AP Calculus BCAP Calculus AB

giới hạn vô cựcinfinite limit

infinite limitVietnamese: giới hạn vô cực

Giới hạn vô cực (infinite limit) là khi x càng gần một điểm thì f(x) càng lớn, vượt mọi số dương cho trước, hoặc càng nhỏ, thấp hơn mọi số âm cho trước.An infinite limit occurs when, as x approaches a point, f(x) grows larger than any positive number or falls below any negative number.

Trực giác: Chạy quãng đường 1 mét trong thời gian càng ngắn thì tốc độ trung bình càng lớn, vượt mọi mức bạn nêu ra.Intuition: The shorter the time you take to run a distance of 1 meter, the greater your average speed becomes, eventually exceeding any speed you name.

Công thức chínhKey formula

\lim_{x\to a} f(x)=\infty

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Giới hạn vô cực xảy ra khi $x$ càng gần $a$ (khác $a$ ) thì $f(x)$ càng lớn, vượt mọi số dương. Hoặc $f(x)$ càng nhỏ, thấp hơn mọi số âm; ta viết $\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$ hoặc $-\infty$ . Ví dụ, $1/x^2$ rất lớn khi $x$ gần $0$ , nên giới hạn là $+\infty$ .

Kí hiệu $\infty$ không phải số thực, nên đây không phải giới hạn hữu hạn. Nó còn nói rằng $f(x)$ vẫn lớn hơn mọi số cho trước khi $x$ đủ gần $a$ . Giới hạn một phía: $a^+$ là tiến tới $a$ từ bên phải, $a^-$ là từ bên trái. Nếu một giới hạn một phía bằng $\pm\infty$ thì $x=a$ là tiệm cận đứng.

An infinite limit occurs when, as $x$ gets closer to $a$ (with $x \neq a$ ), $f(x)$ grows larger than every positive number, or else falls below every negative number. We write $\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$ or $-\infty$ . For example, $1/x^2$ becomes very large as $x$ nears $0$ , so its limit is $+\infty$ .

The symbol $\infty$ is not a real number, so an infinite limit is not a finite limit. It says that $f(x)$ stays greater than any given number once $x$ is close enough to $a$ . For one-sided limits, $a^+$ means approaching $a$ from the right and $a^-$ means approaching from the left. If either one-sided limit equals $\pm\infty$ , then $x=a$ is a vertical asymptote.

Ký hiệuNotation

• $\lim_{x\to a} f(x)=\infty$
• $\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$
•các dạng một phía $\lim_{x\to a^-}$ và $\lim_{x\to a^+}$

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\htmlClass{fp-0}{\lim_{x\to a}} \htmlClass{fp-1}{f(x)}\htmlClass{fp-2}{=\infty}

Dùng khi $f(x)$ tăng không giới hạn lúc $x\to a$ , thường gặp ở hàm có tiệm cận đứng $x=a$ .Use this when $f(x)$ increases without bound as $x\to a$ , as typically happens for a function with vertical asymptote $x=a$ .

Trong đóWhere

x

biến số đầu vào, được cho tiến sát

a

a

điểm mà

x

tiến tới; hàm có thể không xác định tại đó

f(x)

giá trị của hàm, lớn dương tùy ý khi

x

đủ gần

a

\infty

kí hiệu chỉ sự tăng vô hạn, không phải một số thực

\lim_{x\to a} f(x)=-\infty

Dùng khi $f(x)$ âm và có giá trị tuyệt đối lớn tùy ý lúc $x\to a$ , tức giảm không giới hạn.Use this when $f(x)$ is negative with arbitrarily large absolute value as $x\to a$ , that is, when it decreases without bound.

Trong đóWhere

x

biến số đầu vào, tiến sát

a

a

điểm mà

x

tiến tới

f(x)

giá trị của hàm, âm và lớn về độ lớn khi

x

đủ gần

a

-\infty

kí hiệu chỉ sự giảm vô hạn, không phải một số thực

\lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty,\qquad \lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty

Dùng khi hành vi vô cực chỉ xảy ra ở một phía của $a$ , hoặc khác nhau giữa hai phía; mỗi phía cho $\infty$ hoặc $-\infty$ .Use this when the infinite behavior occurs on only one side of $a$ , or differs between the two sides; each side gives either $\infty$ or $-\infty$ .

Trong đóWhere

a^-

x

tiến về

a

chỉ qua các giá trị nhỏ hơn

a

a^+

x

tiến về

a

chỉ qua các giá trị lớn hơn

a

\pm\infty

kết quả là

\infty

hoặc

-\infty

tùy từng phía

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

$\lim_{x\to a} f(x)=\infty$ không có nghĩa giới hạn bằng một số.

$\infty$ không phải số thực. Kí hiệu chỉ cho biết $f(x)$ lớn hơn mọi số cho trước khi $x$ đủ gần $a$ .

Mẫu số bằng 0 chưa đủ để kết luận giới hạn là vô cực.

Với $(x^2-1)/(x-1)$ khi $x\to 1$ , tử số cũng tiến về 0. Rút gọn thành $x+1$ thì giới hạn là $2$ . Hãy xem tử số có tiến tới số khác 0 không, rồi mới xét dấu mẫu số.

Hai giới hạn một phía trái dấu thì giới hạn hai phía không phải $\infty$ hay $-\infty$ .

Với $1/x$ khi $x\to 0$ , bên phải là $+\infty$ , bên trái là $-\infty$ . Vì vậy giới hạn hai phía không tồn tại. Phải xét riêng $x\to a^+$ và $x\to a^-$ .

$\lim_{x\to a} f(x)=\infty$ does not mean the limit equals a number.

The symbol $\infty$ is not a real number, and the notation only says that $f(x)$ exceeds any given number once $x$ is close enough to $a$ .

A denominator of 0 alone does not show that the limit is infinite.

For $(x^2-1)/(x-1)$ as $x\to 1$ , the numerator also approaches 0, and simplifying to $x+1$ gives a limit of $2$ . First check whether the numerator approaches a nonzero number, then analyze the sign of the denominator.

When the two one-sided limits have opposite signs, the two-sided limit is neither $\infty$ nor $-\infty$ .

For $1/x$ as $x\to 0$ , the right-hand limit is $+\infty$ and the left-hand limit is $-\infty$ , so the two-sided limit does not exist. Always evaluate $x\to a^+$ and $x\to a^-$ separately.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Xét riêng $x\to a^+$ và $x\to a^-$ trước khi viết đáp số.

Khi mẫu tiến về 0, hai phía có thể khác dấu. Nếu khác dấu, hãy viết giới hạn hai phía không tồn tại, đừng viết $\infty$ .

Kết luận tiệm cận đứng phải dựa trên giới hạn bằng $\pm\infty$ .

Chỉ nói mẫu số bằng 0 thì chưa đủ. Nếu tử số cũng bằng 0, đồ thị có thể chỉ bị hở một điểm. Viết giới hạn một phía bằng $\pm\infty$ , rồi mới kết luận $x=a$ là tiệm cận đứng.

Evaluate $x\to a^+$ and $x\to a^-$ separately before writing your answer.

When the denominator approaches 0, the two sides can have opposite signs. If they do, state that the two-sided limit does not exist rather than writing $\infty$ .

Base a vertical asymptote conclusion on a limit equal to $\pm\infty$ .

Saying the denominator is 0 is not enough, because if the numerator is also 0, the graph may just have a hole. Write a one-sided limit equal to $\pm\infty$ , then conclude that $x=a$ is a vertical asymptote.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1817ArchimedesIsaac NewtonGottfried Wilhelm LeibnizBernard Bolzano

Không có mốc riêng cho giới hạn vô cực; năm 1817 Bernard Bolzano nêu nét cơ bản của kỹ thuật epsilon-delta để định nghĩa hàm liên tục.

There is no specific milestone for the infinite limit itself; in 1817, Bernard Bolzano laid out the essential features of the epsilon-delta technique for defining continuous functions.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Nâng vạch M lên cao — dải x làm f(x) vượt M hẹp lại nhưng không biến mất

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn vô cực và tiệm cận đứngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa giới hạn & ký hiệu giới hạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng giá trị giới hạn từ bảng số liệuGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn vô cực và tiệm cận đứngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa limit và cách đọc limit notationGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng giá trị giới hạn từ bảng số liệuGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstgiới hạn một phíaone-sided limit

Dẫn tớiLeads totiệm cận đứngvertical asymptote

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

giới hạn tại vô cựclimit at infinity

Khác nhau ở đâuHow they differGiới hạn vô cực cho

x\to a

hữu hạn và giá trị hàm tăng hoặc giảm không bị chặn. Giới hạn tại vô cực cho

x\to\pm\infty

và hàm thường tiến về một số hữu hạn.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

\lim_{x\to 2^+}\dfrac{1}{x-2}

thì đây là giới hạn vô cực, ứng với tiệm cận đứng. Đề cho

\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x-2}

thì đây là giới hạn tại vô cực, ứng với tiệm cận ngang.

tiệm cận đứngvertical asymptote

Khác nhau ở đâuHow they differGiới hạn vô cực là một phát biểu về giá trị của giới hạn. Tiệm cận đứng là đường thẳng

x=a

trên đồ thị, xuất hiện khi giới hạn đó là vô cực.

Hay nhầm khiMixed up whenCâu hỏi "tìm tiệm cận đứng" đòi một phương trình đường thẳng, còn câu "tính giới hạn" đòi kết quả

+\infty

hoặc

-\infty

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 121–122, 126.