AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số đa thứcpolynomial function

polynomial functionVietnamese: hàm số đa thức

Hàm số đa thức (polynomial function) là hàm có công thức là tổng của vài số hạng, mỗi số hạng là một số cố định nhân với x mũ nguyên không âm.A polynomial function is a function whose formula is a sum of terms, each a fixed number times x raised to a nonnegative integer power.

Trực giác: Công thức chỉ cộng, trừ, nhân, không có x ở mẫu hay dưới dấu căn. Nhờ vậy đồ thị là một nét liền, không thủng, không đứt.Intuition: The formula uses only addition, subtraction, and multiplication, with no x in a denominator or under a radical. As a result, the graph is a single unbroken curve with no holes or gaps.

Công thức chínhKey formula

f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số đa thức (polynomial function) là hàm mà $f(x)$ chỉ được tạo từ phép cộng, trừ, nhân giữa $x$ và các hằng số. Chẳng hạn $f(x)=2x^3-x+5$ có bậc $3$ , vì số mũ lớn nhất của $x$ là $3$ .

Đa thức liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm, nên tính giới hạn chỉ cần thay trực tiếp. Đạo hàm của ví dụ trên là $f'(x)=6x^2-1$ , bậc thấp hơn một. Riêng hàm hằng thì đạo hàm bằng $0$ . Hàm hữu tỉ thì khác: đồ thị có thể đứt tại điểm mẫu bằng $0$ . Khi $|x|$ rất lớn, số hạng bậc cao nhất quyết định dáng đồ thị.

A polynomial function is a function $f(x)$ built only from addition, subtraction, and multiplication of $x$ and constants. For example, $f(x)=2x^3-x+5$ has degree $3$ because the largest exponent of $x$ is $3$ .

Polynomials are continuous and differentiable everywhere, so a limit can be found by direct substitution. The derivative of the example above is $f'(x)=6x^2-1$ , whose degree is one less. A constant function is the exception: its derivative is $0$ . Rational functions are different, since their graphs can break where the denominator equals $0$ . When $|x|$ is very large, the highest-degree term determines the shape of the graph.

Ký hiệuNotation

• $P(x)=a_n x^n+\dots+a_1x+a_0$
• $\deg P = n$
• $P'(x)$ là đạo hàm của $P$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

f(x)=\htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-0}{a_n x^n}+\htmlClass{fp-1}{a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x}+\htmlClass{fp-2}{a_0}}

Dùng để nhận ra đa thức, đọc bậc và hệ số; thay trực tiếp khi tính giới hạn, đạo hàm từng số hạng.Use it to recognize a polynomial and read off its degree and coefficients; substitute directly when evaluating limits, and differentiate term by term.

Trong đóWhere

x

biến số, nhận mọi giá trị thực

n

bậc của đa thức, là một số nguyên không âm

a_n

hệ số của số hạng bậc cao nhất, với

a_n\neq 0

a_{n-1},\dots,a_1

các hệ số của những số hạng bậc thấp hơn, đều là hằng số thực

a_0

hệ số tự do, bằng

f(0)

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Bảng giá trị của $f$ chưa cho biết $f$ là đa thức.

Bảng chỉ có vài điểm, không cho biết $f$ liên tục hay có đạo hàm. Chỉ khi đề nói $f$ là đa thức, các điều kiện của định lý mới tự động thỏa.

Đừng gán tính liên tục của đa thức cho hàm hữu tỉ.

Hàm hữu tỉ không xác định tại điểm mẫu bằng $0$ . Ví dụ $f(x)=\frac{1}{x}$ không liên tục trên $[-1;1]$ , nên không dùng được định lý giá trị trung gian ở đó.

Xấp xỉ Taylor bậc $n$ của đa thức bậc $n$ không có sai số.

Đạo hàm bậc $n+1$ của nó bằng $0$ , nên sai số bằng $0$ . Ví dụ đa thức Taylor bậc $3$ của $x^3$ quanh $0$ chính là $x^3$ .

A table of values for $f$ does not show that $f$ is a polynomial.

A table gives only a few points and says nothing about whether $f$ is continuous or differentiable. Only when the problem states that $f$ is a polynomial are a theorem's conditions automatically satisfied.

Do not apply the continuity of polynomials to rational functions.

A rational function is undefined where its denominator equals $0$ . For example, $f(x)=\frac{1}{x}$ is not continuous on $[-1;1]$ , so the Intermediate Value Theorem cannot be used there.

The nth-degree Taylor approximation of a polynomial of degree $n$ has no error.

Its $(n+1)$ th derivative is $0$ , so the error is $0$ . For example, the degree- $3$ Taylor polynomial of $x^3$ about $0$ is exactly $x^3$ .

Mẹo phòng thiExam tips1 mẹo1 tip

Trước khi dùng định lý, hãy viết: $f$ là đa thức nên liên tục và có đạo hàm.

Bài tự luận AP chấm việc nêu điều kiện của định lý. Một dòng là đủ, rồi mới nêu tên định lý và kết luận.

Before applying a theorem, write that $f$ is a polynomial, so it is continuous and differentiable.

AP free-response questions award credit for verifying a theorem's conditions. One line is enough; then name the theorem and state your conclusion.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thế kỷ 17René DescartesLeonhard EulerAl-KhwarizmiAbu Bakr al-Karaji

Năm 1637, Descartes phổ biến cách viết đa thức hiện đại, dùng chữ cái đầu cho hằng số, chữ cuối cho biến và số mũ viết nhỏ phía trên.

In 1637, Descartes popularized the modern way of writing polynomials, using letters from the beginning of the alphabet for constants, letters from the end for variables, and small raised numbers for exponents.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "polynomial" ghép hai gốc khác ngôn ngữ: "poly" trong tiếng Hy Lạp nghĩa là "nhiều", còn "nomen" trong tiếng Latin nghĩa là "tên". Từ này được tạo ra từ nhị thức (binomial) bằng cách thay gốc Latin "bi-" (hai) bằng gốc Hy Lạp "poly-" (nhiều). Vì vậy, tên gọi mang nghĩa một tổng của nhiều số hạng, tức nhiều đơn thức (monomial) cộng lại. Từ này được dùng lần đầu vào thế kỷ 17.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXác nhận liên tục trên một khoảngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc lũy thừaĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính giới hạn bằng các quy tắc đại sốGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXác nhận liên tục trên một khoảngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc lũy thừaĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính giới hạn bằng các quy tắc đại sốGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction số mũexponent

Dẫn tớiLeads toquy tắc luỹ thừapower rule đa thức TaylorTaylor polynomial

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số phân thức hữu tỉrational function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm số đa thức chỉ gồm các số hạng

a_n x^n

với số mũ nguyên không âm, xác định trên mọi số thực. Hàm số phân thức hữu tỉ là thương của hai đa thức và có thể có tiệm cận đứng.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}

rồi hỏi tính liên tục hay tiệm cận; học sinh tưởng đây là đa thức vì tử số là đa thức, trong khi hàm số này không xác định tại

x=1

hàm số luỹ thừapower function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm số đa thức là tổng của nhiều số hạng có số mũ nguyên không âm. Hàm số luỹ thừa chỉ có một số hạng

x^k

và số mũ

k

có thể là số âm hoặc phân số.

Hay nhầm khiMixed up whenGặp

f(x)=\sqrt{x}

hay

f(x)=x^{-2}

, học sinh coi là đa thức rồi áp dụng tính chất như liên tục và xác định trên mọi

x

, trong khi số mũ không nguyên hoặc âm khiến chúng không phải đa thức.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 150, 940, 1362.