AP Calculus BCAP Calculus AB

điểm gián đoạn bỏ đượcremovable discontinuity

removable discontinuityVietnamese: điểm gián đoạn bỏ được

Điểm gián đoạn bỏ được (removable discontinuity) là điểm mà hàm gián đoạn nhưng có giới hạn hữu hạn, nên đổi giá trị hàm tại đó sẽ hết gián đoạn.A removable discontinuity is a point where a function is discontinuous but has a finite limit, so redefining the function's value at that point eliminates the discontinuity.

Trực giác: Như con đường lát gạch thiếu đúng một viên: biết rõ viên cần lấp vào đâu thì đường liền lại.Intuition: Think of a brick path missing exactly one brick: once you see where the gap is, filling it makes the path continuous again.

Công thức chínhKey formula

\lim_{x\to a} f(x)=L,\quad L\in\mathbb{R},\quad f(a)\neq L

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Điểm gián đoạn bỏ được là chỗ đồ thị chỉ thiếu hoặc lệch đúng một điểm. Hai phía vẫn gặp nhau ở cùng một độ cao.

Cụ thể, với hàm $f$ và số $a$ , ta có $\lim_{x\to a} f(x)=L$ với $L$ là số thực. Nhưng $f(a)$ không xác định hoặc $f(a)\neq L$ . Ví dụ: $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ không xác định tại $x=1$ . Khi $x\neq 1$ thì $f(x)=x+1$ , nên giới hạn là $2$ và đồ thị có một lỗ tại $(1;2)$ . Đặt $f(1)=2$ thì hàm liên tục tại $1$ . Gián đoạn nhảy hay gián đoạn vô cực thì không sửa được bằng cách đổi một giá trị.

A removable discontinuity is a spot where the graph is missing exactly one point or has one point out of place. The two sides still approach the same height.

Formally, for a function $f$ and a number $a$ , $\lim_{x\to a} f(x)=L$ for some real number $L$ , but $f(a)$ is undefined or $f(a)\neq L$ . For example, $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ is undefined at $x=1$ . For $x\neq 1$ , $f(x)=x+1$ , so the limit is $2$ and the graph has a hole at $(1, 2)$ . Defining $f(1)=2$ makes the function continuous at $1$ . A jump discontinuity or an infinite discontinuity cannot be fixed by changing a single value.

Ký hiệuNotation

• $\lim_{x\to a} f(x)=L$ tồn tại hữu hạn, nhưng $f(a)$ không xác định hoặc $f(a)\neq L$
•thường gặp dạng $\dfrac{0}{0}$ khi thay trực tiếp $x=a$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\lim_{x\to a} f(x)=L},\quad \htmlClass{fp-1}{L\in\mathbb{R}},\quad \htmlClass{fp-2}{f(a)\neq L}

Dùng khi giới hạn tại $a$ hữu hạn nhưng $f(a)$ lệch hoặc không xác định; đặt $f(a)=L$ để hàm liên tục.Use this when the limit at $a$ is finite but $f(a)$ is off or undefined; setting $f(a)=L$ makes the function continuous.

Trong đóWhere

a

hoành độ của điểm đang xét sự gián đoạn

f(x)

hàm số đang xét

L

giá trị giới hạn của

f(x)

khi

x

tiến tới

a

, là một số thực hữu hạn

f(a)

giá trị của hàm tại đúng điểm

a

(có thể không xác định)

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Gián đoạn bỏ được không đòi hỏi $f(a)$ phải không xác định.

Chỉ cần giới hạn tại $a$ tồn tại. $f(a)$ vẫn có thể xác định nhưng khác giới hạn, như một chấm đặc nằm lệch khỏi đường cong.

Đồ thị có lỗ chưa chắc là gián đoạn bỏ được.

Nếu hai giới hạn một phía khác nhau (bước nhảy) hoặc đồ thị đi lên vô cực thì không bỏ được. Hai phía phải cùng tiến về một số thực.

Gián đoạn bỏ được không có nghĩa là hàm liên tục tại đó.

"Bỏ được" chỉ nói rằng đặt lại $f(a)=\lim_{x\to a} f(x)$ thì hàm sẽ liên tục. Hàm ban đầu vẫn gián đoạn, nên hỏi có liên tục không thì đáp là không.

A removable discontinuity does not require $f(a)$ to be undefined.

It only requires that the limit at $a$ exists. $f(a)$ may be defined but differ from the limit, like a filled dot sitting off the curve.

Not every hole in a graph is a removable discontinuity.

If the one-sided limits differ (a jump) or the graph goes to infinity, the discontinuity is not removable. Both sides must approach the same real number.

A removable discontinuity does not mean the function is continuous at that point.

"Removable" only says that redefining $f(a)=\lim_{x\to a} f(x)$ would make the function continuous. The original function is still discontinuous, so if asked whether it is continuous there, the answer is no.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi chứng minh gián đoạn bỏ được, phải nêu rõ cả giới hạn và $f(a)$ .

Viết: giới hạn $\lim_{x\to a} f(x)=L$ tồn tại; $f(a)$ không xác định hoặc $f(a)\neq L$ . Rồi mới kết luận. Với hàm cho bằng nhiều công thức, tính riêng hai giới hạn một phía và chỉ ra chúng bằng nhau.

Khi đọc đồ thị, xét từng giá trị $x$ đáng nghi, đừng dừng ở điểm đầu tiên.

Xem nhánh trái và nhánh phải có gặp nhau ở cùng độ cao không. Rồi xem chấm tại $x=a$ là rỗng hay đặc nhưng lệch chỗ. Đề hỏi "tất cả giá trị của $x$ " có thể có nhiều hơn một điểm.

To show a removable discontinuity, state both the limit and the value of $f(a)$ .

Write that $\lim_{x\to a} f(x)=L$ exists and that $f(a)$ is undefined or $f(a)\neq L$ , then conclude. For a piecewise function, compute the two one-sided limits separately and show they are equal.

When reading a graph, check every suspicious $x$ -value rather than stopping at the first one.

See whether the left and right branches meet at the same height. Then determine whether the point at $x=a$ is an open hole or a filled dot out of place. A question asking for "all values of $x$ " may have more than one answer.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Khi nghiên cứu tính liên tục, người ta nhận ra có kiểu gián đoạn nhẹ nhất, chỉ cần sửa một điểm là hàm liên tục; nguồn không nói ai đặt tên, năm nào.

In studying continuity, mathematicians recognized a mildest type of discontinuity, one where fixing a single point makes the function continuous. The source does not say who named it or in what year.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "bỏ được" (removable) có nghĩa đen: ta có thể gỡ bỏ điểm gián đoạn bằng cách định nghĩa lại hàm tại đúng một điểm. Giả sử giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến tới $x_0$ bằng một số hữu hạn $L$ . Ta lập hàm mới $F$ với $F(x)=f(x)$ khi $x\ne x_0$ và $F(x_0)=L$ . Hàm $F$ trùng với $f$ ở hầu như mọi nơi và liên tục tại $x_0$ , nên chỗ "hở" ban đầu đã biến mất. Chẳng hạn, một hàm có giới hạn hai phía tại $x=1$ đều bằng $2$ nhưng $f(1)=5/2$ thì chỉ cần đổi giá trị tại $1$ thành $2$ là xong. Cách đặt tên này cũng giải thích vì sao khái niệm gần gũi với "điểm kỳ dị bỏ được" (removable singularity) trong giải tích phức. Ngược lại, gián đoạn nhảy hay gián đoạn vô cực không thể vá bằng cách sửa một giá trị đơn lẻ như vậy.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhử điểm gián đoạn: vá lỗ hổng và ráp hàm từng đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhử điểm gián đoạn: vá lỗ hổng và ráp hàm từng đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstgiới hạnlimit tính liên tụccontinuity

Dẫn tớiLeads tohàm số xác định từng khúcpiecewise-defined function

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

điểm gián đoạn bước nhảyjump discontinuity

Khác nhau ở đâuHow they differỞ điểm gián đoạn bỏ được, hai giới hạn một phía bằng nhau nhưng khác giá trị hàm. Ở điểm gián đoạn bước nhảy, hai giới hạn một phía đều hữu hạn nhưng khác nhau.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề hỏi có thể làm hàm liên tục bằng cách đổi giá trị tại một điểm hay không, cần so hai giới hạn một phía trước: bằng nhau thì bỏ được, khác nhau thì là bước nhảy.

điểm gián đoạn vô cựcinfinite discontinuity

Khác nhau ở đâuHow they differỞ điểm gián đoạn bỏ được, giới hạn của hàm là một số thực hữu hạn nên đồ thị chỉ thủng một lỗ. Ở điểm gián đoạn vô cực, hàm tiến tới vô cùng và đồ thị có tiệm cận đứng.

Hay nhầm khiMixed up whenHàm phân thức có mẫu bằng 0 tại một điểm: nếu nhân tử ở mẫu triệt tiêu được với tử thì là lỗ, nếu không thì là tiệm cận đứng.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 156, 171, 1363.