AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số căn thứcroot function

root functionVietnamese: hàm số căn thức

Hàm số căn thức (root function) là hàm số lấy căn bậc n của biến x với n nguyên từ 2 trở lên, như căn bậc hai (n = 2) hay căn bậc ba (n = 3).A root function is a function that takes the nth root of the variable x, where n is an integer with n ≥ 2, such as the square root (n = 2) or the cube root (n = 3).

Trực giác: Căn thức giống chiếc máy chạy ngược phép lũy thừa: nhập 64, ra 8 nếu là căn bậc hai, ra 4 nếu là căn bậc ba.Intuition: A root works like a machine that undoes exponentiation: enter 64 and get 8 from the square root, or 4 from the cube root.

Công thức chínhKey formula

f(x)=x^{1/n}=\sqrt[n]{x}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số căn thức $f(x)=\sqrt[n]{x}$ , với $n$ là số nguyên và $n\ge 2$ , cho ra số mà lũy thừa bậc $n$ của nó bằng $x$ . Ví dụ $\sqrt[3]{64}=4$ vì $4^3=64$ . Khi $n$ chẵn, kết quả là số không âm và miền xác định là $[0,+\infty)$ . Khi $n$ lẻ, miền xác định là $\mathbb{R}$ .

Đồ thị đi qua $(0,0)$ và $(1,1)$ . Hàm đồng biến trên miền xác định. Hàm này là hàm ngược của $y=x^n$ (với $n$ chẵn thì xét $x\ge 0$ ), nên hai đồ thị đối xứng qua đường thẳng $y=x$ . Tại $x=0$ hàm không có đạo hàm vì tiếp tuyến thẳng đứng.

A root function $f(x)=\sqrt[n]{x}$ , where $n$ is an integer and $n\ge 2$ , outputs the number whose $n$ th power equals $x$ . For example, $\sqrt[3]{64}=4$ because $4^3=64$ . When $n$ is even, the output is nonnegative and the domain is $[0,+\infty)$ . When $n$ is odd, the domain is $\mathbb{R}$ .

The graph passes through $(0,0)$ and $(1,1)$ , and the function is increasing on its entire domain. It is the inverse of $y=x^n$ (restricted to $x\ge 0$ when $n$ is even), so the two graphs are reflections of each other across the line $y=x$ . At $x=0$ the function is not differentiable, because the tangent line is vertical.

Ký hiệuNotation

• $f(x)=x^{1/n}=\sqrt[n]{x}$
• $\sqrt{x}$ (căn bậc hai, $n=2$ )
• $\sqrt[3]{x}$ (căn bậc ba, $n=3$ )
• $f'(x)=\dfrac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

f(x)=\htmlClass{fp-1}{x^{\htmlClass{fp-0}{1/n}}}=\htmlClass{fp-2}{\sqrt[n]{x}}

Dùng để nhận diện hàm căn và đổi sang $x^{1/n}$ trước khi đạo hàm hay nguyên hàm. $n$ chẵn: $x\ge 0$ ; $n$ lẻ: mọi $x$ .Use this form to recognize a root function and rewrite it as $x^{1/n}$ before differentiating or integrating. For even $n$ , $x\ge 0$ ; for odd $n$ , any real $x$ is allowed.

Trong đóWhere

x

biến số đầu vào, nằm dưới dấu căn

n

bậc của căn, là số nguyên với

n \ge 2

f(x)

giá trị căn bậc

n

của

x

Hay hiểu saiCommon misconceptions4 ý · 1 phút đọc4 points · 1 min read

Căn bậc ba của số âm vẫn xác định.

Chỉ căn bậc chẵn mới cần biểu thức dưới căn không âm. Ví dụ $\sqrt[3]{-8}=-2$ , còn $\sqrt{-8}$ không phải số thực. Đừng loại oan nghiệm âm của căn bậc ba.

$\sqrt{x^2}=|x|$ , không phải $x$ .

Căn bậc hai cho kết quả không âm, nên khi $x<0$ thì $\sqrt{x^2}=-x$ . Ví dụ $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3$ .

Căn của tổng nói chung không bằng tổng các căn.

Phép lấy căn không tách qua phép cộng. Ví dụ $\sqrt{9+16}=5$ , còn $\sqrt9+\sqrt{16}=7$ .

Hàm $\sqrt[n]{x}$ liên tục tại $0$ nhưng không có đạo hàm tại $0$ .

Đạo hàm $\frac1n x^{\frac1n-1}$ có số mũ âm nên không thay được $x=0$ . Gần gốc, hệ số góc rất lớn, tiếp tuyến thẳng đứng.

The cube root of a negative number is defined.

Only even roots require a nonnegative expression under the radical. For example, $\sqrt[3]{-8}=-2$ , whereas $\sqrt{-8}$ is not a real number, so do not wrongly discard negative inputs for odd roots.

$\sqrt{x^2}=|x|$ , not $x$ .

The square root always returns a nonnegative value, so when $x<0$ , $\sqrt{x^2}=-x$ . For example, $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3$ .

The root of a sum generally does not equal the sum of the roots.

Taking a root does not distribute over addition. For example, $\sqrt{9+16}=5$ , but $\sqrt9+\sqrt{16}=7$ .

The function $\sqrt[n]{x}$ is continuous at $0$ but not differentiable there.

The derivative $\frac1n x^{\frac1n-1}$ has a negative exponent, so you cannot substitute $x=0$ . Near the origin the slope becomes arbitrarily large, and the tangent line is vertical.

Mẹo phòng thiExam tips3 mẹo3 tips

Đổi mọi căn thành lũy thừa ngay dòng đầu của lời giải.

Ví dụ $\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$ và $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ . Khi đó chỉ cần quy tắc lũy thừa cho cả đạo hàm lẫn nguyên hàm, ít nhầm dấu hơn.

Xét riêng $x=0$ khi kiểm tra điều kiện định lý.

Ví dụ định lý giá trị trung bình dùng được cho $\sqrt{x}$ trên $[0,4]$ , vì chỉ cần liên tục trên $[0,4]$ và có đạo hàm trên $(0,4)$ . Hãy viết rõ hai điều kiện này.

Đề hỏi $f'(0)$ của hàm căn thì ghi: không tồn tại vì tiếp tuyến thẳng đứng.

Đừng thay $x=0$ vào công thức đạo hàm, vì mẫu bằng $0$ nên không ra một số.

Rewrite every radical as a power on the first line of your solution.

For example, $\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$ and $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ . Then the power rule handles both derivatives and antiderivatives, and sign errors become less likely.

Check $x=0$ separately when verifying the hypotheses of a theorem.

For example, the Mean Value Theorem applies to $\sqrt{x}$ on $[0,4]$ , because it requires only continuity on $[0,4]$ and differentiability on $(0,4)$ . State both conditions explicitly.

If asked for $f'(0)$ of a root function, write that it does not exist because the tangent line is vertical.

Do not substitute $x=0$ into the derivative formula: the denominator is $0$ , so the result is not a number.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1525Christoph RudolffLeonhard EulerIbn al-Yasamin

Năm 1525, kí hiệu √ lần đầu xuất hiện trên sách in trong cuốn Coss của Christoph Rudolff, để ghi phép tìm cạnh hình vuông khi biết diện tích.

In 1525, the radical symbol √ first appeared in print in Christoph Rudolff's Coss, where it was used to denote finding the side of a square from its area.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "root" (gốc, rễ) trong tên gọi này bắt nguồn từ một từ cổ của vùng Scandinavia, mang nghĩa là nguồn hay cội nguồn của một thứ gì đó. Dạng Latin của từ này là radix, và vì vậy các căn bậc hai còn được gọi là căn thức (radical). Người Ả Rập cũng dùng từ jaḏr, nghĩa là "gốc", để chỉ căn, nên ý niệm "gốc" xuất hiện ở nhiều nền toán học khác nhau. Về hình dạng của kí hiệu √, có một giả thuyết cho rằng Rudolff đã dùng chữ r thường, viết tắt của radix, nhưng đây mới chỉ là một trong nhiều cách giải thích và chưa được xác nhận chắc chắn.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo n từ 2 đến 9 — xem căn thức là ảnh gương của lũy thừa

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc lũy thừaĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm hàm ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc lũy thừaĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDifferentiating Inverse Functions (đạo hàm hàm ngược)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstsố mũexponent tập xác địnhdomain

Dẫn tớiLeads toquy tắc luỹ thừapower rule

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số luỹ thừapower function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm số căn thức là hàm có biến nằm dưới dấu căn, như

\sqrt[n]{x}

. Hàm số luỹ thừa là dạng tổng quát

x^a

, trong đó số mũ

a

có thể là số nguyên, phân số hoặc số thực.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

f(x)=\sqrt[3]{x^2}

rồi yêu cầu tính đạo hàm: nhiều bạn không nhận ra đó là

x^{2/3}

nên không dùng được quy tắc luỹ thừa.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 61–62, 95.