AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số lượng giáctrigonometric function

trigonometric functionVietnamese: hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác (trigonometric function) là các hàm như sin, cos, tan, biến một góc thành giá trị dựa trên tọa độ điểm trên đường tròn đơn vị.A trigonometric function, such as sine, cosine, or tangent, takes an angle as input and returns a value determined by the coordinates of a point on the unit circle.

Trực giác: Giống bóng của đầu kim đồng hồ đang quay, chiếu lên tường: kim quay đến đâu, bóng lên xuống theo đó, và sau mỗi vòng thì lặp lại.Intuition: Picture the shadow of the tip of a rotating clock hand cast onto a wall: as the hand turns, the shadow moves up and down with it, and the motion repeats after each full revolution.

Công thức chínhKey formula

\sin\theta=\frac{a}{c},\quad \cos\theta=\frac{b}{c},\quad \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{a}{b}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số lượng giác (trigonometric function) gồm sin, cos, tan. Đường tròn đơn vị có tâm $O(0;0)$ , bán kính $1$ . Với góc $x$ (ra-đi-an), vẽ tia từ $O$ hợp với tia $Ox$ dương góc $x$ , quay ngược chiều kim đồng hồ. Tia này cắt đường tròn tại điểm có hoành độ $\cos x$ , tung độ $\sin x$ . Còn $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ .

Ví dụ: $x=\dfrac{\pi}{2}$ cho điểm $(0;1)$ , nên $\cos x=0$ và $\sin x=1$ . Sin và cos có giá trị với mọi góc $x$ , nằm trong $[-1,1]$ và lặp lại sau mỗi $2\pi$ . Còn $\tan x$ chỉ có giá trị khi $\cos x\neq 0$ , tức $x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ ( $k$ nguyên). Trong tam giác vuông có góc nhọn $\theta$ , $a$ , $b$ , $c$ là cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền.

The trigonometric functions include sine, cosine, and tangent. The unit circle has center $O(0;0)$ and radius $1$ . For an angle $x$ (in radians), draw a ray from $O$ that makes angle $x$ with the positive $x$ -axis, measured counterclockwise. This ray meets the circle at a point whose $x$ -coordinate is $\cos x$ and whose $y$ -coordinate is $\sin x$ . Tangent is defined by $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ .

For example, $x=\dfrac{\pi}{2}$ gives the point $(0;1)$ , so $\cos x=0$ and $\sin x=1$ . Sine and cosine are defined for every angle $x$ , take values in $[-1,1]$ , and repeat every $2\pi$ . Tangent is defined only when $\cos x\neq 0$ , that is, when $x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ ( $k$ an integer). In a right triangle with acute angle $\theta$ , $a$ , $b$ , and $c$ denote the opposite side, the adjacent side, and the hypotenuse.

Ký hiệuNotation

• $\sin x$ , $\cos x$ , $\tan x$ , $\csc x$ , $\sec x$ , $\cot x$
• $\sin^2 x$ nghĩa là $(\sin x)^2$
• $\arcsin x$ hoặc $\sin^{-1}x$ là hàm ngược của $\sin x$ .

Đơn vịUnitsGóc đo bằng radian (rad); giá trị của sin và cos không có đơn vị.

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\htmlClass{fp-0}{\sin\theta=\frac{a}{c}},\quad \htmlClass{fp-1}{\cos\theta=\frac{b}{c}},\quad \htmlClass{fp-2}{\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{a}{b}}

Dùng cho góc nhọn trong tam giác vuông: tính tỉ số lượng giác, hoặc tìm một cạnh khi biết một góc nhọn và một cạnh khác.These apply to an acute angle in a right triangle: use them to compute the trigonometric ratios, or to find a side when you know one acute angle and one other side.

Trong đóWhere

\theta

góc nhọn đang xét trong tam giác vuông (đo bằng radian hoặc độ)

a

độ dài cạnh đối của góc

\theta

b

độ dài cạnh kề của góc

\theta

c

độ dài cạnh huyền

\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{\sin^2\theta}+\htmlClass{fp-1}{\cos^2\theta}}=1

Đúng với mọi góc $\theta$ . Dùng để đổi giữa $\sin$ và $\cos$ khi rút gọn, giải phương trình lượng giác hoặc tính tích phân.This holds for every angle $\theta$ . Use it to convert between $\sin$ and $\cos$ when simplifying, solving trigonometric equations, or evaluating integrals.

Trong đóWhere

\theta

góc bất kì (đo bằng radian hoặc độ)

\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta,\quad \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta

$\sin$ và $\cos$ lặp lại sau mỗi $2\pi$ . Vì thế chúng không đơn ánh, và muốn xét hàm ngược phải thu hẹp miền. $\sin$ and $\cos$ repeat every $2\pi$ , so they are not one-to-one. To define an inverse function, you must restrict the domain.

Trong đóWhere

\theta

góc bất kì, đo bằng radian

2\pi

chu kì của

\sin

và

\cos

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Trong bài giải tích, phải để máy tính ở chế độ ra-đi-an.

Công thức $(\sin x)'=\cos x$ chỉ đúng khi $x$ đo bằng ra-đi-an. Để chế độ độ thì kết quả số sẽ sai.

$\sin 2x$ không bằng $2\sin x$ .

Sin là hàm của góc, không phải thừa số để nhân ra ngoài. Với $x=\frac{\pi}{2}$ : $\sin \pi=0$ nhưng $2\sin\frac{\pi}{2}=2$ .

In calculus, your calculator must be in radian mode.

The formula $(\sin x)'=\cos x$ holds only when $x$ is measured in radians, so degree mode gives incorrect numerical results.

$\sin 2x$ does not equal $2\sin x$ .

Sine is a function of an angle, not a factor that can be pulled out and multiplied. For $x=\frac{\pi}{2}$ , $\sin \pi=0$ , but $2\sin\frac{\pi}{2}=2$ .

Mẹo phòng thiExam tips3 mẹo3 tips

Gặp $\tan x$ , loại các giá trị $x$ làm $\cos x=0$ .

Tại đó $\tan x$ không xác định. Ví dụ $x=\frac{\pi}{2}$ không thuộc miền xác định.

Giải $\sin x=a$ hoặc $\cos x=a$ , kiểm tra $|a|\le 1$ trước.

Sin và cos chỉ nhận giá trị từ $-1$ đến $1$ . Vì vậy $\sin x=2$ vô nghiệm.

Đề AP không ghi đơn vị thì hiểu góc đo bằng ra-đi-an.

Ví dụ $\sin 1$ nghĩa là sin của $1$ ra-đi-an, không phải $1$ độ.

When you see $\tan x$ , exclude every $x$ for which $\cos x=0$ .

Tangent is undefined there, so, for example, $x=\frac{\pi}{2}$ is not in the domain.

When solving $\sin x=a$ or $\cos x=a$ , first check that $|a|\le 1$ .

Sine and cosine only take values from $-1$ to $1$ , so $\sin x=2$ has no solution.

On the AP exam, assume angles are in radians unless units are given.

For example, $\sin 1$ means the sine of $1$ radian, not $1$ degree.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1770 (lần đầu dùng tên gọi "hàm số lượng giác", theo Cajori); các ý tưởng nền tảng có từ thời cổ đạiHipparchusGeorg Joachim RhaeticusPitiscusGeorg Simon KlügelAryabhata

Hàm số lượng giác hình thành dần qua nhiều thế kỷ; Rhaeticus định nghĩa chúng theo tỉ số các cạnh tam giác vuông ở thế kỷ 16, còn tên gọi xuất hiện năm 1770 theo Cajori.

The trigonometric functions developed gradually over many centuries. Rheticus defined them in terms of the side ratios of a right triangle in the 16th century, and the name itself first appeared in 1770, according to Cajori.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "lượng giác" (trigonometry) bắt nguồn từ ba thành tố Hy Lạp: tri là "ba", gon là "góc", metron là "đo". Vì vậy nghĩa đen của nó là "đo tam giác". Dạng Latin trigonometria được cho là do Pitiscus (1561–1613) đặt năm 1595, mang nghĩa "môn học về các tam giác" (trigon là từ chỉ tam giác). Tiếng Anh ghi nhận từ này lần đầu trong bản dịch sách của Pitiscus năm 1614 do Ra. Handson thực hiện. Cụm "hàm số lượng giác" (trigonometric functions) ra đời muộn hơn nhiều. Theo Cajori, Georg Simon Klügel đưa ra cụm này năm 1770, dù bản thân các hàm đã được dùng từ rất lâu trước đó. Cái tên "sin" có một hành trình dịch thuật khá dài. Hàm sin và versin liên hệ chặt với các hàm jyā và koti-jyā của thiên văn học Ấn Độ thời Gupta. Các khái niệm này được dịch từ tiếng Phạn sang tiếng Ả Rập, rồi từ tiếng Ả Rập sang tiếng Latin, và dạng Latin sinus xuất hiện từ đó. Các nguồn còn tranh luận xem ai dùng sinus đầu tiên: Plato of Tivoli (1116), Gerard of Cremona hay Robert of Chester (1145). Dạng tiếng Anh hóa được ghi nhận lần đầu năm 1593. Các viết tắt "sin", "cos", "tan", "cot", "sec", "csc" cùng cách viết đối số trong ngoặc được các nhà toán học như Oughtred, Descartes, Newton, Leibniz, Euler và Gauss chuẩn hóa dần trong thế kỷ 17 và 18.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của sin x, cos x, e^x và ln xĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của tan, cot, sec và cscĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm hàm lượng giác ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của sin x, cos x, e^x và ln xĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của tan, cot, sec và cscĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDifferentiating Inverse Trigonometric FunctionsĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstradianradian hàm sốfunction

Dẫn tớiLeads toquy tắc dây chuyềnchain rule định lý kẹpsqueeze theorem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm lượng giác ngượcinverse trigonometric function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm lượng giác nhận góc (radian) và trả về một tỉ số. Hàm lượng giác ngược nhận tỉ số và trả về góc trong một khoảng đã thu hẹp.

Hay nhầm khiMixed up whenNhầm

\sin^{-1}x

với

\dfrac{1}{\sin x}

: ký hiệu

\sin^{-1}x

là

\arcsin x

, còn

\dfrac{1}{\sin x}=\csc x

, nên đạo hàm của hai hàm này hoàn toàn khác nhau.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 6, 13, 95.