DucklingStudyDucklingStudy
Đăng nhậpSign in

AP Calculus BCAP Calculus AB

tốc độ biến thiên trung bìnhaverage rate of change

average rate of changeVietnamese: tốc độ biến thiên trung bình

Tốc độ biến thiên trung bình (average rate of change) của hàm số trên một đoạn là độ thay đổi của giá trị hàm số chia cho độ dài đoạn đó.The average rate of change of a function on an interval is the change in the function's value divided by the length of the interval.

Trực giác: Như chuyến xe từ A đến B: lấy độ dời vị trí chia thời gian đi, không quan tâm giữa đường xe chạy nhanh hay chậm.Intuition: Think of a trip from A to B: you divide the change in position by the travel time, ignoring whether the car was going fast or slow along the way.

Công thức chínhKey formula

ΔyΔx=f(b)−f(a)b−a\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Với hàm y=f(x)y=f(x) trên đoạn [a,b][a,b], tốc độ biến thiên trung bình cho biết: trung bình, cứ tăng 11 đơn vị của xx thì yy đổi bao nhiêu đơn vị. Với f(x)=x2f(x)=x^2 trên [1,3][1,3], kết quả là 9−13−1=4\dfrac{9-1}{3-1}=4. Về hình học, đó là hệ số góc của đường thẳng nối hai điểm (a,f(a))(a,f(a)) và (b,f(b))(b,f(b)) trên đồ thị (cát tuyến).

Nó chỉ dùng giá trị ở hai đầu đoạn, nên không thấy diễn biến ở giữa. Hàm tăng rồi giảm vẫn có thể cho kết quả 00. Đơn vị là đơn vị của yy trên đơn vị của xx. Đặt b=a+hb=a+h rồi cho h→0h\to 0 thì được đạo hàm tại aa.

For a function y=f(x)y=f(x) on the interval [a,b][a,b], the average rate of change tells you how much yy changes, on average, for each 1-unit increase in xx. For f(x)=x2f(x)=x^2 on [1,3][1,3], it equals 9−13−1=4\dfrac{9-1}{3-1}=4. Geometrically, it is the slope of the line through the points (a,f(a))(a,f(a)) and (b,f(b))(b,f(b)) on the graph, called the secant line.

Because it uses only the values at the two endpoints, it reveals nothing about what happens in between. A function that increases and then decreases can still have an average rate of change of 00. Its units are the units of yy per unit of xx. Setting b=a+hb=a+h and letting h→0h\to 0 gives the derivative at aa.

Ký hiệuNotationf(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}, ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}, f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
Đơn vịUnitsĐơn vị của đại lượng đầu ra trên đơn vị của biến đầu vào, ví dụ mét/giây hoặc tỉ đô la/năm.
Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas
ΔyΔx=f(b)−f(a)b−a\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{f(b)-f(a)}}{\htmlClass{fp-1}{b-a}}}

Dùng khi cần độ thay đổi trung bình của hàm trên cả đoạn [a,b][a,b], thường tính từ hai dòng của bảng số liệu.Use this when you need the average change of a function over the whole interval [a,b][a,b], often computed from two rows of a table of values.

Trong đóWhere

ffhàm số đang xét, với y=f(x)y=f(x)aađầu mút trái của khoảngbbđầu mút phải của khoảng, với b≠ab\neq aΔy\Delta yđộ biến thiên của giá trị hàm số, bằng f(b)−f(a)f(b)-f(a) — đơn vị của yyΔx\Delta xđộ biến thiên của biến số, bằng b−ab-a — đơn vị của xx
f(a+h)−f(a)h\htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{f(a+h)-f(a)}}{\htmlClass{fp-1}{h}}}

Dùng khi đặt b=a+hb=a+h để cho h→0h\to 0 và chuyển sang đạo hàm tại x=ax=a.Use this when you set b=a+hb=a+h and let h→0h\to 0 to move from the average rate of change to the derivative at x=ax=a.

Trong đóWhere

ffhàm số đang xétaađiểm bắt đầu của khoảnghhbề rộng của khoảng, với h≠0h\neq 0 (hh âm nghĩa là khoảng nằm bên trái aa) — đơn vị của xx
Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Không phải trung bình cộng của hai đạo hàm ở hai đầu mút.

Đại lượng này là hệ số góc cát tuyến. Chỉ cần f(a)f(a) và f(b)f(b), không cần f′(a)f'(a) hay f′(b)f'(b).

Tốc độ trung bình nói chung khác tốc độ tức thời.

Tốc độ tức thời là hệ số góc tiếp tuyến tại một điểm. Hai giá trị bằng nhau tại điểm có tiếp tuyến song song cát tuyến. Có thể có nhiều điểm như vậy.

Tử và mẫu phải trừ cùng thứ tự.

Nếu tử là f(b)−f(a)f(b)-f(a) thì mẫu là b−ab-a, không phải a−ba-b. Làm ngược lại thì kết quả đổi dấu, dễ kết luận hàm giảm trong khi nó đang tăng.

The average rate of change is not the average of the derivatives at the two endpoints.

It is the slope of the secant line, so it needs only f(a)f(a) and f(b)f(b), not f′(a)f'(a) or f′(b)f'(b).

The average rate of change is generally not equal to the instantaneous rate of change.

The instantaneous rate is the slope of the tangent line at a single point. The two are equal only at a point where the tangent line is parallel to the secant line, and there may be more than one such point.

The numerator and denominator must be subtracted in the same order.

If the numerator is f(b)−f(a)f(b)-f(a), the denominator is b−ab-a, not a−ba-b. Reversing one of them flips the sign, which can lead you to conclude a function is decreasing when it is actually increasing.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết biểu thức f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} với số cụ thể trước khi tính.

Bài chấm điểm bước thiết lập này. Chỉ ghi đáp số mà đáp số sai thì thường không được điểm. Với bảng số liệu, lấy đúng hai giá trị ở hai đầu đoạn đề cho.

Muốn nói tốc độ tức thời bằng tốc độ trung bình tại một điểm, hãy nêu điều kiện.

Hàm phải liên tục trên [a,b][a,b] và có đạo hàm trên (a,b)(a,b). Sau đó nói tiếp tuyến tại điểm đó song song với cát tuyến.

Write the expression f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} with the specific numbers substituted before you calculate.

Graders award credit for this setup, and a wrong answer with no work usually earns no points. With a table of values, use the two entries at the endpoints of the given interval.

To claim the instantaneous rate equals the average rate at some point, state the conditions first.

The function must be continuous on [a,b][a,b] and differentiable on (a,b)(a,b). Then say that the tangent line at that point is parallel to the secant line.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common
Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common
Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Isaac NewtonIsaac BarrowAbu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni

Chuyển từ tốc độ trung bình sang tức thời là điểm khởi đầu của giải tích vi phân; Newton là nhân vật then chốt.
The shift from average to instantaneous rates of change was the starting point of differential calculus, and Newton was a key figure in it.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trong các bài toán ứng dụng ngoài chuyển độngỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung bình (MVT)Ứng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trong các bài toán ứng dụng ngoài chuyển độngỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung bình (MVT)Ứng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB
Cần trướcLearn firsttỉ sai phândifference quotienthệ số gócslope
Dẫn tớiLeads tođịnh lý giá trị trung bìnhmean value theoremvận tốc trung bìnhaverage velocity
Liên quanRelatedcát tuyếnsecant linetốc độ biến thiên tức thờiinstantaneous rate of change
Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

tốc độ biến thiên tức thờiinstantaneous rate of change
Khác nhau ở đâuHow they differTốc độ biến thiên trung bình đo mức thay đổi trên cả một đoạn, bằng hệ số góc cát tuyến. Tốc độ biến thiên tức thời đo tại một điểm, bằng f′(a)f'(a) và là hệ số góc tiếp tuyến.
Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho bảng giá trị rời rạc rồi hỏi "trên khoảng [2,5][2,5]" thì phải tính trung bình bằng f(5)−f(2)5−2\dfrac{f(5)-f(2)}{5-2}; chỉ khi hỏi "tại t=3t=3" mới dùng đạo hàm.
giá trị trung bình của hàm sốaverage value of a function
Khác nhau ở đâuHow they differTốc độ biến thiên trung bình của ff trên [a,b][a,b] là f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}, tức trung bình của f′f'. Giá trị trung bình của hàm số là 1b−a∫abf(x) dx\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx, tức trung bình của chính ff.
Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho f′(t)f'(t) là tốc độ thay đổi rồi hỏi "tốc độ trung bình" hay "giá trị trung bình" dễ làm học sinh lấy nhầm tích phân của ff thay vì của f′f'.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

  1. [1]Stewart. tr. 177, 179, 181.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy.Written by DucklingStudy. © DucklingStudy. Xuất bảnPublished .