AP Calculus BCAP Calculus AB

radianradian

radianVietnamese: radian

Radian là cách đo góc bằng tỉ số giữa độ dài cung chắn và bán kính; góc 180 độ bằng pi radian.A radian is a unit of angle measure defined as the ratio of the intercepted arc length to the radius; 180 degrees equals pi radians.

Trực giác: Đi dọc mép bồn hoa tròn một đoạn rồi đếm quãng đường bằng bao nhiêu lần bán kính bồn. Số lần đó là số radian của góc bạn quét quanh tâm.Intuition: Imagine walking along the edge of a circular flower bed and counting how many bed-radii long your path is. That count is the radian measure of the angle you have swept out around the center.

Công thức chínhKey formula

\theta=\dfrac{s}{r}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Radian đo góc ở tâm đường tròn bằng tỉ số $\theta=s/r$ . Ở đây $s$ là độ dài cung chắn và $r$ là bán kính.

Góc $1$ radian chắn cung dài đúng một bán kính. Nửa đường tròn có cung $s=\pi r$ , nên $180^\circ=\pi$ radian và góc đầy là $2\pi$ radian. Từ đó $s=r\theta$ , không cần hệ số đổi đơn vị.

Trong giải tích, $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ và $(\sin x)'=\cos x$ chỉ đúng khi $x$ tính bằng radian. Nếu $x$ tính bằng độ thì xuất hiện thêm hệ số $\pi/180$ . Vì vậy $\sin x$ mặc định hiểu theo radian, trừ khi đề ghi rõ khác.

A radian measures a central angle of a circle by the ratio $\theta=s/r$ , where $s$ is the length of the intercepted arc and $r$ is the radius.

An angle of $1$ radian intercepts an arc exactly one radius long. A semicircle has arc length $s=\pi r$ , so $180^\circ=\pi$ radians and a full revolution is $2\pi$ radians. It follows that $s=r\theta$ , with no unit-conversion factor needed.

In calculus, $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ and $(\sin x)'=\cos x$ hold only when $x$ is measured in radians. If $x$ is in degrees, an extra factor of $\pi/180$ appears. For this reason, $\sin x$ is assumed to use radians unless the problem states otherwise.

Ký hiệuNotation

• $\theta=s/r$
• $\pi\text{ rad}=180^\circ$
• $x^\circ=\dfrac{x\pi}{180}\text{ rad}$
• $s=r\theta$ (độ dài cung)

Đơn vịUnitsradian (kí hiệu rad); thường bỏ chữ rad khi viết, ví dụ $\sin\dfrac{\pi}{6}$

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\theta=\htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{s}}{\htmlClass{fp-1}{r}}}

Dùng khi cần tính số đo radian của góc ở tâm từ độ dài cung chắn và bán kính.Use this to find the radian measure of a central angle from the intercepted arc length and the radius.

Trong đóWhere

\theta

số đo góc ở tâm, tính bằng radian — rad

s

độ dài cung tròn bị góc chắn — cùng đơn vị với

r

r

bán kính của đường tròn — đơn vị độ dài

s=r\theta

Dùng khi biết bán kính và góc (đã đổi sang radian) và cần tìm độ dài cung.Use this to find arc length when you know the radius and the angle (already converted to radians).

Trong đóWhere

s

độ dài cung tròn — cùng đơn vị với

r

r

bán kính đường tròn — đơn vị độ dài

\theta

số đo góc ở tâm, tính bằng radian — rad

\theta_{\text{rad}}=\theta^{\circ}\cdot\dfrac{\pi}{180}

Dùng để đổi góc từ độ sang radian; đổi ngược lại thì nhân với $180/\pi$ .Use this to convert an angle from degrees to radians; to convert back, multiply by $180/\pi$ .

Trong đóWhere

\theta_{\text{rad}}

số đo góc tính bằng radian — rad

\theta^{\circ}

số đo của cùng góc đó tính bằng độ — độ

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Đạo hàm của $\sin x$ là $\cos x$ chỉ khi $x$ tính bằng radian.

Nếu $x$ tính bằng độ, đạo hàm là $\frac{\pi}{180}\cos x$ . Đề cho góc theo độ thì đổi sang radian trước khi lấy đạo hàm.

Máy tính để chế độ độ sẽ cho kết quả sai khi đề dùng radian.

Chẳng hạn $\sin 1\approx 0{,}8415$ theo radian, nhưng chế độ độ cho khoảng $0{,}0175$ . Quên chuyển chế độ có thể làm sai cả loạt câu liên tiếp.

The derivative of $\sin x$ is $\cos x$ only when $x$ is in radians.

If $x$ is in degrees, the derivative is $\frac{\pi}{180}\cos x$ , so convert any angle given in degrees to radians before differentiating.

A calculator in degree mode gives wrong answers when a problem uses radians.

For example, $\sin 1\approx 0.8415$ in radian mode, but degree mode gives about $0.0175$ . Forgetting to switch modes can make you miss a whole series of questions in a row.

Mẹo phòng thiExam tips1 mẹo1 tip

Trước khi thi, đặt máy tính ở chế độ radian và thử $\sin 1$ .

Kết quả phải xấp xỉ 0,8415.

Before the exam, set your calculator to radian mode and test it with $\sin 1$ .

The result should be approximately 0.8415.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

khoảng 1714 (khái niệm); 1873 (tên gọi xuất hiện trên văn bản in)Roger CotesRobert SmithJames ThomsonThomas MuirLeonhard Euler

Roger Cotes được ghi công ý tưởng đo góc bằng độ dài cung (khoảng 1714); tên "radian" in lần đầu năm 1873 trong đề thi của James Thomson.

Roger Cotes is credited with the idea of measuring angles by arc length (around 1714); the name "radian" first appeared in print in 1873 on an exam paper set by James Thomson.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên "radian" ra đời muộn hơn khái niệm gần một thế kỷ rưỡi. Trên văn bản in, nó xuất hiện lần đầu ngày 5/6/1873, trong các câu hỏi thi do James Thomson soạn tại Queen's College, Belfast. Thomson đã dùng từ này từ năm 1871. Trước đó, năm 1869, Thomas Muir ở Đại học St Andrews còn phân vân giữa ba cách gọi là "rad", "radial" và "radian". Đến năm 1874, sau khi trao đổi với Thomson, Muir chọn "radian". Về nghĩa của cái tên, một số tài liệu cho rằng đây là dạng rút gọn của cụm "góc xuyên bán kính" (radial angle), nghĩa là góc gắn với bán kính, vì một radian là góc chắn cung có độ dài bằng đúng bán kính. Tuy nhiên, các tài liệu này không thống nhất về việc ai là người đặt tên. Có nguồn nói Muir tự nhận đã đặt từ năm 1869, có nguồn lại nói hai người thống nhất tên gọi sau khi gặp nhau. Cũng cần biết rằng tên "radian" không được chấp nhận rộng rãi ngay: đến năm 1890, một sách giáo khoa lượng giác vẫn gọi nó là số đo vòng tròn.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của sin x, cos x, e^x và ln xĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng giá trị giới hạn từ bảng số liệuGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính giới hạn bằng định lý kẹpGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của sin x, cos x, e^x và ln xĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng giá trị giới hạn từ bảng số liệuGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính giới hạn bằng định lý kẹpGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđộ dài cungarc length

Dẫn tớiLeads togiới hạnlimit hệ toạ độ cựcpolar coordinate system

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 32, 63, 118.