AP Calculus BCAP Calculus AB

định lý kẹpsqueeze theorem

squeeze theoremVietnamese: định lý kẹp

Định lý kẹp (squeeze theorem) là quy tắc cho biết hàm bị kẹp giữa hai hàm có cùng giới hạn tại một điểm thì cũng có giới hạn đó tại điểm ấy.The squeeze theorem states that if a function is trapped between two functions that approach the same limit at a point, then it has that same limit at that point.

Trực giác: Hai người đi hai bên một người bạn và cùng tiến tới một điểm. Người ở giữa không thể lách ra ngoài nên cũng tiến tới đúng điểm ấy.Intuition: Picture two people walking on either side of a friend, both heading toward the same spot. The friend in the middle cannot slip out to the side, so they must arrive at that exact spot too.

Công thức chínhKey formula

f(x)\le g(x)\le h(x),\ \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L\ \Rightarrow\ \lim_{x\to a}g(x)=L

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Định lý kẹp (squeeze theorem) dùng khi một hàm khó tính giới hạn nhưng bị chặn giữa hai hàm đơn giản hơn, gọi là hai biên. Nếu hai biên cùng tiến về một số thì hàm ở giữa cũng tiến về số đó.

Ví dụ: với $x\ne 0$ có $-x^2\le x^2\sin\frac1x\le x^2$ . Khi $x$ gần $0$ , cả $-x^2$ và $x^2$ đều gần $0$ . Vậy $\lim_{x\to 0}x^2\sin\frac1x=0$ . Bất đẳng thức chỉ cần đúng với các giá trị $x$ quanh điểm đang xét, có thể trừ chính điểm đó. Nếu hai biên có giới hạn khác nhau, định lý không cho kết luận.

The squeeze theorem is used when a function's limit is hard to evaluate directly but the function is bounded between two simpler functions, called the bounding functions. If both bounding functions approach the same number, the function in between must approach that number too.

Example: for $x\ne 0$ , $-x^2\le x^2\sin\frac1x\le x^2$ . As $x$ approaches $0$ , both $-x^2$ and $x^2$ approach $0$ . Therefore $\lim_{x\to 0}x^2\sin\frac1x=0$ . The inequality only needs to hold for $x$ -values near the point in question, and may fail at the point itself. If the two bounding functions have different limits, the theorem gives no conclusion.

Ký hiệuNotationNếu

f(x)\le g(x)\le h(x)

gần

a

và

\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L

thì

\lim_{x\to a}g(x)=L

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{f(x)\le g(x)\le h(x)},\ \htmlClass{fp-1}{\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L}\ \Rightarrow\ \htmlClass{fp-2}{\lim_{x\to a}g(x)=L}

Dùng khi $g$ khó tính giới hạn trực tiếp nhưng kẹp được giữa hai hàm đơn giản hơn có cùng giới hạn $L$ .Use this when the limit of $g$ is hard to find directly, but $g$ is squeezed between two simpler functions that have the same limit $L$ .

Trong đóWhere

g(x)

hàm cần tìm giới hạn, bị kẹp ở giữa

f(x)

hàm chặn dưới, thỏa

f(x)\le g(x)

gần

a

h(x)

hàm chặn trên, thỏa

g(x)\le h(x)

gần

a

a

giá trị mà

x

tiến tới; các bất đẳng thức cần đúng trên một khoảng mở chứa

a

, có thể trừ tại

a

L

số thực chung là giới hạn của

f

và

h

, cũng là giới hạn của

g

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Hai biên phải có cùng giới hạn.

Chỉ có bất đẳng thức là chưa đủ. Chẳng hạn $-1\le\sin\frac1x\le 1$ , nhưng hai biên là $-1$ và $1$ khác nhau. Khi đó định lý kẹp không áp dụng được và không cho kết luận gì về $\sin\frac1x$ .

Đừng tách $x^2\sin\frac1x$ thành tích hai giới hạn.

$\lim_{x\to 0}\sin\frac1x$ không tồn tại. Hãy nhân $-1\le\sin\frac1x\le 1$ với $x^2\ge 0$ để được $-x^2\le x^2\sin\frac1x\le x^2$ , rồi dùng định lý kẹp.

Bất đẳng thức phải đúng với mọi $x$ quanh điểm đang xét, không chỉ tại một điểm.

Đồ thị hàm ở giữa phải nằm giữa hai đồ thị biên ở mọi $x$ gần điểm đó, có thể trừ chính điểm đó.

The two bounding functions must have the same limit; an inequality alone is not enough.

For example, $-1\le\sin\frac1x\le 1$ holds, but the bounds $-1$ and $1$ differ. The squeeze theorem then does not apply and tells you nothing about $\sin\frac1x$ .

Do not split $x^2\sin\frac1x$ into a product of two limits.

$\lim_{x\to 0}\sin\frac1x$ does not exist. Instead, multiply $-1\le\sin\frac1x\le 1$ by $x^2\ge 0$ to get $-x^2\le x^2\sin\frac1x\le x^2$ , and then apply the squeeze theorem.

The inequality must hold for all $x$ near the point, not just at a single point.

The graph of the middle function must lie between the two bounding graphs at every $x$ close to that point, though possibly not at the point itself.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi đề hỏi có dùng được định lý kẹp không, hãy kiểm tra hai bước riêng.

Bước một: bất đẳng thức đúng gần điểm đang xét. Bước hai: hai giới hạn biên bằng nhau, ghi rõ giá trị. Nếu hai biên khác nhau hoặc một biên không có giới hạn, không dùng được định lý kẹp.

Trong bài tự luận, hãy viết giới hạn của hai hàm kẹp trước rồi mới kết luận.

Ví dụ: vì $\lim_{x\to 0}(-x^2)=\lim_{x\to 0}x^2=0$ nên theo định lý kẹp, giới hạn của hàm ở giữa bằng $0$ . Chỉ ghi đáp số có thể mất điểm.

To decide whether the squeeze theorem applies, check two separate conditions.

First, the inequality must hold near the point in question. Second, the limits of the two bounding functions must be equal, and you should state that value. If the bounds differ or one has no limit, the theorem cannot be used.

In a free-response answer, state the limits of both bounding functions before drawing your conclusion.

For example: since $\lim_{x\to 0}(-x^2)=\lim_{x\to 0}x^2=0$ , the squeeze theorem gives a limit of $0$ for the middle function. Writing only the final answer may cost you points.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

ArchimedesEudoxusCarl Friedrich Gauss

Archimedes dùng ý tưởng này theo cách hình học khi cố gắng tính số π.

Archimedes used this idea in a geometric form when he tried to approximate π.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi mô tả đúng hình ảnh của định lý. Hàm số ta quan tâm bị chặn giữa hai hàm khác, và hai hàm này cùng tiến về một giá trị tại điểm đang xét. Vì vậy hàm ở giữa bị "kẹp" lại, không còn chỗ nào khác để đi ngoài giá trị chung đó. Cùng một định lý còn được gọi là định lý bánh mì kẹp (sandwich theorem) và định lý ép (pinching theorem), đều dựa trên hình ảnh một thứ bị giữ chặt giữa hai thứ khác. Các nguồn đã đọc không nói ai là người đặt tên hay tên này xuất hiện từ khi nào.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính giới hạn bằng định lý kẹpGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính giới hạn bằng các quy tắc đại sốGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính giới hạn bằng định lý kẹpGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính giới hạn bằng các quy tắc đại sốGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstbị chặn trênbounded above

Dẫn tớiLeads todãy số hội tụconvergent sequence

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

định lý giá trị trung gianintermediate value theorem

Khác nhau ở đâuHow they differĐịnh lý kẹp cho biết giá trị của một giới hạn khi hàm bị kẹp giữa hai hàm cùng giới hạn. Định lý giá trị trung gian chỉ bảo đảm hàm liên tục lấy mọi giá trị giữa hai đầu mút.

Hay nhầm khiMixed up whenCả hai đều có chữ "giữa" nên dễ lẫn: bài hỏi tìm

\lim

của hàm dao động thì dùng định lý kẹp, còn bài hỏi chứng minh phương trình có nghiệm trên một đoạn thì dùng định lý giá trị trung gian.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 133–135.