AP Calculus BCAP Calculus AB

tiếp tuyếntangent line

tangent lineVietnamese: tiếp tuyến

Tiếp tuyến (tangent line) của đồ thị hàm số tại một điểm là đường thẳng đi qua điểm đó và có hệ số góc bằng đạo hàm của hàm số tại điểm ấy.The tangent line to the graph of a function at a point is the line through that point whose slope equals the derivative of the function at that point.

Trực giác: Tiếp tuyến là hướng mà chiếc xe đua sẽ lao thẳng đi nếu bánh xe bất ngờ mất bám đường đúng tại một điểm trên khúc cua.Intuition: The tangent line gives the direction a race car would shoot off in a straight line if its tires suddenly lost grip at exactly one point on a curve.

Công thức chínhKey formula

m=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tiếp tuyến là đường thẳng sát đồ thị tại một điểm và cùng hướng với đồ thị ở đó. Với $f(x)=x^2$ tại điểm $(3;9)$ , hệ số góc là $f'(3)=6$ , nên tiếp tuyến là $y-9=6(x-3)$ . Tổng quát, hệ số góc tại $x=a$ là $f'(a)$ , nếu đạo hàm này tồn tại.

Đồ thị $y=|x|$ gấp khúc tại $x=0$ . Ở đó tỉ sai phân tiến tới $-1$ từ bên trái và $1$ từ bên phải. Hai giá trị khác nhau, nên không có tiếp tuyến nào, kể cả thẳng đứng. Đạo hàm không tồn tại thì vẫn có thể có tiếp tuyến thẳng đứng. Cho $f$ liên tục tại $a$ . Nếu tỉ sai phân $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ cùng ra $+\infty$ (hoặc cùng ra $-\infty$ ) ở hai phía của $a$ , tiếp tuyến là đường thẳng đứng $x=a$ , không có hệ số góc.

A tangent line is a line that just touches a graph at a point and points in the same direction as the graph there. For $f(x)=x^2$ at the point $(3;9)$ , the slope is $f'(3)=6$ , so the tangent line is $y-9=6(x-3)$ . In general, the slope at $x=a$ is $f'(a)$ , provided this derivative exists.

The graph of $y=|x|$ has a corner at $x=0$ . There the difference quotient approaches $-1$ from the left and $1$ from the right. The two values differ, so no tangent line exists, not even a vertical one. A tangent line can still exist, however, where the derivative does not: a vertical tangent line. Suppose $f$ is continuous at $a$ . If the difference quotient $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ approaches $+\infty$ (or approaches $-\infty$ ) from both sides of $a$ , the tangent line is the vertical line $x=a$ , which has no slope.

Ký hiệuNotation

• $f'(a)$ hoặc $\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=a}$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x=a$
• $m_{PQ}$ là hệ số góc của cát tuyến $PQ$
•phương trình tiếp tuyến có dạng $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

m=\htmlClass{fp-3}{\lim_{x\to a}\htmlClass{fp-2}{\frac{\htmlClass{fp-0}{f(x)-f(a)}}{\htmlClass{fp-1}{x-a}}}}

Dùng để tính hệ số góc tiếp tuyến theo định nghĩa, hoặc ước lượng độ dốc khi chỉ có bảng giá trị.Use this to find the slope of a tangent line from the definition, or to estimate the slope when only a table of values is available.

Trong đóWhere

m

hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

a

a

hoành độ của tiếp điểm

P

x

hoành độ của điểm

Q

trên đồ thị, điểm này tiến dần về

a

f(x),\ f(a)

tung độ của đồ thị tại

x

và tại

a

\htmlClass{fp-0}{y-f(a)}=\htmlClass{fp-1}{f'(a)}\htmlClass{fp-2}{(x-a)}

Dùng để viết phương trình tiếp tuyến khi đã biết tiếp điểm $(a,f(a))$ và tính được $f'(a)$ .Use this to write the equation of the tangent line once the point of tangency $(a,f(a))$ is known and $f'(a)$ can be computed.

Trong đóWhere

(x,y)

điểm bất kỳ nằm trên tiếp tuyến

a

hoành độ của tiếp điểm

f(a)

tung độ của tiếp điểm

f'(a)

hệ số góc của tiếp tuyến tại

x=a

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Mẫu số của $y'$ bằng 0 chưa chắc cho tiếp tuyến thẳng đứng.

Điểm đó phải nằm trên đường cong và tử số phải khác 0. Nếu cả tử và mẫu cùng bằng 0 thì chưa kết luận được.

Giải $y'=0$ mới ra hoành độ $x$ , chưa ra điểm tiếp xúc.

Hãy thay $x$ vào phương trình đường cong để tìm $y$ . Một giá trị $x$ có thể cho nhiều giá trị $y$ .

A denominator of $y'$ equal to 0 does not guarantee a vertical tangent line.

The point must lie on the curve and the numerator must be nonzero. If both numerator and denominator are 0, no conclusion can be drawn yet.

Solving $y'=0$ gives only the $x$ -coordinates, not the points of tangency.

Substitute each $x$ into the equation of the curve to find $y$ . A single $x$ -value can produce more than one $y$ -value.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Tìm tiếp tuyến nằm ngang thì viết rõ "tử số bằng 0 và mẫu số khác 0".

Cách viết này loại trường hợp $0/0$ . Với tiếp tuyến thẳng đứng, viết ngược lại: mẫu số bằng 0, tử số khác 0.

Câu hỏi "có bao nhiêu điểm" thì đếm điểm $(x;y)$ , không đếm nghiệm $x$ .

Một $x$ có thể cho nhiều $y$ trên đường cong. Hãy ghi ra từng điểm.

For a horizontal tangent line, state explicitly that the numerator is 0 and the denominator is nonzero.

This rules out the $0/0$ case. For a vertical tangent line, state the reverse: the denominator is 0 and the numerator is nonzero.

When asked "how many points," count points $(x;y)$ , not solutions for $x$ .

One $x$ -value can correspond to several $y$ -values on the curve. Write out each point.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

khoảng 300 TCN (Euclid nhắc đến tiếp tuyến của đường tròn); tên gọi "tangent" được ghi nhận năm 1583EuclidApolloniusArchimedesThomas FinckeFermatRené Descartes

Hình học Hy Lạp cổ đại nghiên cứu đường thẳng chạm đường tròn; Euclid nhắc đến tiếp tuyến của đường tròn khoảng năm 300 TCN.

Ancient Greek geometry studied lines that touch a circle, and Euclid discussed tangent lines to a circle around 300 BC.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "tangent" bắt nguồn từ tiếng Latin tangens, nghĩa là "đang chạm". Đây là phân từ hiện tại (present participle) của động từ tangere, nghĩa là "chạm vào". Gốc xa hơn nữa là gốc Ấn-Âu nguyên thủy *tag-, nghĩa là "chạm, cầm nắm", cũng là gốc của các từ như tactile (thuộc xúc giác) và contact (tiếp xúc). Vì vậy, tên gọi này mô tả đúng hình ảnh hình học ban đầu: một đường thẳng chạm vào đường cong tại một điểm mà không cắt qua nó. Nhà toán học Đan Mạch Thomas Fincke được ghi nhận là người dùng từ này trong tác phẩm Geomietria Rotundi năm 1583. Sau đó, nghĩa hình học "đường thẳng chạm đường cong" được ghi nhận bằng tiếng Anh từ thập niên 1590. Tuy nhiên, "tangent" còn là tên của hàm tang (tangent function) trong lượng giác, và hai nghĩa này có chung một tên vì cùng xuất phát từ đường tròn đơn vị (unit circle). Nếu kẻ một tiếp tuyến với đường tròn đơn vị, thì độ dài đoạn tiếp tuyến bị tia góc $\theta$ cắt ra chính là giá trị $\tan\theta$ . Do đó, cùng một chữ "chạm" vừa chỉ đường thẳng, vừa chỉ hàm số. Trong giải tích, người ta nhìn tiếp tuyến như vị trí giới hạn của các cát tuyến (secant line), nhờ đó ý niệm "chạm" của người Hy Lạp được chuyển thành công cụ tính toán chính xác.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo B về phía A — cát tuyến xoay thành tiếp tuyến

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ giá trị hàm bằng tính tuyến tính địa phương và tuyến tính hóaỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ giá trị hàm bằng tính tuyến tính địa phương và tuyến tính hóaỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthệ số gócslope cát tuyếnsecant line

Dẫn tớiLeads toxấp xỉ tuyến tínhlinear approximation phương pháp EulerEuler’s method

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

cát tuyếnsecant line

Khác nhau ở đâuHow they differTiếp tuyến chỉ chạm đồ thị tại một điểm và có hệ số góc bằng đạo hàm. Cát tuyến cắt đồ thị tại hai điểm và có hệ số góc là tốc độ biến thiên trung bình.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho hai điểm trên đồ thị rồi hỏi hệ số góc: đó là cát tuyến (tốc độ biến thiên trung bình), không phải đạo hàm; chỉ khi cho một điểm và hỏi tức thời mới là tiếp tuyến.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 34–36.