AP Calculus BCAP Calculus AB

quy tắc tính giới hạnlimit laws

limit lawsVietnamese: quy tắc tính giới hạn

Còn gọi:Also called: constant multiple law for limits · difference law for limits · power law for limits · product law for limits · quotient law for limits · root law for limits · sum law for limits

Quy tắc tính giới hạn (limit laws) là các quy tắc đưa giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, lũy thừa, căn về giới hạn từng thành phần.Limit laws are rules that reduce the limit of a sum, difference, product, quotient, power, or root to the limits of its individual parts.

Trực giác: Giống cộng giá từng món trong hóa đơn: mỗi món có giá ổn định quanh một mức thì tổng cũng ổn định quanh tổng các mức đó.Intuition: It works like adding up the prices of the items on a receipt: if each item's price stays steady near some value, the total stays steady near the sum of those values.

Công thức chínhKey formula

\lim_{x\to a}\left[f(x)+g(x)\right]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)=L+M

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Quy tắc tính giới hạn cho phép tính giới hạn của biểu thức phức tạp bằng cách tính từng phần rồi ghép lại. Giả sử $c$ là hằng số, $\lim_{x\to a}f(x)=L$ và $\lim_{x\to a}g(x)=M$ là các số thực. Khi đó giới hạn của $f+g$ , $f-g$ , $c\cdot f$ , $f\cdot g$ bằng phép toán ấy trên $L$ và $M$ . Ví dụ: $\lim_{x\to 2}(x^2+3x)=4+6=10$ .

Với thương $\frac{f}{g}$ , cần $M\neq 0$ . Với $f^n$ ( $n$ là số nguyên dương), giới hạn là $L^n$ . Với $\sqrt[n]{f}$ : nếu $n$ lẻ thì đúng với mọi $L$ ; nếu $n$ chẵn thì cần $L\ge 0$ . Nếu một giới hạn thành phần không tồn tại thì không được dùng quy tắc để tách.

The limit laws let you evaluate the limit of a complicated expression by finding the limit of each part and then combining the results. Suppose $c$ is a constant, and $\lim_{x\to a}f(x)=L$ and $\lim_{x\to a}g(x)=M$ are real numbers. Then the limit of $f+g$ , $f-g$ , $c\cdot f$ , or $f\cdot g$ is the same operation applied to $L$ and $M$ . For example, $\lim_{x\to 2}(x^2+3x)=4+6=10$ .

For a quotient $\frac{f}{g}$ , you need $M\neq 0$ . For $f^n$ (where $n$ is a positive integer), the limit is $L^n$ . For $\sqrt[n]{f}$ , the law holds for every $L$ if $n$ is odd, but requires $L\ge 0$ if $n$ is even. If any component limit does not exist, you cannot use the laws to split the expression.

Ký hiệuNotation

• $\lim_{x\to a} f(x)=L$ đọc là "giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến tới $a$ bằng $L$ "
• $c$ là hằng số
• $n$ là số nguyên dương.

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\htmlClass{fp-0}{\lim_{x\to a}\left[f(x)+g(x)\right]}=\htmlClass{fp-1}{\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)}=\htmlClass{fp-2}{L+M}

Dùng khi hàm là tổng (hoặc hiệu) của hai hàm có giới hạn hữu hạn; hằng số nhân cũng đưa ra ngoài dấu giới hạn.Use this when the function is a sum (or difference) of two functions with finite limits; a constant multiple can also be moved outside the limit.

Trong đóWhere

f(x),\ g(x)

hai hàm số xác định gần

a

(có thể trừ chính điểm

a

)

a

giá trị mà

x

tiến tới

L

giới hạn của

f(x)

khi

x\to a

, là một số thực

M

giới hạn của

g(x)

khi

x\to a

, là một số thực

\htmlClass{fp-0}{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}}=\htmlClass{fp-1}{\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}}=\frac{L}{M},\quad \htmlClass{fp-2}{M\neq 0}

Dùng khi tử và mẫu đều có giới hạn và giới hạn của mẫu khác 0; nếu mẫu tiến về 0 thì phải biến đổi trước.Use this when the numerator and denominator both have limits and the denominator's limit is nonzero; if the denominator approaches $0$ , you must rewrite the expression first.

Trong đóWhere

L

giới hạn của

f(x)

khi

x\to a

M

giới hạn của

g(x)

khi

x\to a

, phải khác 0

\lim_{x\to a}\left[f(x)\right]^n=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^n=L^n

Dùng để đưa số mũ nguyên dương ra ngoài dấu giới hạn; suy ra từ quy tắc tích áp dụng lặp lại.Use this to move a positive integer exponent outside the limit; it follows from applying the product law repeatedly.

Trong đóWhere

n

số nguyên dương

L

giới hạn của

f(x)

khi

x\to a

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Mẫu có giới hạn bằng $0$ thì không được dùng quy tắc thương.

Với dạng $\frac{0}{0}$ (tử và mẫu cùng tiến về $0$ ), giới hạn vẫn có thể tồn tại. Hãy phân tích nhân tử, rút gọn hoặc nhân liên hợp rồi mới tính.

Chỉ được tách tổng, hiệu, tích, thương khi từng giới hạn thành phần tồn tại.

Ví dụ $\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\right)=0$ , nhưng không tách thành hiệu hai giới hạn được, vì $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$ không tồn tại.

Căn bậc chẵn chỉ dùng quy tắc khi giới hạn của biểu thức trong căn không âm.

Căn bậc lẻ thì đúng với mọi giá trị. Ví dụ khi $x\to 1$ thì $x-3\to -2<0$ , nên $\sqrt{x-3}$ không có giới hạn.

The quotient law cannot be used when the denominator's limit is $0$ .

In the indeterminate form $\frac{0}{0}$ (numerator and denominator both approach $0$ ), the limit can still exist. Factor, simplify, or multiply by the conjugate first, then evaluate.

You may split a sum, difference, product, or quotient only when each component limit exists.

For example, $\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\right)=0$ , but you cannot split it into a difference of two limits, because $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$ does not exist.

The root law applies to an even root only when the limit of the radicand is nonnegative.

An odd root works for every value. For example, as $x\to 1$ , $x-3\to -2<0$ , so $\sqrt{x-3}$ has no limit.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Thay $x=a$ trước, rồi mới chọn cách biến đổi.

Cách này chỉ dùng cho đa thức, phân thức, căn xác định tại $a$ . Ra số thực thì đó là giới hạn. Ra $\frac{0}{0}$ thì phân tích nhân tử hoặc nhân liên hợp. Ra số khác $0$ chia cho $0$ thì xét giới hạn một phía.

Viết $\lim_{x\to a}$ ở mọi dòng cho đến khi thay số.

Bỏ ký hiệu giữa chừng hoặc chỉ ghi kết quả thì dễ mất điểm, vì người chấm cho điểm theo từng bước.

Substitute $x=a$ first, then decide which technique to use.

Direct substitution works for polynomials, rational functions, and roots that are defined at $a$ . If you get a real number, that is the limit. If you get $\frac{0}{0}$ , factor or multiply by the conjugate. If you get a nonzero number divided by $0$ , examine the one-sided limits.

Write $\lim_{x\to a}$ on every line until you substitute the value.

Dropping the notation midway or writing only the final answer can cost you points, because graders award credit step by step.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính giới hạn bằng các quy tắc đại sốGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính giới hạn bằng biến đổi đại sốGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính giới hạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính giới hạn bằng các quy tắc đại sốGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính giới hạn bằng biến đổi đại sốGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính giới hạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction

Dẫn tớiLeads totính liên tụccontinuity đạo hàmderivative

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

định lý kẹpsqueeze theorem

Khác nhau ở đâuHow they differQuy tắc tính giới hạn tính giới hạn của hàm bằng cách ghép giới hạn của các hàm thành phần đã biết. Định lý kẹp tìm giới hạn bằng cách chặn hàm giữa hai hàm có cùng giới hạn.

Hay nhầm khiMixed up whenVới

\lim_{x\to 0} x\sin(1/x)

, không thể dùng quy tắc tích vì

\lim \sin(1/x)

không tồn tại, nên phải dùng định lý kẹp.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 5, 127–128.