm ở tử sốg′(x)g'(x)đạo hàm của hàm ở mẫu số
Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đạo hàm của thương không bằng đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu.

Ví dụ x2x=x\dfrac{x^2}{x}=x có đạo hàm 11, nhưng (x2)′x′=2x1=2x\dfrac{(x^2)'}{x'}=\dfrac{2x}{1}=2x. Đạo hàm chỉ tách được qua phép cộng, phép trừ và phép nhân với hằng số.

Tử số là f′g−fg′f'g-fg', không phải fg′−f′gfg'-f'g.

Nhớ: đạo hàm của tử đứng trước. Đảo thứ tự làm đổi dấu cả kết quả, nên bảng xét dấu đạo hàm và kết luận đồng biến, nghịch biến đều sai.

Rút gọn được thì không cần quy tắc thương.

Ví dụ x3+15=15(x3+1)\dfrac{x^3+1}{5}=\dfrac15(x^3+1) và x2+3x=x+3x\dfrac{x^2+3}{x}=x+\dfrac3x. Dùng quy tắc thương vẫn đúng, nhưng dài hơn và dễ sai dấu hơn.

The derivative of a quotient is not the derivative of the numerator divided by the derivative of the denominator.

For example, x2x=x\dfrac{x^2}{x}=x has derivative 11, but (x2)′x′=2x1=2x\dfrac{(x^2)'}{x'}=\dfrac{2x}{1}=2x. Derivatives split term by term only across addition, subtraction, and multiplication by a constant.

The numerator is f′g−fg′f'g-fg', not fg′−f′gfg'-f'g.

Remember that the derivative of the numerator function comes first. Reversing the order flips the sign of the entire result, so the sign chart for the derivative and any conclusion about increasing or decreasing behavior would be wrong.

A quotient that can be simplified does not need the quotient rule.

For example, x3+15=15(x3+1)\dfrac{x^3+1}{5}=\dfrac15(x^3+1) and x2+3x=x+3x\dfrac{x^2+3}{x}=x+\dfrac3x. The quotient rule still gives the right answer, but it takes longer and makes sign errors more likely.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Đề AP hay cho bảng giá trị ff, gg, f′f', g′g' tại một điểm.

Hãy thay số vào công thức thương. Ví dụ f(2)=3f(2)=3, f′(2)=4f'(2)=4, g(2)=2g(2)=2, g′(2)=1g'(2)=1 cho 4⋅2−3⋅122=54\dfrac{4\cdot 2-3\cdot 1}{2^2}=\dfrac54.

Ở phần tự luận, hãy ghi công thức và các thành phần ff, gg, f′f', g′g' trước khi thay số.

Bài AP cho điểm theo từng bước. Nếu bước thiết lập đúng, tính sai sau đó vẫn có thể giữ được điểm bước đầu.

AP questions often give a table of values for ff, gg, f′f', and g′g' at a single point.

Substitute those values directly into the quotient formula. For example, f(2)=3f(2)=3, f′(2)=4f'(2)=4, g(2)=2g(2)=2, and g′(2)=1g'(2)=1 give 4⋅2−3⋅122=54\dfrac{4\cdot 2-3\cdot 1}{2^2}=\dfrac54.

On free-response questions, write the formula and identify ff, gg, f′f', and g′g' before substituting numbers.

AP free-response questions award points step by step. If your setup is correct, a later arithmetic error can still earn the earlier setup points.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common
Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common
Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1684Gottfried Wilhelm LeibnizIsaac NewtonAugustin-Louis Cauchy

Năm 1684, Leibniz công bố văn bản nêu quy tắc này bằng ký hiệu gần như hiện nay, dùng cho hàm số dạng một hàm chia cho hàm khác.
In 1684, Leibniz published a text stating this rule in notation close to what we use today, for functions written as one function divided by another.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi xuất phát trực tiếp từ dạng của hàm số mà quy tắc xử lý. Thương (quotient) là kết quả của một phép chia, nên quy tắc này dùng cho những hàm số mà một hàm được chia cho một hàm khác. Đây là cách đặt tên theo chức năng, không mang nghĩa ẩn dụ nào. Nếu xét rộng ra, tên của cả ngành phép tính vi tích phân (calculus) lại có nguồn gốc thú vị hơn. Từ này trong tiếng Latin nghĩa là "hòn sỏi nhỏ" (dạng giảm nhẹ của calx, "đá"). Người xưa dùng sỏi để đếm quãng đường, kiểm phiếu và tính trên bàn tính, nên từ này dần mang nghĩa "phương pháp tính toán"; trong tiếng Anh, nó được dùng theo nghĩa ấy ít nhất từ năm 1672.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc thương (The Quotient Rule)Đạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc tích: đạo hàm của một tích hai hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính đạo hàmĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc thương (The Quotient Rule)Đạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc tích: đạo hàm của một tích hai hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính đạo hàmĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB
Cần trướcLearn firstđạo hàmderivative
Dẫn tớiLeads tohàm số lượng giáctrigonometric functionhàm số phân thức hữu tỉrational function
Liên quanRelatedquy tắc đạo hàm của tíchproduct rulequy tắc dây chuyềnchain rulequy tắc luỹ thừapower rule
Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

quy tắc đạo hàm của tíchproduct rule
Khác nhau ở đâuHow they differQuy tắc tích cho (fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg' và đối xứng giữa hai hàm. Quy tắc thương cho (f/g)′=(f′g−fg′)/g2(f/g)'=(f'g-fg')/g^2 có dấu trừ nên thứ tự tử và mẫu quan trọng.
Hay nhầm khiMixed up whenKhi đạo hàm phân thức, nhiều bạn viết f′g+fg′f'g+fg' hoặc đảo thứ tự fg′−f′gfg'-f'g làm sai dấu cả đáp án, nên nhớ tử luôn bắt đầu bằng f′gf'g.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

  1. [1]Stewart. tr. 6, 215, 217.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy.Written by DucklingStudy. © DucklingStudy. Xuất bảnPublished .