AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm lượng giác ngượcinverse trigonometric function

inverse trigonometric functionVietnamese: hàm lượng giác ngược

Hàm lượng giác ngược (inverse trigonometric function) là hàm ngược của sin, cos, tan trên khoảng thu hẹp, cho biết góc ứng với giá trị lượng giác.An inverse trigonometric function is the inverse of sine, cosine, or tangent restricted to a limited interval, and it returns the angle that corresponds to a given trigonometric value.

Trực giác: Thường ta hỏi: góc 30° có sin bằng bao nhiêu? Hàm ngược hỏi chiều kia: sin bằng 1/2 thì góc là bao nhiêu, trong khoảng góc đã quy ước?Intuition: Usually we ask: what is the sine of a 30° angle? The inverse function asks the question in the other direction: if the sine is 1/2, what is the angle within the agreed-upon range?

Công thức chínhKey formula

y=\arcsin x \iff \sin y = x,\ -\dfrac{\pi}{2}\le y\le \dfrac{\pi}{2}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm lượng giác ngược cho biết góc nào có giá trị sin, cos hoặc tan đã cho. Vì các hàm này lặp lại theo chu kỳ, ta chỉ xét chúng trên một đoạn (hoặc khoảng) nhỏ, để mỗi giá trị ứng với đúng một góc.

Ví dụ: $\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}$ (còn viết $\sin^{-1}$ ), vì $\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$ và $\frac{\pi}{6}$ thuộc $[-\pi/2,\pi/2]$ . Miền giá trị quy ước: $\arcsin$ trong $[-\pi/2,\pi/2]$ , $\arccos$ trong $[0,\pi]$ , $\arctan$ trong $(-\pi/2,\pi/2)$ . Đạo hàm của chúng là biểu thức đại số, không chứa sin, cos, tan.

An inverse trigonometric function tells you which angle has a given sine, cosine, or tangent value. Because these functions repeat periodically, we restrict each one to a small interval so that every value corresponds to exactly one angle.

For example, $\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}$ (also written $\sin^{-1}$ ), because $\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$ and $\frac{\pi}{6}$ lies in $[-\pi/2,\pi/2]$ . The conventional ranges are $[-\pi/2,\pi/2]$ for $\arcsin$ , $[0,\pi]$ for $\arccos$ , and $(-\pi/2,\pi/2)$ for $\arctan$ . Their derivatives are algebraic expressions that contain no sine, cosine, or tangent.

Ký hiệuNotation

• $\sin^{-1}x$ (hay $\arcsin x$ ), $\cos^{-1}x$ (hay $\arccos x$ ), $\tan^{-1}x$ (hay $\arctan x$ )
• $\sin^{-1}x \neq \dfrac{1}{\sin x}$ .

Đơn vịUnitsGiá trị đầu ra là góc tính bằng radian (trừ khi đề ghi rõ độ).

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\htmlClass{fp-0}{y=\arcsin x} \iff \htmlClass{fp-1}{\sin y = x},\ \htmlClass{fp-2}{-\dfrac{\pi}{2}\le y\le \dfrac{\pi}{2}}

Dùng để tính giá trị $\arcsin$ ; kết quả phải nằm trong $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ , nên $\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}$ , không phải $\frac{5\pi}{6}$ .Use this to evaluate $\arcsin$ ; the result must lie in $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ , so $\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}$ , not $\frac{5\pi}{6}$ .

Trong đóWhere

x

giá trị đưa vào hàm ngược, nằm trong đoạn

[-1,1]

đối với

\arcsin

y

góc kết quả, tính bằng radian, nằm trong khoảng giới hạn của hàm ngược — radian

\htmlClass{fp-0}{\dfrac{d}{dx}\left(\arcsin x\right)}=\htmlClass{fp-2}{\dfrac{1}{\htmlClass{fp-1}{\sqrt{1-x^2}}}},\ \htmlClass{fp-3}{-1<x<1}

Dùng khi đạo hàm hàm chứa $\arcsin$ ; với hàm hợp là $\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ . $\arccos$ có cùng độ lớn nhưng mang dấu âm.Use this to differentiate functions involving $\arcsin$ ; for a composite function the derivative is $\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ . The derivative of $\arccos$ has the same magnitude but is negative.

Trong đóWhere

x

biến số của hàm, nằm trong khoảng

(-1,1)

\dfrac{d}{dx}\left(\arctan x\right)=\dfrac{1}{1+x^2}

Dùng khi đạo hàm hàm chứa $\arctan$ , dạng hàm hợp là $\frac{u'}{1+u^2}$ ; cũng cho $\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$ .Use this to differentiate functions involving $\arctan$ ; for a composite function the derivative is $\frac{u'}{1+u^2}$ . It also gives $\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$ .

Trong đóWhere

x

biến số của hàm, là số thực bất kì

Hay hiểu saiCommon misconceptions4 ý · 1 phút đọc4 points · 1 min read

$\sin^{-1}x$ không phải $\dfrac{1}{\sin x}$ .

Số mũ $-1$ chỉ hàm ngược, tức $\arcsin x$ ; nghịch đảo của $\sin x$ là $\csc x$ . Vì vậy $\sin^{-1}(1/2)=\dfrac{\pi}{6}$ , không phải $2$ .

$\arcsin(\sin x)=x$ chỉ đúng khi $x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ .

Kết quả luôn nằm trong miền giá trị đã thu hẹp, nên $\arcsin(\sin\pi)=0$ , không phải $\pi$ .

Đạo hàm của $\arctan x$ là $\dfrac{1}{1+x^2}$ , không có căn.

Đừng trộn với công thức của $\arcsin$ , vốn có căn ở mẫu.

Đạo hàm của $\arccos x$ mang dấu âm: $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Nó chỉ khác $\arcsin x$ ở dấu trừ, nên dễ quên.

$\sin^{-1}x$ does not mean $\dfrac{1}{\sin x}$ .

The exponent $-1$ denotes the inverse function, $\arcsin x$ , while the reciprocal of $\sin x$ is $\csc x$ . So $\sin^{-1}(1/2)=\dfrac{\pi}{6}$ , not $2$ .

$\arcsin(\sin x)=x$ holds only when $x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ .

The output always lies in the restricted range, so $\arcsin(\sin\pi)=0$ , not $\pi$ .

The derivative of $\arctan x$ is $\dfrac{1}{1+x^2}$ , with no square root.

Do not confuse it with the $\arcsin$ formula, which has a square root in the denominator.

The derivative of $\arccos x$ is negative: $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .

It differs from the derivative of $\arcsin x$ only by a minus sign, which is easy to forget.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi đạo hàm hàm lượng giác ngược, viết $u$ và $u'$ trước khi thay vào công thức.

Chẳng hạn $u=3x$ thì $\dfrac{d}{dx}\arctan u=\dfrac{u'}{1+u^2}$ cho $\dfrac{3}{1+9x^2}$ . Ghi rõ quy tắc dây chuyền giúp giữ điểm theo từng bước dù sai một phép tính nhỏ.

Ghi $\lim_{x\to\infty}\arctan x=\dfrac{\pi}{2}$ bằng radian, kèm phương trình tiệm cận.

Khi đó $y=\dfrac{\pi}{2}$ là tiệm cận ngang bên phải, $y=-\dfrac{\pi}{2}$ bên trái. Viết $90^\circ$ hoặc chỉ ghi "có tiệm cận" mà không nêu phương trình thì mất điểm.

When differentiating an inverse trigonometric function, write down $u$ and $u'$ before substituting into the formula.

For example, with $u=3x$ , $\dfrac{d}{dx}\arctan u=\dfrac{u'}{1+u^2}$ gives $\dfrac{3}{1+9x^2}$ . Showing the chain rule earns credit for each step even if you make a small arithmetic error.

Write $\lim_{x\to\infty}\arctan x=\dfrac{\pi}{2}$ in radians and state the asymptote equations.

Then $y=\dfrac{\pi}{2}$ is the horizontal asymptote on the right and $y=-\dfrac{\pi}{2}$ is the one on the left. Writing $90^\circ$ , or just saying "there is an asymptote" without giving the equation, loses points.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1729Daniel BernoulliLeonhard EulerJoseph-Louis LagrangeJohn Herschel

Năm 1736, Euler xem các đại lượng lượng giác là hàm của biến thực và bàn có hệ thống về hàm ngược, gồm việc chọn giá trị chính.

In 1736, Euler treated trigonometric quantities as functions of a real variable and discussed inverse functions systematically, including the choice of principal values.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tiền tố "arc" trong $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ có nghĩa là "cung". Lagrange dùng cách viết arc. sin vào năm 1772, và cách viết này nhấn mạnh rằng kết quả của hàm là độ dài cung (arc length) trên đường tròn đơn vị, tức là một góc đo bằng radian, chứ không phải một tỉ số. Vì vậy $\arcsin x$ được đọc là "cung có sin bằng $x$ ". Bên cạnh đó còn một cách viết khác là $\sin^{-1} x$ , do John Herschel đưa ra năm 1813. Cách viết này gợi ý hàm ngược (inverse function) bằng số mũ $-1$ . Tuy nhiên, nó dễ gây nhầm với $\sin^2 x$ , vốn là phép lũy thừa, nên nhiều người đọc nhầm $\sin^{-1} x$ thành nghịch đảo (reciprocal) $\dfrac{1}{\sin x}$ . Do đó, khi gặp ký hiệu này trong đề, thí sinh cần nhớ rằng $\sin^{-1} x$ chính là $\arcsin x$ chứ không phải $\dfrac{1}{\sin x}$ .

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm hàm lượng giác ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm hàm ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDifferentiating Inverse Trigonometric FunctionsĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDifferentiating Inverse Functions (đạo hàm hàm ngược)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm số lượng giáctrigonometric function

Dẫn tớiLeads toquy tắc dây chuyềnchain rule tích phân bất địnhindefinite integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số ngượcinverse function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm số ngược là khái niệm chung cho mọi hàm đơn ánh. Hàm lượng giác ngược là trường hợp riêng, chỉ có sau khi thu hẹp tập xác định của hàm lượng giác.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề viết

\sin^{-1}x

nhưng học sinh hiểu thành

\dfrac{1}{\sin x}

; thực ra

\sin^{-1}x=\arcsin x

, khác với

\csc x

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 13, 95, 152.