AP Calculus BCAP Calculus AB

vận tốc trung bìnhaverage velocity

average velocityVietnamese: vận tốc trung bình

Vận tốc trung bình (average velocity) là độ dời của vật chia cho thời gian đã trôi qua, cũng là hệ số góc của đường thẳng nối hai điểm trên đồ thị vị trí.Average velocity is an object's displacement divided by the elapsed time; it is also the slope of the line joining two points on a position graph.

Trực giác: Xe đi Hà Nội – Vinh mất 5 giờ: lấy hiệu hai vị trí chia 5 giờ, bỏ qua lúc chạy nhanh hay dừng đổ xăng.Intuition: A car takes 5 hours to drive from Hanoi to Vinh. Take the difference between the two positions and divide by 5 hours, ignoring any fast stretches or stops for gas.

Công thức chínhKey formula

v_{ave}=\dfrac{s(t)-s(a)}{t-a}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Vận tốc trung bình (average velocity) cho biết trung bình mỗi đơn vị thời gian, vị trí của vật đổi bao nhiêu. Ta lấy vị trí cuối trừ vị trí đầu, rồi chia cho độ dài khoảng thời gian. Ví dụ: $s(t)=t^2$ (mét) là vị trí sau $t$ giây. Từ giây $1$ đến giây $3$ , vận tốc trung bình là $\dfrac{9-1}{3-1}=4$ m/s.

Điểm dễ nhầm: tử số là độ dời, không phải quãng đường. Đi tới rồi quay về chỗ cũ thì độ dời và vận tốc trung bình đều bằng $0$ . Dấu âm nghĩa là vị trí giảm. Khoảng thời gian càng ngắn thì giá trị này càng gần vận tốc tức thời, tức đạo hàm. Trong công thức dưới đây, $s$ (hay $f$ ) là hàm vị trí, $a$ là thời điểm đầu, $h=t-a$ là độ dài khoảng thời gian.

Average velocity tells you how much an object's position changes, on average, per unit of time. Subtract the initial position from the final position, then divide by the length of the time interval. For example, let $s(t)=t^2$ (in meters) be the position after $t$ seconds. From $t=1$ to $t=3$ seconds, the average velocity is $\dfrac{9-1}{3-1}=4$ m/s.

The numerator is displacement, not distance traveled, which is easy to mix up. If an object goes out and returns to its starting point, its displacement and average velocity are both $0$ . A negative value means the position decreased. As the time interval gets shorter, the average velocity approaches the instantaneous velocity, which is the derivative. In the formulas below, $s$ (or $f$ ) is the position function, $a$ is the starting time, and $h=t-a$ is the length of the time interval.

Ký hiệuNotation

• $v_{\text{ave}}=\dfrac{s(b)-s(a)}{b-a}$ hoặc $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$
•dạng với $h$ : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Đơn vịUnitsĐơn vị độ dài chia đơn vị thời gian, ví dụ m/s, ft/s, km/h

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

v_{ave}=\htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{s(t)-s(a)}}{\htmlClass{fp-1}{t-a}}}

Dùng khi đề cho hàm vị trí $s(t)$ và hỏi vận tốc trung bình trên một khoảng; chỉ cần vị trí ở hai đầu khoảng.Use this when you are given the position function $s(t)$ and asked for the average velocity over an interval; you need only the positions at the two endpoints.

Trong đóWhere

v_{ave}

vận tốc trung bình trên khoảng thời gian từ

a

đến

t

— m/s (hoặc ft/s)

s(t)

vị trí của vật tại thời điểm

t

— m (hoặc ft)

a

thời điểm bắt đầu của khoảng thời gian — s

t

thời điểm kết thúc của khoảng thời gian — s

v_{ave}=\htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{f(a+h)-f(a)}}{\htmlClass{fp-1}{h}}}

Cùng công thức nhưng viết theo bước nhảy $h$ từ $a$ ; tiện khi cho $h\to 0$ để sang vận tốc tức thời và đạo hàm.This is the same formula written with a step $h$ from $a$ ; it is convenient when you let $h\to 0$ to get the instantaneous velocity and the derivative.

Trong đóWhere

f(a)

hàm vị trí của vật tại thời điểm

a

— m (hoặc ft)

h

độ dài khoảng thời gian bắt đầu từ

a

(có thể âm nếu khoảng nằm trước

a

) — s

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Nói chung, vận tốc trung bình không bằng trung bình cộng của hai vận tốc ở đầu mút.

Gọi $v(t)$ là vận tốc tại thời điểm $t$ . Với $v(t)=2-t^2$ trên $[1,3]$ , trung bình hai đầu là $\dfrac{1+(-7)}{2}=-3$ , còn đáp số đúng là $-\dfrac{7}{3}$ . Cách này đúng khi $v(t)$ là hàm bậc nhất (gia tốc không đổi), còn nói chung thì không đúng.

Tích phân của $v(t)$ chưa phải vận tốc trung bình.

Phải chia thêm cho độ dài khoảng thời gian. Tích phân chỉ cho độ dời. Với $v(t)=2-t^2$ trên $[1,3]$ , tích phân bằng $-\dfrac{14}{3}$ . Chia cho $3-1=2$ mới ra $-\dfrac{7}{3}$ .

Đề cho hàm vị trí thì lấy hiệu vị trí chia hiệu thời gian, đừng lấy đạo hàm.

Với $x(t)=-5t^2$ trên $[0,3]$ , $\dfrac{-45-0}{3}=-15$ là vận tốc trung bình. Còn $x'(3)=-30$ là vận tốc tức thời tại $t=3$ .

In general, average velocity is not the average of the velocities at the two endpoints.

Let $v(t)$ be the velocity at time $t$ . For $v(t)=2-t^2$ on $[1,3]$ , the endpoint average is $\dfrac{1+(-7)}{2}=-3$ , but the correct answer is $-\dfrac{7}{3}$ . The shortcut works only when $v(t)$ is linear (constant acceleration).

The integral of $v(t)$ is not yet the average velocity.

You must also divide by the length of the time interval. The integral alone gives displacement. For $v(t)=2-t^2$ on $[1,3]$ , the integral is $-\dfrac{14}{3}$ , and dividing by $3-1=2$ gives $-\dfrac{7}{3}$ .

When given a position function, divide the change in position by the change in time instead of taking the derivative.

For $x(t)=-5t^2$ on $[0,3]$ , $\dfrac{-45-0}{3}=-15$ is the average velocity. By contrast, $x'(3)=-30$ is the instantaneous velocity at $t=3$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi đề cho $v(t)$ trên $[a,b]$ , hãy viết $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt$ trước khi tính.

Giám khảo chấm biểu thức này, nên đáp số trơ trọi có thể mất điểm. Kết quả làm tròn đến ba chữ số thập phân, kèm đơn vị nếu đề có.

Ở phần không được dùng máy tính, hãy thử nhận ra nguyên hàm của $v(t)$ trước.

Với $v(t)=e^t+te^t$ trên $[0,3]$ , $v(t)$ là đạo hàm của $te^t$ . Nên tích phân bằng $3e^3$ . Chia cho $3$ được vận tốc trung bình $e^3$ .

When given $v(t)$ on $[a,b]$ , write $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt$ before computing.

Graders score this expression, so a bare final answer may lose points. Round to three decimal places and include units if the problem gives them.

On a no-calculator section, first try to recognize an antiderivative of $v(t)$ .

For $v(t)=e^t+te^t$ on $[0,3]$ , $v(t)$ is the derivative of $te^t$ . So the integral equals $3e^3$ , and dividing by $3$ gives an average velocity of $e^3$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

đầu thế kỷ 14Thomas BradwardineWilliam HeytesburyRichard SwinesheadJohn DumbletonNicholas Oresme

Đầu thế kỷ 14, các học giả ở Merton College, Oxford, nghiên cứu chuyển động không đều và phát biểu định lý vận tốc trung bình Merton.

In the early 14th century, scholars at Merton College, Oxford, studied nonuniform motion and stated the Merton mean speed theorem.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuyển động thẳng: vị trí, vận tốc & gia tốcỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn giải tích: biến thiên có xảy ra tại một khoảnh khắc?Giới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuyển động thẳng: vị trí, vận tốc & gia tốcỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn giải tích: biến thiên có xảy ra tại một khoảnh khắc?Giới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Dẫn tớiLeads tovận tốc tức thờiinstantaneous velocity

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

vận tốc tức thờiinstantaneous velocity

Khác nhau ở đâuHow they differVận tốc trung bình đo độ dời chia cho cả một khoảng thời gian. Vận tốc tức thời là giá trị

s'(t)

tại đúng một thời điểm.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho hai mốc thời gian như

[1,3]

và hỏi "average velocity" thì tính

\dfrac{s(3)-s(1)}{3-1}

, không lấy đạo hàm.

tốc độspeed

Khác nhau ở đâuHow they differVận tốc trung bình có dấu và dựa trên độ dời, nên có thể bằng 0 khi vật quay về chỗ cũ. Tốc độ trung bình dựa trên tổng quãng đường nên không bao giờ âm.

Hay nhầm khiMixed up whenVật đi tới rồi quay lại trong khoảng thời gian đề cho: độ dời và quãng đường khác nhau, nên hai đáp số cũng khác nhau.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 36, 175, 181.