AP Calculus BCAP Calculus AB

giới hạn một phíaone-sided limit

one-sided limitVietnamese: giới hạn một phía

Giới hạn một phía (one-sided limit) là giá trị mà hàm số tiến tới khi biến tiến về một điểm chỉ từ bên trái hoặc chỉ từ bên phải.A one-sided limit is the value a function approaches as the input approaches a point from only the left or only the right.

Trực giác: Hai người đi về cùng một điểm trên đường, mỗi người từ một phía, và mỗi người nhìn độ cao đường ở chỗ gặp. Hai độ cao khác nhau nghĩa là đường bị đứt.Intuition: Picture two people walking along a road toward the same point, one from each side, each noting the height of the road where they meet. If the two heights differ, the road has a break.

Công thức chínhKey formula

\lim_{x\to a} f(x)=L \iff \lim_{x\to a^-} f(x)=L \ \text{and}\ \lim_{x\to a^+} f(x)=L

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Giới hạn một phía cho biết $f(x)$ gần giá trị nào khi $x$ tiến về $a$ chỉ từ một bên. Giới hạn bên trái $\lim_{x\to a^-}f(x)$ chỉ xét $x<a$ . Giới hạn bên phải $\lim_{x\to a^+}f(x)$ chỉ xét $x>a$ . Ta cần nó khi hàm đổi công thức tại $a$ hoặc chỉ xác định ở một bên.

Ví dụ: với $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ , khi $x<0$ thì $f(x)=-1$ , khi $x>0$ thì $f(x)=1$ . Hai giới hạn một phía tại $0$ là $-1$ và $1$ . Giới hạn hai phía tồn tại khi hai giới hạn một phía tồn tại và bằng nhau. Ở đây chúng khác nhau, nên $\lim_{x\to 0}f(x)$ không tồn tại.

A one-sided limit describes what value $f(x)$ gets close to as $x$ approaches $a$ from one side only. The left-hand limit $\lim_{x\to a^-}f(x)$ considers only $x<a$ , and the right-hand limit $\lim_{x\to a^+}f(x)$ considers only $x>a$ . One-sided limits are needed when a function changes formula at $a$ or is defined on only one side of $a$ .

Example: for $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ , $f(x)=-1$ when $x<0$ and $f(x)=1$ when $x>0$ . The one-sided limits at $0$ are $-1$ and $1$ . The two-sided limit exists only if both one-sided limits exist and are equal. Here they differ, so $\lim_{x\to 0}f(x)$ does not exist.

Ký hiệuNotation

\lim_{x\to a^-} f(x)

(giới hạn bên trái),

\lim_{x\to a^+} f(x)

(giới hạn bên phải)

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\lim_{x\to a} f(x)=L} \htmlClass{fp-1}{\iff} \htmlClass{fp-2}{\lim_{x\to a^-} f(x)=L} \ \htmlClass{fp-3}{\text{and}}\ \htmlClass{fp-4}{\lim_{x\to a^+} f(x)=L}

Dùng khi hàm đổi công thức tại $a$ hoặc đồ thị có bước nhảy: tính riêng hai phía rồi so sánh; khác nhau thì giới hạn hai phía không tồn tại.Use one-sided limits when a function changes formula at $a$ or its graph has a jump: compute each side separately and compare. If they differ, the two-sided limit does not exist.

Trong đóWhere

a

giá trị mà

x

tiến tới; hàm không nhất thiết phải xác định tại

a

x\to a^-

x

tiến tới

a

từ bên trái, tức là

x<a

x\to a^+

x

tiến tới

a

từ bên phải, tức là

x>a

L

một số thực hữu hạn mà

f(x)

tiến về; cùng một

L

cho cả hai phía

f(x)

hàm số đang xét

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Giới hạn hai phía chỉ tồn tại khi hai giới hạn một phía tồn tại và bằng nhau.

Một phía có giá trị chưa đủ để kết luận. Hãy tính cả hai phía rồi so sánh.

Giá trị $f(a)$ không quyết định giới hạn một phía tại $a$ .

Giới hạn chỉ xét $f(x)$ khi $x$ gần $a$ , không xét $x=a$ . Hàm có thể có $f(a)$ khác cả hai giới hạn, hoặc không xác định tại $a$ mà giới hạn vẫn tồn tại.

Dấu $-$ trong $x\to a^-$ chỉ nói $x<a$ .

Nó không có nghĩa $a$ âm hay kết quả âm. Chẳng hạn $\lim_{x\to 0^-}x^2=0$ và $\lim_{x\to 0^-}\left(-\dfrac{1}{x}\right)=+\infty$ .

A two-sided limit exists only if both one-sided limits exist and are equal.

Finding one one-sided limit is not enough, so compute both sides and compare them.

The value of $f(a)$ does not determine a one-sided limit at $a$ .

A limit looks only at $f(x)$ for $x$ near $a$ , not at $x=a$ , so $f(a)$ can differ from both one-sided limits, or $f$ can be undefined at $a$ while the limits still exist.

The minus sign in $x\to a^-$ only means $x<a$ .

It does not mean that $a$ is negative or that the result is negative. For example, $\lim_{x\to 0^-}x^2=0$ and $\lim_{x\to 0^-}\left(-\dfrac{1}{x}\right)=+\infty$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết riêng hai giới hạn một phía, mỗi bên dùng đúng nhánh công thức.

Với hàm chia khúc, tính tỉ sai phân $\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$ khi $h\to 0^-$ và $h\to 0^+$ . Hai giá trị khác nhau thì $f'(0)$ không tồn tại.

Kiểm tra tính liên tục tại điểm nối trước khi tính đạo hàm.

Nếu $f$ không liên tục tại $0$ thì $f$ không có đạo hàm tại $0$ . Kết luận nhanh hơn và đỡ tính thừa.

Evaluate the two one-sided limits separately, using the correct piece of the formula on each side.

For a piecewise function, compute the difference quotient $\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$ as $h\to 0^-$ and as $h\to 0^+$ . If the two values differ, $f'(0)$ does not exist.

Check continuity at the junction point before computing a derivative.

If $f$ is not continuous at $0$ , then $f$ is not differentiable at $0$ , which gives a faster conclusion and saves unnecessary work.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Isaac NewtonGottfried Wilhelm LeibnizBernard BolzanoAugustin-Louis Cauchy

Không có người hay năm cụ thể gắn với giới hạn một phía; nó nằm trong lịch sử làm chặt chẽ giới hạn hàm số từ thế kỷ 17 đến thế kỷ 19.

No specific person or year is associated with one-sided limits. They are part of the broader effort, from the 17th to the 19th century, to make the limit of a function rigorous.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi "một phía" mô tả đúng cách $x$ tiến đến điểm $a$ : chỉ từ một bên, hoặc từ bên trái, hoặc từ bên phải, chứ không đồng thời từ cả hai bên như giới hạn thông thường. Khi $x$ giảm dần về $a$ , ta nói $x$ tiến đến $a$ "từ bên phải" (from the right) hay "từ phía trên" (from above), và viết $\lim_{x\to a^{+}} f(x)$ . Dấu $+$ ở góc trên của $a$ nhắc rằng các giá trị $x$ đang xét đều lớn hơn $a$ . Tương tự, khi $x$ tăng dần về $a$ , ta nói $x$ tiến đến $a$ từ bên trái và viết $\lim_{x\to a^{-}} f(x)$ .

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa giới hạn & ký hiệu giới hạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng giá trị giới hạn từ đồ thịGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa limit và cách đọc limit notationGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng giá trị giới hạn từ đồ thịGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm số xác định từng khúcpiecewise-defined function

Dẫn tớiLeads totính liên tụccontinuity điểm gián đoạn bước nhảyjump discontinuity tiệm cận đứngvertical asymptote

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

giới hạnlimit

Khác nhau ở đâuHow they differGiới hạn một phía chỉ cho

x

tiến đến

a

từ trái hoặc từ phải. Giới hạn hai phía đòi hỏi cả hai phía cùng cho một giá trị.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề cho hàm từng khúc hoặc đồ thị có bước nhảy, giới hạn trái và phải khác nhau thì giới hạn hai phía không tồn tại dù mỗi giới hạn một phía vẫn có thể tồn tại.

giới hạn tại vô cựclimit at infinity

Khác nhau ở đâuHow they differGiới hạn một phía cho

x

tiến đến một số hữu hạn từ một bên. Giới hạn tại vô cực cho

x

tiến đến

+\infty

hoặc

-\infty

Hay nhầm khiMixed up whenKí hiệu

x\to 0^+

và

x\to +\infty

trông gần giống nhau, nhưng cái đầu là tiến sát một điểm còn cái sau là đi ra xa vô tận.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 119–120, 125.