DucklingStudyDucklingStudy
Đăng nhậpSign in

AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số nghịch biếndecreasing function

decreasing functionVietnamese: hàm số nghịch biến

Hàm số nghịch biến (decreasing function) là hàm có giá trị giảm khi x tăng trên một khoảng, tức đồ thị đi xuống từ trái sang phải.A decreasing function is a function whose values fall as x increases over an interval, so its graph slopes downward from left to right.

Trực giác: Giống như bước xuống một con dốc từ trái sang phải: càng đi xa về phía trước thì độ cao càng thấp.Intuition: Think of walking down a slope from left to right: the farther forward you go, the lower your height.

Công thức chínhKey formula

∀x1,x2∈I,  x1<x2⇒f(x1)>f(x2)\forall x_1,x_2\in I,\; x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)
Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số nghịch biến trên một khoảng khi xx càng lớn thì f(x)f(x) càng nhỏ. Đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Cụ thể, với khoảng II, mọi x1<x2x_1<x_2 thuộc II đều có f(x1)>f(x2)f(x_1)>f(x_2). Ví dụ f(x)=−x3f(x)=-x^3 có f(1)=−1>f(2)=−8f(1)=-1>f(2)=-8. Nếu chỉ đòi f(x1)≥f(x2)f(x_1)\ge f(x_2) thì đó là nghĩa rộng; THPT thường dùng nghĩa chặt ở trên.

Nếu đạo hàm f′(x)<0f'(x)<0 với mọi x∈Ix\in I thì ff nghịch biến trên II. Chiều ngược lại chỉ cho f′(x)≤0f'(x)\le 0: hàm −x3-x^3 nghịch biến trên R\mathbb R dù f′(0)=0f'(0)=0.

A decreasing function on an interval is one for which larger values of xx give smaller values of f(x)f(x). Its graph goes downward from left to right.

Formally, on an interval II, ff is decreasing if f(x1)>f(x2)f(x_1)>f(x_2) for every pair x1<x2x_1<x_2 in II. For example, f(x)=−x3f(x)=-x^3 has f(1)=−1>f(2)=−8f(1)=-1>f(2)=-8. Requiring only f(x1)≥f(x2)f(x_1)\ge f(x_2) gives the weaker (non-strict) sense; high school courses usually use the strict sense above.

If the derivative satisfies f′(x)<0f'(x)<0 for all x∈Ix\in I, then ff is decreasing on II. The converse holds only in the form f′(x)≤0f'(x)\le 0: the function −x3-x^3 is decreasing on R\mathbb R even though f′(0)=0f'(0)=0.

Ký hiệuNotation
  • •f′(x)<0f'(x) < 0 trên II thì ff nghịch biến trên II
  • •khoảng viết (a,b)(a, b) hoặc [a,b][a, b]
  • •trong bảng biến thiên, hàm nghịch biến được ký hiệu bằng mũi tên đi xuống.
Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas
∀x1,x2∈I,  x1<x2⇒f(x1)>f(x2)\htmlClass{fp-0}{\forall x_1,x_2\in I},\; \htmlClass{fp-1}{x_1<x_2} \Rightarrow \htmlClass{fp-2}{f(x_1)>f(x_2)}

Dùng khi chứng minh trực tiếp từ định nghĩa, nhất là khi hàm không có đạo hàm hoặc đề cho bảng số.Use this to prove a function is decreasing directly from the definition, especially when the function has no derivative or the problem gives a table of values.

Trong đóWhere

IIkhoảng (hoặc đoạn) đang xétx1, x2x_1,\,x_2hai số bất kỳ thuộc II, với x1x_1 nằm bên trái x2x_2f(x1), f(x2)f(x_1),\,f(x_2)giá trị của hàm số tại hai điểm đó
f′(x)<0, ∀x∈(a,b) ⟹ f decreasing on (a,b)\htmlClass{fp-0}{f'(x)<0},\ \htmlClass{fp-1}{\forall x\in(a,b)}\ \Longrightarrow\ \htmlClass{fp-2}{f\text{ decreasing on }(a,b)}

Dùng khi đề cho f′f' dưới dạng công thức, đồ thị hoặc bảng xét dấu và hỏi khoảng nghịch biến: giải f′(x)<0f'(x)<0 rồi kết luận.Use this when f′f' is given as a formula, a graph, or a sign chart and the question asks for the intervals where ff is decreasing: solve f′(x)<0f'(x)<0, then state the conclusion.

Trong đóWhere

f′(x)f'(x)đạo hàm của ff tại xx(a,b)(a,b)khoảng đang xét
Hay hiểu saiCommon misconceptions1 ý · 1 phút đọc1 point · 1 min read

Hàm nghịch biến không có nghĩa là giá trị của hàm âm.

Nghịch biến nói về hướng đi xuống của đồ thị. Ví dụ f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} trên [1,∞)[1,\infty) luôn dương nhưng nghịch biến, vì f′(x)=−1x2<0f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0. Dấu của ff và dấu của f′f' là hai chuyện khác nhau.

A decreasing function does not necessarily have negative values.

"Decreasing" describes the downward direction of the graph, not the sign of ff. For example, f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} on [1,∞)[1,\infty) is always positive yet decreasing, because f′(x)=−1x2<0f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0. The sign of ff and the sign of f′f' are separate matters.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi chứng minh hàm nghịch biến, phải nêu rõ khoảng và dấu của f′f' trên cả khoảng.

Lập luận chuẩn: "f′(x)<0f'(x)<0 trên (a,b)(a,b) nên ff nghịch biến trên (a,b)(a,b)". Chỉ xét một điểm là chưa đủ.

Đừng ghép hai khoảng rời nhau thành một khoảng nghịch biến.

Hàm f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} nghịch biến trên (−∞,0)(-\infty,0) và trên (0,+∞)(0,+\infty). Nhưng f(−1)=−1<f(1)=1f(-1)=-1<f(1)=1, nên không nghịch biến trên cả hai khoảng gộp lại.

State the interval and the sign of f′f' on the whole interval when proving a function is decreasing.

The standard argument is: "f′(x)<0f'(x)<0 on (a,b)(a,b), so ff is decreasing on (a,b)(a,b)." Checking a single point is not enough.

Do not combine two disjoint intervals into one interval of decrease.

The function f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} is decreasing on (−∞,0)(-\infty,0) and on (0,+∞)(0,+\infty) separately. However, f(−1)=−1<f(1)=1f(-1)=-1<f(1)=1, so it is not decreasing on their union.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common
Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhoảng đồng biến & nghịch biến của hàm sốỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung bình (MVT)Ứng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhoảng đồng biến & nghịch biến của hàm sốỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung bình (MVT)Ứng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB
Cần trướcLearn firsthàm sốfunctionđạo hàmderivative
Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn đạo hàm cấp mộtfirst derivative testcực trịlocal extremum
Liên quanRelatedhàm số đồng biếnincreasing functionhệ số gócslope
Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

hàm số đồng biếnincreasing function
Khác nhau ở đâuHow they differHàm số nghịch biến có f(x)f(x) giảm khi xx tăng, ứng với f′(x)<0f'(x)<0. Hàm số đồng biến có f(x)f(x) tăng khi xx tăng, ứng với f′(x)>0f'(x)>0.
Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho đồ thị của f′f' rồi hỏi ff nghịch biến ở đâu: phải nhìn f′f' nằm dưới trục hoành, không phải nhìn f′f' đang đi xuống.
lõm xuốngconcave down
Khác nhau ở đâuHow they differHàm số nghịch biến nói về chiều biến thiên của ff, tức dấu của f′f'. Đồ thị lõm xuống nói về độ cong, tức dấu của f′′f''.
Hay nhầm khiMixed up whenMột hàm có thể nghịch biến mà vẫn lõm lên, chẳng hạn f(x)=e−xf(x)=e^{-x}, nên đừng suy ra tính lõm từ chiều biến thiên.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

  1. [1]Stewart. tr. 50, 101, 368.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy.Written by DucklingStudy. © DucklingStudy. Xuất bảnPublished .