AP Calculus BCAP Calculus AB

đạo hàm cấp caohigher-order derivative

higher-order derivativeVietnamese: đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp cao (higher-order derivative) là đạo hàm của đạo hàm, lấy liên tiếp nhiều lần: đạo hàm cấp hai, cấp ba, và cứ thế tiếp tục.A higher-order derivative is a derivative of a derivative, taken repeatedly: the second derivative, the third derivative, and so on.

Trực giác: Từ quãng đường, lấy đạo hàm được tốc độ, lấy tiếp được gia tốc, lấy nữa được độ giật. Mỗi lần lấy đạo hàm là lên một cấp.Intuition: Differentiating position gives velocity, differentiating again gives acceleration, and differentiating once more gives jerk. Each derivative you take moves you up one order.

Công thức chínhKey formula

f^{(n)}(x)=\dfrac{d}{dx}\left[f^{(n-1)}(x)\right]

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Đạo hàm cấp cao là đạo hàm của đạo hàm, lấy liên tiếp nhiều lần. Với $n$ là số nguyên từ $2$ trở đi, đạo hàm cấp $n$ của $f$ là đạo hàm của đạo hàm cấp $n-1$ , ký hiệu $f^{(n)}$ . Hàm ở mỗi bước phải có đạo hàm thì mới lấy tiếp được.

Với $f(x)=x^3$ : $f'(x)=3x^2$ , $f''(x)=6x$ , $f'''(x)=6$ , $f^{(4)}(x)=0$ . Đạo hàm cấp hai $f''$ cho biết $f'$ đang tăng hay giảm, nên cho biết đồ thị cong lên hay cong xuống. Từ cấp bốn, viết số cấp trong ngoặc tròn như $f^{(4)}$ để không nhầm với lũy thừa.

A higher-order derivative is the result of differentiating a function repeatedly, that is, taking the derivative of a derivative. For an integer $n \ge 2$ , the $n$ th derivative of $f$ is the derivative of the $(n-1)$ th derivative, written $f^{(n)}$ . The function at each step must be differentiable before you can differentiate again.

For $f(x)=x^3$ : $f'(x)=3x^2$ , $f''(x)=6x$ , $f'''(x)=6$ , $f^{(4)}(x)=0$ . The second derivative $f''$ tells whether $f'$ is increasing or decreasing, and therefore whether the graph is concave up or concave down. From the fourth order onward, write the order in parentheses, as in $f^{(4)}$ , so it is not mistaken for an exponent.

Ký hiệuNotation

• $f''(x)$ , $f'''(x)$ , $f^{(n)}(x)$
• $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ , $\dfrac{d^n y}{dx^n}$

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{f^{(n)}(x)}=\htmlClass{fp-2}{\dfrac{d}{dx}\left[\htmlClass{fp-1}{f^{(n-1)}(x)}\right]}

Dùng khi cần đạo hàm cấp $n$ : lấy đạo hàm của đạo hàm cấp $n-1$ , với quy ước $f^{(0)}=f$ .Use this to find the $n$ th derivative: differentiate the $(n-1)$ th derivative, with the convention $f^{(0)}=f$ .

Trong đóWhere

f^{(n)}(x)

đạo hàm cấp

n

của hàm

f

tại

x

n

cấp đạo hàm, là số nguyên dương từ 2 trở lên

f^{(n-1)}(x)

đạo hàm cấp

n-1

, tức đạo hàm ngay trước bước hiện tại

\dfrac{d^n y}{dx^n}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}}\right)

Cách viết Leibniz của cùng ý đó; với $n=2$ hay dùng khi xét tính lồi lõm hoặc gia tốc.This is the Leibniz notation for the same idea; for $n=2$ it is commonly used when analyzing concavity or acceleration.

Trong đóWhere

y

hàm số của

x

, tức

y=f(x)

\dfrac{d^n y}{dx^n}

đạo hàm cấp

n

của

y

theo

x

n

cấp đạo hàm, là số nguyên dương từ 2 trở lên

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

$f''(x)$ không phải là $\left(f'(x)\right)^2$ .

Hai dấu phẩy nghĩa là lấy đạo hàm hai lần, không phải bình phương. Với $f(x)=x^3$ : $f''(x)=6x$ , còn $\left(f'(x)\right)^2=9x^4$ . Tương tự, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ khác $\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2$ .

$f''(c)=0$ chưa chắc là điểm uốn.

Điểm uốn đòi hỏi $f''$ đổi dấu khi qua $c$ . Hàm $f(x)=x^4$ có $f''(x)=12x^2$ bằng $0$ tại $x=0$ nhưng không đổi dấu, nên đồ thị không đổi chiều cong.

Với đạo hàm ẩn, kết quả $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ thường phải viết theo $x$ và $y$ .

Lần đạo hàm thứ hai sinh ra một $\dfrac{dy}{dx}$ mới. Hãy thay biểu thức của $\dfrac{dy}{dx}$ theo $x$ và $y$ vào rồi mới rút gọn.

$f''(x)$ is not the same as $\left(f'(x)\right)^2$ .

The two primes mean differentiate twice, not square. For $f(x)=x^3$ , $f''(x)=6x$ , while $\left(f'(x)\right)^2=9x^4$ . Likewise, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ is not equal to $\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2$ .

$f''(c)=0$ does not guarantee an inflection point.

An inflection point requires $f''$ to change sign at $c$ . For $f(x)=x^4$ , $f''(x)=12x^2$ equals $0$ at $x=0$ but does not change sign, so the concavity of the graph does not change.

With implicit differentiation, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ usually has to be written in terms of $x$ and $y$ .

The second differentiation produces a new $\dfrac{dy}{dx}$ term. Substitute the expression for $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$ , then simplify.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Đề cho đồ thị hoặc bảng của $f'$ mà hỏi về $f''$ : hãy đọc độ dốc của $f'$ .

Đồ thị $f'$ dốc lên thì $f''>0$ , dốc xuống thì $f''<0$ . Đừng lấy dấu của $f'$ để trả lời cho $f''$ .

Bài chuyển động: viết $v(t)=x'(t)$ và $a(t)=v'(t)$ trước khi thay số.

Rồi xét dấu cả $v$ và $a$ . Hạt nhanh dần khi hai đại lượng cùng dấu, chậm dần khi trái dấu. Chỉ xét dấu $a$ là sai.

When given a graph or table of $f'$ and asked about $f''$ , read the slope of $f'$ .

If the graph of $f'$ rises, $f''>0$ ; if it falls, $f''<0$ . Do not use the sign of $f'$ to answer a question about $f''$ .

In motion problems, write $v(t)=x'(t)$ and $a(t)=v'(t)$ before substituting values.

Then check the signs of both $v$ and $a$ . The particle speeds up when they have the same sign and slows down when they have opposite signs. Checking only the sign of $a$ is a mistake.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Gottfried Wilhelm LeibnizLouis François Antoine Arbogast

Sau khi Leibniz đưa ra ký hiệu

\dfrac{dy}{dx}

năm 1675, việc lấy đạo hàm của đạo hàm thành tự nhiên; ông viết

\dfrac{d^2y}{dx^2}

cho lần thứ hai.

After Leibniz introduced the notation

\dfrac{dy}{dx}

in 1675, differentiating a derivative became natural; he wrote

\dfrac{d^2y}{dx^2}

for the second derivative.

Vì sao mang đúng cái tên này? Các nguồn đã đọc không giải thích vì sao có cụm từ "cấp cao", nên phần này chỉ nói về ký hiệu. Trong ký hiệu Leibniz (Leibniz notation), $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ diễn tả việc lấy đạo hàm lần thứ hai, và ký hiệu này vẫn còn được dùng đến nay. Ngoài ra còn có ký hiệu $D^n f(x)$ cho đạo hàm cấp $n$ , trong đó $D$ là toán tử vi phân và số mũ $n$ cho biết số lần lấy đạo hàm. Ký hiệu này đôi khi bị gọi là ký hiệu Euler (Euler notation), nhưng dường như Leonhard Euler không dùng nó. Người đưa nó vào là Louis François Antoine Arbogast.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm cấp caoĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính lồi lõm của hàm số trên miền xác địnhỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuyển động thẳng: vị trí, vận tốc & gia tốcỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm cấp caoĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính lồi lõm của hàm số trên miền xác địnhỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuyển động thẳng: vị trí, vận tốc & gia tốcỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđạo hàmderivative phép lấy đạo hàmdifferentiation

Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn đạo hàm cấp haisecond derivative test đa thức TaylorTaylor polynomial

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

đạo hàmderivative

Khác nhau ở đâuHow they differĐạo hàm cấp một đo tốc độ biến thiên của chính hàm số. Đạo hàm cấp hai đo tốc độ biến thiên của đạo hàm cấp một, tức là độ cong của đồ thị.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho đồ thị của

f'

rồi hỏi về tính lồi lõm của

f

: phải đọc độ tăng giảm của

f'

(chính là dấu của

f''

), không phải dấu của

f'

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic