AP Calculus BCAP Calculus AB

điểm tới hạn của hàm sốcritical point

critical pointVietnamese: điểm tới hạn của hàm số

Còn gọi:Also called: critical number

Điểm tới hạn của hàm số (critical point) là điểm trong miền xác định mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại, nơi có thể có cực trị.A critical point of a function is a point in its domain where the derivative equals zero or does not exist, and where a local extremum may occur.

Trực giác: Như những chỗ trên đường leo núi mà dốc phẳng lại hoặc gấp khúc đột ngột: có thể là đỉnh, là đáy, hoặc chỉ là chỗ dừng chân.Intuition: Picture the spots on a mountain trail where the slope levels off or changes abruptly. Each one could be a peak, a valley, or just a place to rest.

Công thức chínhKey formula

f'(c)=0\ \text{or}\ f'(c)\ \text{DNE},\quad c\in D_f

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Điểm tới hạn (critical point) là điểm trong miền xác định của hàm số $f$ mà tại đó tiếp tuyến nằm ngang hoặc đạo hàm không tồn tại. Theo định lý Fermat, cực trị nằm bên trong miền xác định chỉ có thể xảy ra tại điểm tới hạn. Hoành độ $c$ của điểm đó gọi là số tới hạn.

Chiều ngược lại không đúng: $f(x)=x^3$ có $f'(0)=0$ nhưng không có cực trị tại $0$ . Điểm đó cũng phải thuộc miền xác định: $f(x)=\dfrac{1}{x}$ không có đạo hàm tại $0$ , nhưng $0$ không thuộc miền xác định nên không là điểm tới hạn.

A critical point of a function $f$ is a point in the domain of $f$ where the tangent line is horizontal or the derivative does not exist. By Fermat's theorem, an extremum in the interior of the domain can occur only at a critical point. The $x$ -coordinate $c$ of such a point is called a critical number.

The converse is false: $f(x)=x^3$ has $f'(0)=0$ , but it has no extremum at $0$ . The point must also lie in the domain: $f(x)=\dfrac{1}{x}$ has no derivative at $0$ , but $0$ is not in the domain, so it is not a critical point.

Ký hiệuNotation

• $f'(c)=0$ hoặc $f'(c)$ không tồn tại (does not exist, viết tắt DNE)
•điểm tương ứng trên đồ thị là $(c,\,f(c))$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{f'(c)=0}\ \htmlClass{fp-1}{\text{or}\ f'(c)\ \text{DNE}},\quad \htmlClass{fp-2}{c\in D_f}

Dùng để lập danh sách hoành độ ứng viên cực trị: giải $f'(x)=0$ , tìm chỗ $f'$ không tồn tại, giữ các giá trị thuộc tập xác định.Use this to build the list of candidate $x$ -values for extrema: solve $f'(x)=0$ , find where $f'$ does not exist, and keep only the values in the domain.

Trong đóWhere

c

hoành độ của điểm tới hạn, còn gọi là số tới hạn

f'(c)

giá trị đạo hàm của

f

tại

x=c

, tức hệ số góc của tiếp tuyến tại đó

D_f

tập xác định của hàm số

f

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Điểm tới hạn chưa chắc là cực trị.

Nó chỉ là ứng viên. Với $f(x)=x^3$ , $f'(0)=0$ nhưng hàm đồng biến ở cả hai phía nên $x=0$ không là cực trị. Hãy xét dấu $f'$ ở hai bên điểm đó.

Chỉ giải $f'(x)=0$ là bỏ sót điểm tới hạn.

Phải xét cả chỗ $f'$ không tồn tại mà $f$ vẫn xác định. Hàm $|x|$ và $x^{2/3}$ đều có cực tiểu tại $x=0$ dù đạo hàm không tồn tại ở đó.

A critical point is not necessarily an extremum; it is only a candidate.

For $f(x)=x^3$ , $f'(0)=0$ , but the function is increasing on both sides, so $x=0$ is not an extremum. Check the sign of $f'$ on each side of the point.

Solving only $f'(x)=0$ misses critical points.

You must also check where $f'$ does not exist but $f$ is still defined. Both $|x|$ and $x^{2/3}$ have a minimum at $x=0$ even though the derivative does not exist there.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Tìm giá trị lớn nhất trên đoạn $[a,b]$ phải so cả điểm tới hạn lẫn hai đầu mút.

Với $f$ liên tục trên đoạn đó, giá trị lớn nhất có thể nằm ở đầu mút. Lập bảng giá trị, so sánh rồi kết luận bằng một câu hoàn chỉnh.

Biết một điểm có đạo hàm bằng 0 chưa cho biết đó là cực đại hay cực tiểu.

Đáp án khẳng định loại cực trị chỉ từ điều đó thường là bẫy. Thử với $x^3$ là bác bỏ được.

When finding the absolute maximum on $[a,b]$ , compare the values at both the critical points and the endpoints.

If $f$ is continuous on the interval, the maximum can occur at an endpoint. Make a table of values, compare them, and state your conclusion in a complete sentence.

A zero derivative at a point does not tell you whether it is a maximum or a minimum.

An answer choice that claims a specific type of extremum from that fact alone is usually a trap. Testing $x^3$ is enough to refute it.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhép thử ứng viên tìm cực trị tuyệt đốiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhép thử ứng viên tìm cực trị tuyệt đốiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđạo hàmderivative tập xác địnhdomain

Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn đạo hàm cấp mộtfirst derivative test phương pháp xét điểm ứng viêncandidates test

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

cực trịlocal extremum

Khác nhau ở đâuHow they differĐiểm tới hạn chỉ là ứng viên, được xác định bằng điều kiện

f'(x)=0

hoặc

f'(x)

không tồn tại. Cực trị là điểm mà giá trị hàm thật sự lớn nhất hay nhỏ nhất trong một lân cận.

Hay nhầm khiMixed up whenVới

f(x)=x^3

ta có

f'(0)=0

nên

x=0

là điểm tới hạn, nhưng đạo hàm không đổi dấu nên đó không phải cực trị. Đề hay hỏi đúng chỗ này.

điểm uốninflection point

Khác nhau ở đâuHow they differĐiểm tới hạn liên quan đến đạo hàm cấp một và đặc trưng bởi

f'

bằng 0 hoặc không tồn tại. Điểm uốn liên quan đến đạo hàm cấp hai, là nơi đồ thị đổi chiều lõm.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi giải

f''(x)=0

thay vì

f'(x)=0

, hoặc khi tìm điểm tới hạn lại đi xét dấu

f''

, thí sinh dễ trộn hai loại điểm này.

điểm tới hạn (giản đồ pha)critical point

Khác nhau ở đâuHow they differĐiểm tới hạn của hàm số là giá trị x mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Điểm tới hạn trong Hoá học là nhiệt độ và áp suất mà trên đó lỏng và khí không còn phân biệt.

Hay nhầm khiMixed up whenTìm "điểm tới hạn là gì" trên mạng thường ra nghĩa Vật lý – Hoá học (giản đồ pha), không phải nghĩa Giải tích.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 10, 996, 999.