AP Calculus BCAP Calculus AB

tính lồi lõmconcavity

concavityVietnamese: tính lồi lõm

Tính lồi lõm (concavity) là hướng cong lên hoặc xuống của đồ thị hàm số trên một khoảng, được xác định bằng dấu của đạo hàm bậc hai của hàm số đó.Concavity is the upward or downward bending of a function's graph on an interval, determined by the sign of the function's second derivative.

Trực giác: Đồ thị lõm giống chiếc bát đặt ngửa có thể hứng nước, còn đồ thị lồi giống chiếc bát úp xuống bàn.Intuition: A concave up graph is like a bowl sitting upright that could hold water, while a concave down graph is like a bowl turned upside down on a table.

Công thức chínhKey formula

f''(x)>0 \text{ on } I \;\Rightarrow\; f'\text{ increasing} \;\Rightarrow\; \text{concave up on } I

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tính lồi lõm (concavity) cho biết trên một khoảng, đồ thị cong về phía nào. Đồ thị lõm khi độ dốc tiếp tuyến tăng, lồi khi độ dốc giảm. Độ dốc chính là $f'$ , nên ta xét dấu $f''$ trên khoảng đó: $f''>0$ thì đồ thị lõm, $f''<0$ thì đồ thị lồi. Ví dụ: $f(x)=x^2$ có $f''(x)=2>0$ , nên đồ thị lõm.

Điểm uốn $x=c$ là chỗ đồ thị đổi chiều cong. Tại đó hàm $f$ liên tục, $f''(c)$ bằng $0$ hoặc không tồn tại, và $f''$ đổi dấu khi đi qua $c$ . Chỉ có $f''(c)=0$ thì chưa đủ.

Concavity describes which way a graph bends on an interval. The graph is concave up where the slope of the tangent line increases and concave down where it decreases. Because the slope is $f'$ , we check the sign of $f''$ on the interval: if $f''>0$ the graph is concave up, and if $f''<0$ it is concave down. For example, $f(x)=x^2$ has $f''(x)=2>0$ , so its graph is concave up.

An inflection point $x=c$ is where the graph changes concavity. At that point $f$ is continuous, $f''(c)$ equals $0$ or does not exist, and $f''$ changes sign as $x$ passes through $c$ . Having $f''(c)=0$ alone is not enough.

Ký hiệuNotation

• $f''(x)>0$ : đồ thị lõm
• $f''(x)<0$ : đồ thị lồi
• $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ là cách viết khác của $f''(x)$ .

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\htmlClass{fp-0}{f''(x)>0 \text{ on } I} \;\Rightarrow\; \htmlClass{fp-1}{f'\text{ increasing}} \;\Rightarrow\; \htmlClass{fp-2}{\text{concave up on } I}

Dùng khi tìm khoảng đồ thị cong lên: lập bảng xét dấu $f''$ rồi kết luận trên từng khoảng.Use this to find the intervals where the graph is concave up: make a sign chart for $f''$ and state the conclusion on each interval.

Trong đóWhere

f''(x)

đạo hàm cấp hai của

f

, tức đạo hàm của

f'(x)

I

khoảng mở mà ta đang xét dấu của

f''

\htmlClass{fp-0}{f''(x)<0 \text{ on } I} \;\Rightarrow\; \htmlClass{fp-1}{f'\text{ decreasing}} \;\Rightarrow\; \htmlClass{fp-2}{\text{concave down on } I}

Trường hợp đối xứng với công thức trước: dùng khi tìm khoảng đồ thị cong xuống.This is the counterpart of the previous condition: use it to find the intervals where the graph is concave down.

Trong đóWhere

f''(x)

đạo hàm cấp hai của

f

I

khoảng mở mà ta đang xét dấu của

f''

f''(c)=0 \text{ or DNE, and } f'' \text{ changes sign at } x=c

Dùng để tìm hoành độ điểm uốn: $f''$ bằng 0 hoặc không xác định tại $c$ , đổi dấu qua $c$ , và $f$ liên tục tại $c$ .Use this to find the $x$ -coordinate of an inflection point: $f''$ equals 0 or is undefined at $c$ , $f''$ changes sign at $c$ , and $f$ is continuous at $c$ .

Trong đóWhere

c

hoành độ của điểm đang xét, nằm trong tập xác định của

f

\text{DNE}

viết tắt của does not exist, nghĩa là không tồn tại

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Dấu của $f''$ quyết định tính lồi lõm, không phải dấu của $f'$ .

$f'>0$ chỉ cho biết hàm đồng biến. Ví dụ $f(x)=\sqrt{x}$ với $x>0$ có $f'>0$ nhưng $f''<0$ , nên đồ thị vừa đồng biến vừa lồi.

$f''(c)=0$ chưa đủ để kết luận $x=c$ là điểm uốn.

Phải có $f''$ đổi dấu khi đi qua $c$ . Với $f(x)=x^4$ , $f''(x)=12x^2\ge 0$ ở hai phía của $0$ , nên $0$ không là điểm uốn.

Nghiệm của $f''(x)=0$ nằm ngoài miền xác định thì không là điểm uốn.

Nếu hàm chỉ xác định khi $x>0$ , mọi nghiệm $x\le 0$ đều bị loại, dù máy tính vẫn tìm ra chúng. Chỉ nhận nghiệm trong miền xác định mà $f''$ đổi dấu.

The sign of $f''$ , not the sign of $f'$ , determines concavity.

A positive $f'$ only tells you the function is increasing. For example, $f(x)=\sqrt{x}$ with $x>0$ has $f'>0$ but $f''<0$ , so its graph is both increasing and concave down.

Having $f''(c)=0$ is not enough to conclude that $x=c$ is an inflection point.

$f''$ must also change sign at $c$ . For $f(x)=x^4$ , $f''(x)=12x^2\ge 0$ on both sides of $0$ , so $0$ is not an inflection point.

A solution of $f''(x)=0$ outside the domain of $f$ is not an inflection point.

If the function is defined only for $x>0$ , every solution with $x\le 0$ must be rejected, even though a calculator still finds it. Accept only solutions in the domain at which $f''$ changes sign.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Muốn kết luận lồi lõm, phải nêu dấu của $f''$ (hoặc $y''$ ) kèm khoảng của biến.

Mẫu: "Since $y''<0$ for $x>0$ , the curve is concave down." Chỉ ghi "đồ thị cong xuống" hoặc chỉ nhắc $y'$ thì mất điểm lập luận. Hãy viết rõ $y''$ đã rút gọn.

Đặt máy tính ở chế độ radian rồi giải $f''(x)=0$ trong miền xác định.

Với hàm có $\cos(2x)$ , chế độ độ cho nghiệm sai. Có nghiệm rồi vẫn phải chỉ ra $f''$ đổi dấu quanh nó, bằng bảng xét dấu hoặc đồ thị của $f''$ .

State the sign of $f''$ (or $y''$ ) together with the interval of $x$ when you justify concavity.

A model sentence: "Since $y''<0$ for $x>0$ , the curve is concave down." Writing only "the graph bends downward" or citing only $y'$ loses reasoning points. Show the simplified $y''$ clearly.

Set your calculator to radian mode, then solve $f''(x)=0$ within the domain.

For a function containing $\cos(2x)$ , degree mode gives wrong solutions. Even after finding a solution, you must show that $f''$ changes sign around it, using a sign chart or the graph of $f''$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

cuối thế kỷ 17Isaac NewtonGottfried Wilhelm LeibnizApollonius xứ Perga

Cuối thế kỷ 17, Newton và Leibniz phát triển phép tính vi phân; đạo hàm cấp hai cho biết độ dốc đổi thế nào, nên mô tả được tính lồi lõm.

In the late 17th century, Newton and Leibniz developed differential calculus. The second derivative shows how the slope changes, so it describes concavity.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính lồi lõm của hàm số trên miền xác địnhỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc hai tìm cực trịỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termLiên hệ hàm số, đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc haiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính lồi lõm của hàm số trên miền xác địnhỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc hai tìm cực trịỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termLiên hệ hàm số, đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc haiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn đạo hàm cấp haisecond derivative test

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số đồng biếnincreasing function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm số đồng biến nói về dấu của

f'(x)

, tức đồ thị đi lên. Tính lồi lõm nói về dấu của

f''(x)

, tức đồ thị cong về phía nào.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho đồ thị của

f'

rồi hỏi

f

lõm ở đâu: học sinh nhìn dấu của

f'

thay vì nhìn chiều biến thiên (tăng hay giảm) của

f'

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 329, 333, 347.