AP Calculus BCAP Calculus AB

lõm lênconcave up

concave upVietnamese: lõm lên

Lõm lên (concave up) là tính chất của đồ thị trên một khoảng mà độ dốc tiếp tuyến tăng dần, đồ thị cong như bát ngửa và nằm trên các tiếp tuyến.Concave up describes a graph on an interval where the slopes of the tangent lines increase from left to right, so the graph curves like an upturned bowl and lies above its tangent lines.

Trực giác: Như chiếc bát ngửa: đi từ trái sang phải, độ dốc tăng dần, và thành bát luôn nằm phía trên các que chạm vào nó từ bên dưới.Intuition: Picture an upturned bowl. Moving from left to right, the slope keeps increasing, and the bowl always lies above sticks touching it from below.

Công thức chínhKey formula

\dfrac{d}{dx}\bigl[f'(x)\bigr]=f''(x)>0,\quad x\in I

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng $I$ gọi là lõm lên khi độ dốc tiếp tuyến tăng dần theo $x$ . Nói cách khác, $f'$ đồng biến trên $I$ . Ví dụ $f(x)=x^2$ có $f'(x)=2x$ tăng dần, nên $f$ lõm lên.

Nếu $f''(x)>0$ trên cả khoảng thì $f$ lõm lên. Điều ngược lại không đúng: $f(x)=x^4$ lõm lên trên cả $\mathbb{R}$ dù $f''(0)=0$ . Lõm lên không cho biết $f$ tăng hay giảm: $x^2$ lõm lên nhưng nghịch biến khi $x<0$ .

A differentiable function $f$ is concave up on an interval $I$ when the slope of its tangent line increases as $x$ increases. Equivalently, $f'$ is increasing on $I$ . For example, $f(x)=x^2$ has $f'(x)=2x$ , which is increasing, so $f$ is concave up.

If $f''(x)>0$ on the whole interval, then $f$ is concave up there. The converse is false: $f(x)=x^4$ is concave up on all of $\mathbb{R}$ even though $f''(0)=0$ . Concavity also says nothing about whether $f$ is increasing or decreasing: $x^2$ is concave up but decreasing for $x<0$ .

Ký hiệuNotation

• $f''(x)>0$ trên $I$
•đề AP thường viết "concave up on $(a,b)$ " hoặc "graph of $f$ is concave upward".

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-1}{\dfrac{d}{dx}\bigl[\htmlClass{fp-0}{f'(x)}\bigr]=f''(x)}\htmlClass{fp-2}{>0},\quad \htmlClass{fp-3}{x\in I}

Dùng để tìm các khoảng lõm lên: lập bảng xét dấu $f''$ , nơi $f''>0$ thì $f$ lõm lên.Use this to find the intervals where $f$ is concave up: make a sign chart for $f''$ , and $f$ is concave up wherever $f''>0$ .

Trong đóWhere

f'(x)

đạo hàm bậc nhất của

f

, chính là độ dốc của tiếp tuyến tại

x

f''(x)

đạo hàm bậc hai của

f

, cho biết

f'

đang tăng hay giảm

I

khoảng mở trên đó

f

khả vi và ta xét tính lõm

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Lõm lên không có nghĩa là hàm đồng biến.

Đồng biến xét dấu $f'$ , còn lõm lên xét dấu $f''$ . Đồ thị có thể vừa nghịch biến vừa lõm lên, khi $f'<0$ nhưng $f'$ đang tăng dần.

$f''=0$ tại một điểm chưa chắc là hết lõm lên.

Với $f(x)=x^4$ ta có $f''(0)=0$ nhưng đồ thị vẫn lõm lên. Phải xem $f''$ có đổi dấu hay không.

Lõm lên thì tiếp tuyến cho giá trị xấp xỉ nhỏ hơn giá trị thật.

Tiếp tuyến nằm dưới đồ thị nên đánh giá thấp. Nhiều em đảo ngược điều này. Khi lõm xuống thì ngược lại.

Concave up does not mean the function is increasing.

Increasing depends on the sign of $f'$ , while concavity depends on the sign of $f''$ . A graph can be both decreasing and concave up when $f'<0$ but $f'$ is increasing.

A point where $f''=0$ is not necessarily where the graph stops being concave up.

For $f(x)=x^4$ , $f''(0)=0$ , yet the graph is still concave up there. What matters is whether $f''$ changes sign.

When a graph is concave up, a tangent line approximation underestimates the true value.

The tangent line lies below the graph, so its values are too low. Many students reverse this; for concave down, the opposite holds.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trong câu tự luận AP, kết luận lõm lên phải kèm lý do.

Viết " $f''>0$ nên đồ thị lõm lên" hoặc " $f'$ đồng biến nên đồ thị lõm lên", và nêu khoảng đang xét. Thiếu lý do thường mất điểm lập luận.

Hỏi "vừa nghịch biến vừa lõm lên" thì giải $f'<0$ và $f''>0$ rồi lấy giao.

Cách này tránh chọn nhầm khoảng chỉ thỏa một điều kiện.

On AP free-response questions, always justify a concave-up conclusion.

Write " $f''>0$ , so the graph is concave up" or " $f'$ is increasing, so the graph is concave up," and state the interval. Omitting the reason usually costs justification points.

For "decreasing and concave up," solve $f'<0$ and $f''>0$ , then take the intersection.

This keeps you from choosing an interval that satisfies only one of the conditions.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính lồi lõm của hàm số trên miền xác địnhỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termLiên hệ hàm số, đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc haiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc hai tìm cực trịỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính lồi lõm của hàm số trên miền xác địnhỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termLiên hệ hàm số, đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc haiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc hai tìm cực trịỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm số đồng biếnincreasing function

Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn đạo hàm cấp haisecond derivative test

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

lõm xuốngconcave down

Khác nhau ở đâuHow they differĐồ thị lõm lên có

f''(x)>0

và nằm phía trên các tiếp tuyến của nó. Đồ thị lõm xuống có

f''(x)<0

và nằm phía dưới các tiếp tuyến.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho đồ thị của

f'

rồi hỏi

f

lõm lên ở đâu: cần xét

f'

đồng biến chứ không phải

f'

dương, nên học sinh hay nhầm giữa dấu của

f'

và dấu của

f''

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 329, 350–351.