AP Calculus BCAP Calculus AB

tỉ sai phândifference quotient

difference quotientVietnamese: tỉ sai phân

Tỉ sai phân (difference quotient) là thương của độ tăng của hàm cho độ tăng của biến, cho biết tốc độ biến thiên trung bình và độ dốc cát tuyến.The difference quotient is the change in a function's output divided by the change in its input. It gives the average rate of change and the slope of a secant line.

Trực giác: Giống tốc độ trung bình của chuyến xe: quãng đường chia thời gian, không phải số chỉ đồng hồ tốc độ ở một lúc.Intuition: It works like the average speed of a car trip: distance divided by time, not the reading on the speedometer at one moment.

Công thức chínhKey formula

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Cho hàm số $f$ , điểm $a$ và số $h\neq 0$ . Tỉ sai phân cho biết $f$ thay đổi trung bình bao nhiêu trên mỗi đơn vị của $x$ , khi đi từ $a$ đến $a+h$ . Đó cũng là hệ số góc của cát tuyến, tức đường thẳng qua hai điểm trên đồ thị.

Với $f(x)=x^2$ , $a=3$ , $h=0{,}1$ ta có $\dfrac{f(3{,}1)-f(3)}{0{,}1}=\dfrac{9{,}61-9}{0{,}1}=6{,}1$ . Số này chỉ gần đạo hàm $f'(3)=6$ . Đạo hàm $f'(a)$ là giá trị mà tỉ sai phân tiến tới khi $h$ càng gần $0$ . Đặt $x=a+h$ ta được dạng tương đương $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .

For a function $f$ , a point $a$ , and a number $h\neq 0$ , the difference quotient gives the average change in $f$ per unit of $x$ as $x$ goes from $a$ to $a+h$ . It is also the slope of the secant line, the line through two points on the graph.

For $f(x)=x^2$ , $a=3$ , and $h=0.1$ , we get $\dfrac{f(3.1)-f(3)}{0.1}=\dfrac{9.61-9}{0.1}=6.1$ . This value is only close to the derivative $f'(3)=6$ . The derivative $f'(a)$ is the value the difference quotient approaches as $h$ gets closer to $0$ . Setting $x=a+h$ gives the equivalent form $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .

Ký hiệuNotation

• $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ hoặc $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
• $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-3}{\dfrac{\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{f(a+h)}-\htmlClass{fp-1}{f(a)}}}{h}}

Dùng để tính tốc độ thay đổi trung bình trên $[a,a+h]$ , hoặc khi đề yêu cầu rút gọn tỉ sai phân.Use it to find the average rate of change over $[a,a+h]$ , or when a problem asks you to simplify the difference quotient.

Trong đóWhere

f

hàm số đang xét

a

điểm cố định trên trục hoành, nơi ta bắt đầu so sánh

h

độ dịch chuyển của

x

kể từ

a

, với

h\neq 0

\htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{f(x)-f(a)}}{\htmlClass{fp-1}{x-a}}}

Dùng khi định nghĩa đạo hàm bằng $\lim_{x\to a}$ , tức cho $x$ tiến tới $a$ thay vì cho $h$ tiến tới $0$ .Use it when defining the derivative with $\lim_{x\to a}$ , that is, letting $x$ approach $a$ rather than letting $h$ approach $0$ .

Trong đóWhere

x

điểm thứ hai trên trục hoành, với

x\neq a

a

điểm cố định dùng làm mốc so sánh

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Tỉ sai phân nói chung không bằng đạo hàm, chỉ xấp xỉ nó.

Tỉ sai phân ứng với một $h\neq 0$ cụ thể, còn đạo hàm là giới hạn khi $h$ gần $0$ . Từ một bảng số, ta chỉ ước lượng được tốc độ thay đổi tức thời.

Ước lượng đạo hàm từ bảng thì chọn hai giá trị $x$ gần nhất ở hai bên điểm cần tính.

Khoảng càng hẹp thì tỉ sai phân thường càng gần đạo hàm. Lấy hai đầu của cả bảng chỉ cho xấp xỉ thô, thường không được điểm.

Mẫu là hiệu hai giá trị $x$ , trừ cùng thứ tự với tử.

Với hàm $g$ và hai giá trị $a$ , $b$ : tử $g(b)-g(a)$ thì mẫu phải là $b-a$ . Viết $a-b$ làm kết quả đổi dấu. Đừng chia cho một giá trị $x$ riêng lẻ.

A difference quotient is generally not equal to the derivative; it only approximates it.

A difference quotient uses one specific $h\neq 0$ , while the derivative is the limit as $h$ approaches $0$ . From a table of values, you can only estimate the instantaneous rate of change.

To estimate a derivative from a table, use the two closest $x$ -values on either side of the point.

The narrower the interval, the closer the difference quotient usually is to the derivative. Using the two endpoints of the whole table gives only a rough estimate and usually earns no credit.

The denominator must be the difference of the two $x$ -values, subtracted in the same order as in the numerator.

For a function $g$ and values $a$ and $b$ , a numerator of $g(b)-g(a)$ requires a denominator of $b-a$ . Writing $a-b$ flips the sign of the result. Never divide by a single $x$ -value.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Đề chỉ yêu cầu viết tỉ sai phân thì viết biểu thức với số cụ thể rồi dừng.

Ví dụ $\dfrac{g(5)-g(2)}{5-2}$ , với $g$ cho bằng bảng. Tính tiếp thường không thêm điểm, mà sai số học có thể làm mất điểm.

Đề hỏi ý nghĩa của tỉ sai phân thì ghi đơn vị là đơn vị của $g$ trên đơn vị của $x$ .

Viết cả câu: tốc độ thay đổi trung bình của $g$ trên khoảng đó, kèm đơn vị. Khoảng nhỏ thì nói thêm là xấp xỉ $g'$ tại điểm đang xét.

If the question asks only for the difference quotient, write the expression with the specific numbers and stop.

For example, $\dfrac{g(5)-g(2)}{5-2}$ , where $g$ is given by a table. Further computation usually earns no extra points, and an arithmetic error can cost you points.

If the question asks what the difference quotient means, state that its units are the units of $g$ per unit of $x$ .

Write a full sentence: the average rate of change of $g$ over that interval, with units. If the interval is small, also say that it approximates $g'$ at the point in question.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Isaac NewtonPierre de FermatGottfried Wilhelm Leibniz

Tỉ sai phân bắt nguồn từ công thức độ dốc "rise/run" của đại số, được mở rộng cho đồ thị hàm số để đo độ dốc của đường cát tuyến.

The difference quotient comes from the "rise over run" slope formula of algebra, extended to the graph of a function to measure the slope of a secant line.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên "tỉ sai phân" mô tả đúng cấu trúc của biểu thức $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Tử số là hiệu (sai) của hai giá trị hàm, mẫu số là hiệu của hai giá trị biến, và cả biểu thức là thương (tỉ) của hai hiệu ấy. Cách đọc này khớp với nguồn gốc của nó, vì đây vốn là công thức "rise/run" của đại số. Trong một số tài liệu, khái niệm này còn được gọi là thương Newton (Newton quotient) theo Isaac Newton, hoặc tỉ sai phân Fermat (Fermat's difference quotient) theo Pierre de Fermat. Hai tên gọi này ghi nhận vai trò của hai nhà toán học trong buổi đầu của giải tích. Ngoài ra, trên một khoảng $[a,b]$ , tỉ sai phân còn được gọi là giá trị trung bình của đạo hàm, và cách gọi này được biện minh bởi định lý giá trị trung bình (mean value theorem).

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn giải tích: biến thiên có xảy ra tại một khoảnh khắc?Giới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn giải tích: biến thiên có xảy ra tại một khoảnh khắc?Giới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction

Dẫn tớiLeads tođạo hàmderivative

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

đạo hàmderivative

Khác nhau ở đâuHow they differTỉ sai phân là một thương số tính được với

h\neq 0

, ứng với hai điểm cách nhau

h

. Đạo hàm là giới hạn của thương số ấy khi

h\to 0

, ứng với một điểm duy nhất.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

mà chưa có dấu

\lim_{h\to 0}

thì mới là tỉ sai phân, chưa phải đạo hàm; thí sinh hay quên bước lấy giới hạn.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 31, 53, 102.