AP Calculus BCAP Calculus AB

cực tiểulocal minimum

local minimumVietnamese: cực tiểu

Còn gọi:Also called: relative minimum

Cực tiểu (local minimum) là giá trị của hàm số tại một điểm mà quanh điểm đó, hàm không nhận giá trị nào nhỏ hơn.A local minimum is the value of a function at a point where no nearby point has a smaller function value.

Trực giác: Như đáy một cái hố trên đường đồi núi: đứng quanh đó không có chỗ nào thấp hơn, dù xa hơn có thể còn hố sâu hơn.Intuition: Think of the bottom of a dip along a hilly road: nothing nearby is lower, even though a deeper dip may lie farther away.

Công thức chínhKey formula

f(c)\le f(x),\ \forall x\in I

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số $f$ có cực tiểu (local minimum) tại $c$ nếu quanh $c$ không có điểm nào của đồ thị thấp hơn điểm tại $c$ . Tức là $f(c)\le f(x)$ với mọi $x$ thuộc một khoảng mở $I$ chứa $c$ . Ví dụ: $f(x)=x^2$ có $f(0)=0\le f(x)$ với mọi $x$ , nên có cực tiểu tại $0$ . Khoảng $I$ có thể rất nhỏ, nên một hàm có thể có nhiều cực tiểu.

Cực tiểu chỉ xảy ra tại điểm tới hạn, tức nơi $f'(c)=0$ hoặc $f'$ không tồn tại tại $c$ . Điểm tới hạn chưa chắc là cực tiểu. Nếu $f$ liên tục tại $c$ và $f'$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $c$ thì $f(c)$ là cực tiểu.

A function $f$ has a local minimum at $c$ if no point on the graph near $c$ lies below the point at $c$ . That is, $f(c)\le f(x)$ for all $x$ in some open interval $I$ containing $c$ . For example, $f(x)=x^2$ satisfies $f(0)=0\le f(x)$ for all $x$ , so it has a local minimum at $0$ . The interval $I$ can be very small, so a function can have many local minima.

A local minimum can occur only at a critical point, that is, where $f'(c)=0$ or $f'$ does not exist at $c$ . A critical point is not necessarily a local minimum. If $f$ is continuous at $c$ and $f'$ changes sign from negative to positive as $x$ passes through $c$ , then $f(c)$ is a local minimum.

Ký hiệuNotation

• $f(c)$ là giá trị cực tiểu
• $f'(c)=0$ hoặc $f'(c)$ không tồn tại tại điểm tới hạn
• $f'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $c$ .

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\htmlClass{fp-0}{f(c)}\htmlClass{fp-1}{\le f(x)},\ \htmlClass{fp-2}{\forall x\in I}

Dùng khi kiểm tra theo định nghĩa: $f(c)$ không lớn hơn mọi giá trị $f(x)$ trong một khoảng mở quanh $c$ .Use this when checking the definition directly: $f(c)$ is no greater than any value $f(x)$ in an open interval around $c$ .

Trong đóWhere

c

hoành độ điểm cực tiểu

f(c)

giá trị cực tiểu của hàm

I

khoảng mở chứa

c

, đủ nhỏ để so sánh

x

điểm bất kì trong

I

\htmlClass{fp-0}{f'(x)<0\ (x<c)},\quad \htmlClass{fp-1}{f'(x)>0\ (x>c)}

Dùng khi xét dấu $f'$ quanh một điểm tới hạn $c$ : đổi từ âm sang dương thì $f$ có cực tiểu tại $c$ .Use this when examining the sign of $f'$ around a critical point $c$ : if it changes from negative to positive, $f$ has a local minimum at $c$ .

Trong đóWhere

f'(x)

đạo hàm của

f

, cho biết dấu của độ dốc

c

số tới hạn đang xét, thường có

f'(c)=0

hoặc

f'(c)

không tồn tại

\htmlClass{fp-0}{f'(c)=0},\ \htmlClass{fp-1}{f''(c)>0}

Dùng để kiểm tra điểm có $f'(c)=0$ : nếu $f''(c)>0$ thì có cực tiểu; nếu $f''(c)=0$ thì quay lại xét dấu $f'$ .Use this to test a point where $f'(c)=0$ : if $f''(c)>0$ , there is a local minimum; if $f''(c)=0$ , go back to checking the sign of $f'$ .

Trong đóWhere

f'(c)

đạo hàm bậc nhất tại

c

f''(c)

đạo hàm bậc hai tại

c

, cho biết hướng cong của đồ thị

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Điểm có $f'(c)=0$ chưa chắc là cực tiểu.

Với $f(x)=x^3$ thì $f'(0)=0$ nhưng $f'$ không đổi dấu, nên $0$ không là cực trị. Phải xét dấu $f'$ ở hai bên điểm đó.

Cực tiểu ứng với $f'$ đổi dấu từ âm sang dương, không phải từ dương sang âm.

Hàm nghịch biến rồi đồng biến mới tạo đáy. Đổi dấu từ dương sang âm cho cực đại.

Cực tiểu không nhất thiết là giá trị nhỏ nhất của hàm.

Định nghĩa chỉ so $f(c)$ với các giá trị quanh $c$ , nên nơi khác vẫn có thể thấp hơn. Tìm giá trị nhỏ nhất trên $[a,b]$ thì phải so thêm giá trị tại hai đầu mút.

A point where $f'(c)=0$ is not necessarily a local minimum.

For $f(x)=x^3$ , $f'(0)=0$ but $f'$ does not change sign, so $0$ is not an extremum. You must check the sign of $f'$ on both sides of the point.

A local minimum corresponds to $f'$ changing from negative to positive, not from positive to negative.

A function that decreases and then increases forms a bottom. A change from positive to negative gives a local maximum.

A local minimum is not necessarily the absolute minimum of the function.

The definition compares $f(c)$ only with values near $c$ , so values elsewhere may be lower. To find the absolute minimum on $[a,b]$ , you must also compare the values at the endpoints.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi kết luận cực tiểu, hãy nêu rõ $f'$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=c$ .

Chỉ ghi $f'(c)=0$ nên có cực tiểu là chưa đủ điểm lập luận. Nếu dùng đạo hàm cấp hai, ghi $f''(c)>0$ kèm $f'(c)=0$ .

Chỉ chọn nghiệm của $f'$ mà tại đó $f'$ đi từ âm lên dương.

Vẽ $f'$ trên đúng khoảng của đề để thấy chỗ đổi dấu. Nếu $f'$ chỉ chạm trục rồi quay lại thì đó không phải cực tiểu. Ghi nghiệm ít nhất ba chữ số thập phân.

State explicitly that $f'$ changes from negative to positive at $x=c$ when you conclude a local minimum.

Writing only $f'(c)=0$ and claiming a minimum earns incomplete credit. If you use the second derivative test, write $f''(c)>0$ together with $f'(c)=0$ .

Select only the zeros of $f'$ where $f'$ goes from negative to positive.

Graph $f'$ on the exact interval given in the problem to see where the sign changes. If $f'$ only touches the axis and turns back, there is no local minimum. Report the zero to at least three decimal places.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

FermatIsaac NewtonGottfried Wilhelm Leibniz

Fermat nhận ra việc tìm cực đại, cực tiểu của hàm số chính là tìm chỗ tiếp tuyến nằm ngang, tức độ dốc

\dfrac{dy}{dx}

bằng 0.

Fermat recognized that finding a function's maximum or minimum amounts to finding where the tangent line is horizontal, that is, where the slope

\dfrac{dy}{dx}

equals 0.

Vì sao mang đúng cái tên này? Các nguồn không ghi ai đặt ra cụm từ này, cũng không ghi nguồn gốc lịch sử của cách gọi. Tuy vậy, nghĩa của tên gọi có thể đọc thẳng từ định nghĩa: cực tiểu (local minimum) còn gọi là cực tiểu tương đối (relative minimum), vì đó là giá trị nhỏ nhất chỉ trong một lân cận (neighborhood) nào đó của điểm đang xét. Giá trị ấy không nhất thiết là giá trị nhỏ nhất toàn cục (global minimum), dù đôi khi nó trùng với giá trị này. Hai chữ "cực tiểu" vì vậy chỉ "nhỏ nhất ở quanh đây", không phải "nhỏ nhất trên toàn đồ thị".

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc hai tìm cực trịỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc hai tìm cực trịỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđiểm tới hạn của hàm sốcritical point

Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn đạo hàm cấp mộtfirst derivative test tiêu chuẩn đạo hàm cấp haisecond derivative test

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

giá trị nhỏ nhất của hàm sốabsolute minimum

Khác nhau ở đâuHow they differCực tiểu chỉ nhỏ nhất trong một lân cận quanh điểm đó. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là giá trị thấp nhất trên toàn tập đang xét.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi giá trị nhỏ nhất trên đoạn

[a,b]

mà học sinh chỉ tìm cực tiểu, quên so sánh với giá trị tại hai đầu mút.

cực trị toàn cụcabsolute extremum

Khác nhau ở đâuHow they differCực tiểu là điểm thấp nhất trong một khoảng nhỏ quanh nó và có thể có nhiều điểm như vậy. Cực trị toàn cục là điểm cao nhất hoặc thấp nhất trên cả miền xét.

Hay nhầm khiMixed up whenĐồ thị có nhiều đáy nên học sinh chọn nhầm một cực tiểu làm giá trị nhỏ nhất, hoặc ngược lại bỏ sót đầu mút của khoảng đóng.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 326–327, 329.