AP Calculus BCAP Calculus AB

tiêu chuẩn đạo hàm cấp haisecond derivative test

second derivative testVietnamese: tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai

Tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai (second derivative test) là cách xét dấu đạo hàm cấp hai tại điểm có đạo hàm bằng 0 để biết đó là cực đại hay cực tiểu.The second derivative test classifies a point where the first derivative is 0 as a local maximum or minimum by checking the sign of the second derivative there.

Trực giác: Đứng ở chỗ đường nằm ngang: nếu mặt đường cong như lòng bát thì bạn ở đáy thung lũng; nếu cong như mái vòm thì bạn ở đỉnh đồi.Intuition: Imagine standing where the road is level. If the surface curves like a bowl, you are at the bottom of a valley; if it curves like a dome, you are at the top of a hill.

Công thức chínhKey formula

f'(c)=0 \text{ and } f''(c)>0 \;\Rightarrow\; f(c) \text{ is a local minimum}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai (second derivative test) dùng để phân loại điểm $x=c$ có $f'(c)=0$ . Ta xét đồ thị tại đó cong lên hay cong xuống, qua dấu của đạo hàm cấp hai $f''(c)$ . Nếu $f''(c)>0$ thì $f$ có cực tiểu tại $c$ . Nếu $f''(c)<0$ thì $f$ có cực đại tại $c$ . Ví dụ: $f(x)=x^2$ có $f'(0)=0$ và $f''(0)=2>0$ , nên $0$ là điểm cực tiểu.

Nếu $f''(c)=0$ hoặc không tồn tại, tiêu chuẩn không kết luận được. Ba hàm $x^4$ , $-x^4$ , $x^3$ đều có $f'(0)=f''(0)=0$ . Tại $0$ , chúng lần lượt có cực tiểu, cực đại và không có cực trị.

The second derivative test classifies a point $x=c$ where $f'(c)=0$ . It uses the sign of $f''(c)$ to tell whether the graph is concave up or concave down at that point. If $f''(c)>0$ , then $f$ has a local minimum at $c$ . If $f''(c)<0$ , then $f$ has a local maximum at $c$ . For example, $f(x)=x^2$ has $f'(0)=0$ and $f''(0)=2>0$ , so $0$ is a local minimum.

If $f''(c)=0$ or $f''(c)$ does not exist, the test is inconclusive. The functions $x^4$ , $-x^4$ , and $x^3$ all have $f'(0)=f''(0)=0$ . At $0$ , they have a minimum, a maximum, and no extremum, respectively.

Ký hiệuNotation

• $f'(c)=0$ , $f''(c)>0$ , $f''(c)<0$
•đề AP thường viết "f has a relative minimum at x = c" hoặc "relative maximum".

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{f'(c)=0} \text{ and } \htmlClass{fp-1}{f''(c)>0} \;\Rightarrow\; \htmlClass{fp-2}{f(c) \text{ is a local minimum}}

Dùng khi $f'(c)=0$ và $f''(c)>0$ ( $f''$ liên tục gần $c$ ): tiếp tuyến nằm ngang, đồ thị cong lên, nên $f(c)$ là cực tiểu địa phương.Use this when $f'(c)=0$ and $f''(c)>0$ ( $f''$ continuous near $c$ ): the tangent line is horizontal and the graph is concave up, so $f(c)$ is a local minimum.

Trong đóWhere

c

hoành độ của điểm dừng đang xét

f'(c)

đạo hàm cấp một tại

c

, bằng hệ số góc của tiếp tuyến

f''(c)

đạo hàm cấp hai tại

c

, cho biết đồ thị lõm lên (dương) hay lõm xuống (âm)

\htmlClass{fp-0}{f'(c)=0} \text{ and } \htmlClass{fp-1}{f''(c)<0} \;\Rightarrow\; \htmlClass{fp-2}{f(c) \text{ is a local maximum}}

Dùng khi $f'(c)=0$ và $f''(c)<0$ : đồ thị cong xuống, nên $f(c)$ là cực đại. Nếu $f''(c)=0$ , quay lại xét dấu $f'$ .Use this when $f'(c)=0$ and $f''(c)<0$ : the graph is concave down, so $f(c)$ is a local maximum. If $f''(c)=0$ , go back to checking the sign of $f'$ .

Trong đóWhere

c

hoành độ của điểm dừng đang xét

f'(c)

đạo hàm cấp một tại

c

f''(c)

đạo hàm cấp hai tại

c

; âm nghĩa là đồ thị lõm xuống

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Khi $f''(c)=0$ , không được kết luận $c$ không phải cực trị.

Tiêu chuẩn chỉ không kết luận được: $x^4$ có cực tiểu tại $0$ , $x^3$ không có cực trị, dù cả hai có $f'(0)=f''(0)=0$ . Khi đó phải xét dấu $f'$ hai bên $c$ .

Chưa kiểm tra $f'(c)=0$ thì không được dùng dấu $f''(c)$ để kết luận.

Tiêu chuẩn chỉ áp dụng cho điểm có $f'(c)=0$ . Ví dụ $f(x)=x^2+x$ có $f''(0)=2>0$ nhưng $f'(0)=1\neq 0$ , nên $0$ không là cực tiểu.

Dấu của $f''(c)$ nói về độ cong của đồ thị, không nói $f$ đồng biến hay nghịch biến.

Khi $f'(c)=0$ : $f''(c)>0$ là cong lên, cho cực tiểu. $f''(c)<0$ là cong xuống, cho cực đại.

If $f''(c)=0$ , you cannot conclude that $c$ is not an extremum.

The test is simply inconclusive: $x^4$ has a minimum at $0$ and $x^3$ has no extremum, even though both have $f'(0)=f''(0)=0$ . In that case, check the sign of $f'$ on both sides of $c$ .

You cannot use the sign of $f''(c)$ until you have checked that $f'(c)=0$ .

The test applies only at points where $f'(c)=0$ . For example, $f(x)=x^2+x$ has $f''(0)=2>0$ but $f'(0)=1\neq 0$ , so $0$ is not a minimum.

The sign of $f''(c)$ describes the concavity of the graph, not whether $f$ is increasing or decreasing.

When $f'(c)=0$ , $f''(c)>0$ means concave up, which gives a minimum. $f''(c)<0$ means concave down, which gives a maximum.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trong câu tự luận AP, nêu $f'(c)=0$ và dấu của $f''(c)$ rồi mới kết luận.

Ví dụ: “Vì $f'(c)=0$ và $f''(c)>0$ nên $f$ có cực tiểu tại $x=c$ .” Chấm điểm thường cho từng ý; thiếu dấu của $f''(c)$ dễ mất điểm lập luận.

Nếu $f''(c)=0$ , chuyển sang xét dấu $f'$ quanh $c$ rồi kết luận.

Âm sang dương: cực tiểu. Dương sang âm: cực đại. Không đổi dấu: không có cực trị. Chỉ viết “không kết luận được” thì câu hỏi vẫn chưa được trả lời.

On AP free-response questions, state both $f'(c)=0$ and the sign of $f''(c)$ before drawing a conclusion.

For example: "Because $f'(c)=0$ and $f''(c)>0$ , $f$ has a local minimum at $x=c$ ." Scoring usually awards a point for each part of the justification, so omitting the sign of $f''(c)$ can cost you the reasoning point.

If $f''(c)=0$ , switch to the first derivative test and check the sign of $f'$ around $c$ .

A change from negative to positive gives a minimum, positive to negative gives a maximum, and no sign change means no extremum. Writing only "inconclusive" leaves the question unanswered.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1742Colin Maclaurin

Năm 1742, Colin Maclaurin trình bày trong Treatise of Fluxions cách dấu đạo hàm bậc cao phân biệt cực đại với cực tiểu, vì đạo hàm bằng 0 chưa đủ.

In 1742, Colin Maclaurin showed in his Treatise of Fluxions how the sign of a higher-order derivative distinguishes a maximum from a minimum, since a derivative of 0 alone is not enough.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi mô tả thẳng cách làm: ta "kiểm tra" (test) loại điểm tới hạn bằng dấu của đạo hàm cấp hai $f''(x)$ , đọc là "f prime prime" trong tiếng Anh. Các trang đã đọc không ghi lại lịch sử riêng của cái tên này.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc hai tìm cực trịỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính lồi lõm của hàm số trên miền xác địnhỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc hai tìm cực trịỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính lồi lõm của hàm số trên miền xác địnhỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Dẫn tớiLeads tobài toán tối ưuoptimization problem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tiêu chuẩn đạo hàm cấp mộtfirst derivative test

Khác nhau ở đâuHow they differTiêu chuẩn cấp hai chỉ xét dấu của

f''(c)

tại một điểm tới hạn. Tiêu chuẩn cấp một xét sự đổi dấu của

f'

ở hai phía điểm đó.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi

f''(c)=0

thì tiêu chuẩn cấp hai không kết luận được, nên phải quay lại xét dấu

f'

bằng tiêu chuẩn cấp một.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 329, 331, 333.