AP Calculus BCAP Calculus AB

đạo hàmderivative

derivativeVietnamese: đạo hàm

Còn gọi:Also called: derivative function

Đạo hàm (derivative) của hàm số tại một điểm là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó, cũng là tốc độ biến thiên tức thời của hàm số tại đó.The derivative of a function at a point is the slope of the tangent line at that point, which is also the instantaneous rate of change of the function there.

Trực giác: Đạo hàm giống kim tốc độ trên đồng hồ xe máy: nó không cho biết cả chặng đường đi nhanh cỡ nào, mà cho biết ngay lúc này xe đang chạy bao nhiêu.Intuition: A derivative works like the speedometer on a motorbike: it does not tell you how fast you went over the whole trip, only how fast you are going at this moment.

Công thức chínhKey formula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Đạo hàm của $f$ tại $a$ cho biết $f$ đang thay đổi nhanh cỡ nào ngay tại $a$ . Với $h$ là số rất nhỏ, ta xét tốc độ biến thiên trung bình trên đoạn từ $a$ đến $a+h$ . Ví dụ: với $f(x)=x^2$ và $a=3$ , tốc độ trung bình là $6+h$ , gần $6$ khi $h$ gần $0$ , nên $f'(3)=6$ . Đó cũng là hệ số góc của tiếp tuyến tại $a$ . Nếu $f'>0$ trên một khoảng thì $f$ đồng biến trên khoảng đó.

Hàm không có đạo hàm tại điểm góc, điểm có tiếp tuyến thẳng đứng hoặc điểm gián đoạn. Có đạo hàm thì liên tục, ngược lại không đúng: $y=|x|$ liên tục nhưng không có đạo hàm tại $x=0$ .

The derivative of $f$ at $a$ tells how fast $f$ is changing right at $a$ . For a very small number $h$ , consider the average rate of change over the interval from $a$ to $a+h$ . For example, with $f(x)=x^2$ and $a=3$ , the average rate of change is $6+h$ , which approaches $6$ as $h$ approaches $0$ , so $f'(3)=6$ . This value is also the slope of the tangent line at $a$ . If $f'>0$ on an interval, then $f$ is increasing on that interval.

A function has no derivative at a corner, at a point with a vertical tangent line, or at a discontinuity. Differentiability implies continuity, but the converse is false: $y=|x|$ is continuous but not differentiable at $x=0$ .

Ký hiệuNotation

• $f'(x)$ , $y'$ , $\dfrac{dy}{dx}$ , $\dfrac{d}{dx}\,f(x)$
•đạo hàm tại điểm: $f'(a)$ hoặc $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=a}$ .

Đơn vịUnitsĐơn vị của $f$ chia cho đơn vị của $x$ (ví dụ mét/giây nếu $f$ là quãng đường tính bằng mét và $x$ là thời gian tính bằng giây).

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

f'(x)=\htmlClass{fp-2}{\lim_{h\to 0}\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{f(x+h)-f(x)}}{h}}}

Dùng khi tính đạo hàm từ định nghĩa hoặc chứng minh quy tắc đạo hàm; kết quả là hàm cho độ dốc tiếp tuyến tại mỗi điểm.Use this when finding a derivative from the definition or proving a differentiation rule; the result is a function giving the tangent slope at each point.

Trong đóWhere

f'(x)

đạo hàm của

f

tại

x

, tức hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ

x

h

số gia của biến, khoảng cách rất nhỏ giữa hai điểm hoành độ

x

và

x+h

f(x+h)-f(x)

số gia của giá trị hàm tương ứng với

h

f'(a)=\htmlClass{fp-2}{\lim_{x\to a}\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{f(x)-f(a)}}{x-a}}}

Dùng khi đề cho sẵn $x=a$ , hoặc khi xét đạo hàm tại điểm hàm đổi công thức, như hàm cho theo từng khoảng.Use this when the problem gives a specific value $x=a$ , or when finding the derivative at a point where the function changes formula, such as a piecewise function.

Trong đóWhere

a

hoành độ của điểm cố định mà ta tính đạo hàm tại đó

x

hoành độ của điểm lân cận, cho tiến dần về

a

f'(a)

giá trị đạo hàm của

f

tại

x=a

, bằng hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm

(a,f(a))

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đạo hàm là một hàm số, không chỉ là một con số.

$f'(a)$ là độ dốc tiếp tuyến tại điểm $a$ . $f'(x)$ cho độ dốc tại mọi điểm mà $f$ có đạo hàm.

Đừng lẫn $f'(a)$ với $f(a)$ hay với độ dốc của đoạn thẳng nối hai điểm.

Giá trị $f(a)$ là độ cao của đồ thị. Độ dốc của đoạn thẳng nối hai điểm chỉ là tốc độ thay đổi trung bình.

Đồ thị của $f'$ không phải đồ thị của $f$ .

Giá trị trên trục tung của đồ thị $f'$ là độ dốc của $f$ , không phải độ cao của $f$ . Vì vậy điểm thấp nhất của đường cong $f'$ không cho biết giá trị nhỏ nhất của $f$ .

The derivative is a function, not just a single number.

$f'(a)$ is the slope of the tangent line at $x=a$ , while $f'(x)$ gives the slope at every point where $f$ is differentiable.

Do not confuse $f'(a)$ with $f(a)$ or with the slope of a secant line.

The value $f(a)$ is the height of the graph, and the slope of a secant line is only an average rate of change.

The graph of $f'$ is not the graph of $f$ .

The $y$ -value on the graph of $f'$ is the slope of $f$ , not the height of $f$ , so the lowest point of the curve $f'$ does not give the minimum value of $f$ .

Mẹo phòng thiExam tips1 mẹo1 tip

Với đề cho đồ thị $f'$ , phải viết lập luận về dấu của $f'$ , không chỉ nêu đáp án.

Bước giải thích hay bị mất điểm ở phần tự luận. Ví dụ: " $f'$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=c$ , nên $f$ có cực tiểu tại $x=c$ ."

When given the graph of $f'$ , justify your answer with the sign of $f'$ rather than just stating a conclusion.

Free-response answers often lose points for a missing explanation. For example: " $f'$ changes sign from negative to positive at $x=c$ , so $f$ has a relative minimum at $x=c$ ."

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thế kỷ 17 (ý tưởng và phép tính); 1823 (lý thuyết chặt chẽ của Cauchy)Pierre de FermatIsaac NewtonGottfried Wilhelm LeibnizJoseph-Louis LagrangeAugustin-Louis Cauchy

Cuối thế kỷ 17, Newton và Leibniz xây dựng phép tính vi tích phân từ bài toán tiếp tuyến và cực trị; năm 1823 Cauchy đưa ra lý thuyết đạo hàm chặt chẽ.

In the late 17th century, Newton and Leibniz developed calculus from the problems of tangent lines and extreme values; in 1823, Cauchy gave a rigorous theory of the derivative.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "derivative" bắt nguồn từ cụm tiếng Pháp "fonction dérivée", nghĩa là "hàm được dẫn ra" từ hàm ban đầu. Cauchy giải thích lý do đặt tên như sau: giá trị của hàm mới chỉ phụ thuộc vào dạng của hàm $y=f(x)$ đã cho. Để nhấn mạnh sự phụ thuộc ấy, ông gọi nó là hàm dẫn xuất và kí hiệu bằng dấu phẩy trên đầu, $y'$ hoặc $f'(x)$ . Cả tên "fonction dérivée" lẫn kí hiệu $f'(x)$ đều là của Lagrange, người mà Cauchy chịu ảnh hưởng. Như vậy, năm 1823 là năm Cauchy công bố lý thuyết đạo hàm chặt chẽ chứ không phải năm Lagrange đặt ra thuật ngữ. Vì thế đạo hàm của $f$ chính là một hàm mới được dẫn ra từ $f$ , chứ không chỉ là một con số tại một điểm.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhả vi & liên tục: khi nào đạo hàm tồn tại và không tồn tạiĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhả vi & liên tục: khi nào đạo hàm tồn tại và không tồn tạiĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstgiới hạnlimit tỉ sai phândifference quotient

Dẫn tớiLeads toquy tắc dây chuyềnchain rule

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tốc độ biến thiên trung bìnhaverage rate of change

Khác nhau ở đâuHow they differĐạo hàm là tốc độ biến thiên tức thời tại một điểm, bằng hệ số góc tiếp tuyến. Tốc độ biến thiên trung bình là hệ số góc cát tuyến trên cả một khoảng.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho hai mốc thời gian và hỏi "trung bình" thì tính

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

; đề hỏi "tại thời điểm

t=a

" thì phải tính

f'(a)

nguyên hàmantiderivative

Khác nhau ở đâuHow they differĐạo hàm của

f

là hàm cho biết tốc độ biến thiên của

f

. Nguyên hàm của

f

là hàm có đạo hàm bằng

f

, nên đây là hai phép toán ngược nhau.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

f'(x)

rồi hỏi tìm

f(x)

thì cần nguyên hàm cùng điều kiện đầu, không phải lấy đạo hàm tiếp.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 5–6, 10.