AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số giá trị tuyệt đốiabsolute value function

absolute value functionVietnamese: hàm số giá trị tuyệt đối

Hàm số giá trị tuyệt đối (absolute value function) là hàm biến mỗi số thực thành khoảng cách từ nó đến số không, nên luôn không âm và có đồ thị hình chữ V.The absolute value function sends each real number to its distance from zero, so its output is always nonnegative and its graph is V-shaped.

Trực giác: Xe cách cột mốc 3 km về phía đông hay phía tây thì đều cách mốc 3 km: giá trị tuyệt đối bỏ hướng, chỉ giữ độ lớn.Intuition: A car 3 km east of a marker and a car 3 km west of it are both 3 km from the marker. Absolute value discards direction and keeps only magnitude.

Công thức chínhKey formula

f(x)=|x|=\begin{cases}-x, & x<0\\ x, & x\ge 0\end{cases}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số giá trị tuyệt đối $f(x)=|x|$ giữ nguyên số không âm và đổi dấu số âm. Ví dụ $|3|=3$ và $|-3|=3$ , nên giá trị luôn không âm.

Tập xác định là $\mathbb{R}$ , tập giá trị là $[0,+\infty)$ . Đồ thị gồm hai tia $y=x$ (với $x\ge 0$ ) và $y=-x$ (với $x<0$ ), đối xứng qua trục tung, đỉnh tại gốc tọa độ. Hàm nghịch biến trên $(-\infty,0)$ và đồng biến trên $(0,+\infty)$ . Hàm liên tục tại $0$ nhưng không có đạo hàm tại $0$ , vì đạo hàm bên trái là $-1$ còn bên phải là $1$ .

The absolute value function $f(x)=|x|$ leaves nonnegative numbers unchanged and changes the sign of negative numbers. For example, $|3|=3$ and $|-3|=3$ , so the output is never negative.

Its domain is $\mathbb{R}$ and its range is $[0,+\infty)$ . The graph consists of two rays, $y=x$ (for $x\ge 0$ ) and $y=-x$ (for $x<0$ ), and is symmetric about the y-axis with its vertex at the origin. The function is decreasing on $(-\infty,0)$ and increasing on $(0,+\infty)$ . It is continuous at $0$ but not differentiable there, because the left-hand derivative is $-1$ and the right-hand derivative is $1$ .

Ký hiệuNotation

• $|x|$ hoặc $f(x)=|x|$
• $|a-b|$ là khoảng cách giữa hai số $a$ và $b$
• $|x|=\sqrt{x^2}$
• $|x|<a \iff -a<x<a$ (với $a>0$ ).

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

f(x)=\htmlClass{fp-0}{|x|}=\begin{cases}\htmlClass{fp-1}{-x}, & \htmlClass{fp-2}{x<0}\\ \htmlClass{fp-3}{x}, & \htmlClass{fp-4}{x\ge 0}\end{cases}

Dùng để tính $|x|$ , vẽ đồ thị chữ V và bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét riêng từng khoảng của $x$ .Use it to evaluate $|x|$ , sketch the V-shaped graph, and remove the absolute value bars by treating each interval of $x$ separately.

Trong đóWhere

x

biến số thực, giá trị đầu vào của hàm số

f(x)=|x|

giá trị tuyệt đối của

x

, luôn lớn hơn hoặc bằng

0

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Không được viết $|x|=x$ với mọi $x$ .

Với $x<0$ thì $|x|=-x$ , là số dương. Chẳng hạn $|x-3|=3-x$ khi $x<3$ , nên không thể bỏ dấu một cách máy móc.

$|x|$ liên tục tại $0$ nhưng không có đạo hàm tại $0$ .

Đồ thị liền nét nhưng gấp khúc: độ dốc bên trái là $-1$ , bên phải là $1$ , nên hai giới hạn một phía của tỉ sai phân khác nhau.

Đạo hàm của $|x|$ không phải lúc nào cũng bằng $1$ .

Nó bằng $1$ khi $x>0$ và $-1$ khi $x<0$ , tức $\dfrac{x}{|x|}$ . Với $|u|$ ( $u$ là biểu thức theo $x$ , $u\neq 0$ ) thì đạo hàm là $\dfrac{u}{|u|}\,u'$ .

$|x|=x$ does not hold for every $x$ .

For $x<0$ , $|x|=-x$ , which is positive. For example, $|x-3|=3-x$ when $x<3$ , so you cannot simply drop the absolute value bars.

$|x|$ is continuous at $0$ but not differentiable at $0$ .

The graph is unbroken but has a corner there: the slope is $-1$ on the left and $1$ on the right, so the two one-sided limits of the difference quotient differ.

The derivative of $|x|$ is not always $1$ .

It equals $1$ for $x>0$ and $-1$ for $x<0$ , which can be written as $\dfrac{x}{|x|}$ . For $|u|$ , where $u$ is an expression in $x$ and $u\neq 0$ , the derivative is $\dfrac{u}{|u|}\,u'$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Với $|x-2|$ , hãy viết dạng từng khúc trước khi lấy đạo hàm hoặc tích phân.

Đó là $x-2$ khi $x\ge 2$ và $2-x$ khi $x<2$ . Ghi rõ điểm đổi nhánh để khỏi sai dấu ở các bước sau.

Với hàm $f$ , hỏi có đạo hàm tại $x=a$ thì phải viết hai giới hạn một phía.

Chỉ nói "đồ thị gấp khúc" thường chưa đủ. Tính $\lim_{x\to a^-}$ và $\lim_{x\to a^+}$ của $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ . Nếu hai kết quả khác nhau thì $f'(a)$ không tồn tại.

Rewrite $|x-2|$ as a piecewise function before differentiating or integrating.

It equals $x-2$ when $x\ge 2$ and $2-x$ when $x<2$ . Mark the point where the branches switch so you avoid sign errors in later steps.

To show whether $f$ is differentiable at $x=a$ , write out both one-sided limits.

Saying only that the graph has a corner is usually not enough. Compute $\lim_{x\to a^-}$ and $\lim_{x\to a^+}$ of $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ . If the two results differ, $f'(a)$ does not exist.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1806Jean-Robert ArgandKarl Weierstrass

Karl Weierstrass đưa ra ký hiệu thanh đứng

|x|

năm 1841.

Karl Weierstrass introduced the vertical-bar notation

|x|

in 1841.

Vì sao mang đúng cái tên này? Các nguồn cho biết Argand dùng từ mô-đun (module) trong tiếng Pháp, nghĩa là "đơn vị đo", để chỉ độ lớn của số phức. Từ này được mượn sang tiếng Anh năm 1866 dưới dạng tương đương trong tiếng Latinh là modulus. Vì vậy, với số phức, "mô-đun" vẫn là tên gọi chính thức của giá trị tuyệt đối. Ngoài ra, giá trị tuyệt đối còn có các tên gọi khác như giá trị số (numerical value) và độ lớn (magnitude), đều nhấn mạnh việc chỉ giữ lại "kích thước" của số mà bỏ dấu. Tuy nhiên, các nguồn không giải thích vì sao chữ "tuyệt đối" (absolute) được chọn, nên phần lý do của riêng chữ này chưa có căn cứ để khẳng định.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhả vi & liên tục: khi nào đạo hàm tồn tại và không tồn tạiĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhả vi & liên tục: khi nào đạo hàm tồn tại và không tồn tạiĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số xác định từng khúcpiecewise-defined function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm giá trị tuyệt đối là một hàm cụ thể,

|x|

, với đồ thị hình chữ V. Hàm xác định từng khúc là cách viết tổng quát, và

|x|

chỉ là một trường hợp của cách viết đó.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đạo hàm hoặc tích phân của

|f(x)|

, cần viết lại thành hàm từng khúc theo dấu của

f(x)

rồi mới xét từng khoảng.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 48, 158, 1353.