AP Calculus BCAP Calculus AB

lõm xuốngconcave down

concave downVietnamese: lõm xuống

Lõm xuống (concave down) là đồ thị trên một khoảng mà độ dốc tiếp tuyến giảm dần khi đi từ trái sang phải, nên đồ thị nằm dưới các tiếp tuyến.Concave down describes a graph on an interval where the slopes of the tangent lines decrease from left to right, so the graph lies below its tangent lines.

Trực giác: Giống mặt cắt chiếc bát úp (hình ∩): càng đi sang phải, độ dốc của đường cong càng giảm.Intuition: Picture the cross section of an upside-down bowl (a ∩ shape): the farther right you go, the smaller the slope of the curve becomes.

Công thức chínhKey formula

f''(x)<0\quad \forall x\in I

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Đồ thị của hàm số $f$ có đạo hàm là lõm xuống trên một khoảng khi $f'$ nghịch biến trên khoảng đó. Nghĩa là hệ số góc tiếp tuyến giảm dần từ trái sang phải.

Nếu $f''(x)<0$ trên khoảng thì $f$ lõm xuống trên khoảng đó. Chẳng hạn $f(x)=\ln x$ có $f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0$ trên $(0,+\infty)$ , nên $\ln x$ lõm xuống ở đó. Để tìm các khoảng lõm xuống, hãy lập bảng xét dấu $f''$ . Trên khoảng lõm xuống, đồ thị nằm dưới tiếp tuyến.

The graph of a differentiable function $f$ is concave down on an interval if $f'$ is decreasing on that interval. In other words, the slope of the tangent line decreases as you move from left to right.

If $f''(x)<0$ on an interval, then $f$ is concave down on that interval. For example, $f(x)=\ln x$ has $f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0$ on $(0,+\infty)$ , so $\ln x$ is concave down there. To find the intervals where a function is concave down, make a sign chart for $f''$ . On an interval where the graph is concave down, it lies below its tangent lines.

Ký hiệuNotation

• $f''(x) < 0$ trên $I$
• $\dfrac{d^2y}{dx^2} < 0$
•trong đề AP thường viết "concave down on $(a,b)$ ".

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{f''(x)}\htmlClass{fp-1}{<0}\quad \htmlClass{fp-2}{\forall x\in I}

Dùng để tìm khoảng lõm xuống: giải $f''(x)<0$ rồi kết luận trên từng khoảng. Nếu $f''(x)>0$ thì đồ thị lõm lên.Use this to find where a graph is concave down: solve $f''(x)<0$ and state your conclusion on each interval. If $f''(x)>0$ , the graph is concave up.

Trong đóWhere

f''(x)

đạo hàm cấp hai của

f

tại

x

, bằng đạo hàm của

f'(x)

I

khoảng đang xét, trên đó

f

có đạo hàm

x

biến số thuộc khoảng

I

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Lõm xuống không có nghĩa là hàm nghịch biến.

Hàm có thể đồng biến mà vẫn lõm xuống, vì lõm xuống nói về độ dốc $f'$ đang giảm, không nói về dấu của $f'$ .

Dấu của $f'$ không cho biết độ lõm của $f$ .

Khi đề cho đồ thị của $f'$ , hãy xem $f'$ đi xuống hay đi lên, không xem nó nằm trên hay dưới trục hoành. $f'$ đi xuống thì $f$ lõm xuống.

Hàm lõm xuống thì xấp xỉ bằng tiếp tuyến cho ước lượng thừa.

Đường cong nằm dưới tiếp tuyến nên giá trị tính từ tiếp tuyến lớn hơn giá trị thật. Nhiều bạn nhớ ngược thành ước lượng thiếu.

Concave down does not mean the function is decreasing.

A function can be increasing and still concave down, because concavity describes whether the slope $f'$ is decreasing, not the sign of $f'$ .

The sign of $f'$ does not tell you the concavity of $f$ .

Given a graph of $f'$ , check whether $f'$ is falling or rising, not whether it lies above or below the $x$ -axis. If $f'$ is falling, $f$ is concave down.

A tangent line approximation overestimates a function that is concave down.

The curve lies below its tangent line, so the value computed from the tangent line is larger than the true value. Many students reverse this and say it underestimates.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Kết luận độ lõm phải nêu cả khoảng lẫn lí do.

Viết: " $f''(x)<0$ trên $(a,b)$ nên đồ thị của $f$ lõm xuống trên khoảng đó". Nếu đề cho đồ thị của $f'$ , viết: " $f'$ nghịch biến nên $f$ lõm xuống".

Với xấp xỉ bằng tiếp tuyến, phải nối kết quả số với độ lõm.

Viết phương trình tiếp tuyến, tính giá trị xấp xỉ, rồi kết luận ước lượng thừa "vì $f$ lõm xuống trên khoảng đang xét". Chỗ hay mất điểm là bỏ câu nối này.

State both the interval and the reason when you conclude concavity.

Write: " $f''(x)<0$ on $(a,b)$ , so the graph of $f$ is concave down on that interval." If you are given the graph of $f'$ , write: " $f'$ is decreasing, so $f$ is concave down."

For a tangent line approximation, connect the numerical result to the concavity.

Write the tangent line equation, compute the approximation, then conclude it is an overestimate "because $f$ is concave down on the interval in question." Students often lose points by leaving out this linking statement.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính lồi lõm của hàm số trên miền xác địnhỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc hai tìm cực trịỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termLiên hệ hàm số, đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc haiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính lồi lõm của hàm số trên miền xác địnhỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc hai tìm cực trịỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termLiên hệ hàm số, đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc haiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm số nghịch biếndecreasing function

Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn đạo hàm cấp haisecond derivative test tính lồi lõmconcavity

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

lõm lênconcave up

Khác nhau ở đâuHow they differĐồ thị lõm xuống có

f''(x)<0

, tiếp tuyến nằm phía trên đồ thị. Đồ thị lõm lên có

f''(x)>0

, tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề hỏi "concave down" mà học sinh lại tìm khoảng

f''(x)>0

, hoặc nhầm lõm xuống với hàm nghịch biến (dấu của

f'

) thay vì dấu của

f''

hàm số nghịch biếndecreasing function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm lõm xuống nói về dấu của

f''

, tức là

f'

đang giảm. Hàm nghịch biến nói về dấu của

f'

, tức là chính

f

đang giảm.

Hay nhầm khiMixed up whenĐồ thị đi lên nhưng cong xuống vẫn là lõm xuống, còn đồ thị đi xuống nhưng cong lên thì là nghịch biến và lõm lên; đề AP hay cho đồ thị

f'

để dễ nhầm hai ý này.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 329, 331, 351.