AP Calculus BCAP Calculus AB

phép lấy đạo hàmdifferentiation

differentiationVietnamese: phép lấy đạo hàm

Phép lấy đạo hàm (differentiation) là quá trình tìm đạo hàm của một hàm số, tức tốc độ biến thiên tức thời của nó tại mỗi điểm mà đạo hàm tồn tại.Differentiation is the process of finding the derivative of a function, which is its instantaneous rate of change at each point where the derivative exists.

Trực giác: Giống đồng hồ tốc độ trên xe: biết quãng đường đã đi, bạn đọc ra xe đang chạy nhanh bao nhiêu ngay lúc này.Intuition: It works like a car's speedometer: given the distance traveled, you can read off how fast the car is moving right now.

Công thức chínhKey formula

\dfrac{d}{dx}f(x)=f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Phép lấy đạo hàm là việc biến hàm $f$ thành hàm mới $f'$ . Giá trị $f'(x)$ là độ dốc tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x$ . Ví dụ: với $f(x)=x^2$ ta được $f'(x)=2x$ , nên tại $x=3$ độ dốc là $6$ .

Phép này chỉ làm được tại những $x$ mà đạo hàm tồn tại. Nó xuất phát từ giới hạn của tỉ sai phân. Khi tính, ta dùng các quy tắc: lũy thừa, tổng và hiệu, tích, thương, dây chuyền. Đừng nhầm: phép lấy đạo hàm là hành động, đạo hàm là kết quả. Làm hai lần liên tiếp, ta được đạo hàm cấp hai $f''$ .

Differentiation turns a function $f$ into a new function $f'$ . The value $f'(x)$ is the slope of the tangent line to the graph at the point with x-coordinate $x$ . For example, if $f(x)=x^2$ , then $f'(x)=2x$ , so the slope at $x=3$ is $6$ .

Differentiation works only at values of $x$ where the derivative exists, and it comes from the limit of the difference quotient. In practice, we use the power, sum and difference, product, quotient, and chain rules. Differentiation is the action, and the derivative is its result. Differentiating twice in a row gives the second derivative $f''$ .

Ký hiệuNotation

• $f'(x)$ , $y'$ , $\dfrac{dy}{dx}$ , $\dfrac{d}{dx}f(x)$ , $Df(x)$ (trong đó $\dfrac{d}{dx}$ và $D$ là các toán tử lấy đạo hàm)
•đạo hàm cấp hai viết $f''(x)$ hoặc $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-3}{\dfrac{d}{dx}f(x)=f'(x)}=\htmlClass{fp-2}{\lim_{h\to 0}\htmlClass{fp-1}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{f(x+h)-f(x)}}{h}}}

Dùng khi tính đạo hàm trực tiếp từ định nghĩa, hoặc khi cần nhận ra $f'(x)$ , $y'$ , $\dfrac{dy}{dx}$ là cùng một kết quả.Use this when computing a derivative directly from the definition, or when you need to recognize that $f'(x)$ , $y'$ , and $\dfrac{dy}{dx}$ all denote the same result.

Trong đóWhere

f(x)

hàm số cần lấy đạo hàm

h

số gia của biến

x

, là đoạn nhỏ mà

x

dịch đi và được cho tiến về

0

\dfrac{d}{dx}

toán tử lấy đạo hàm (differentiation operator) theo biến

x

f'(x)

đạo hàm của

f

tại

x

, tức độ dốc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

x

Hay hiểu saiCommon misconceptions1 ý · 1 phút đọc1 point · 1 min read

Khi lấy đạo hàm ẩn, đừng coi $y$ là hằng số.

Ở đây $y$ thay đổi theo $x$ , nên quy tắc dây chuyền sinh thừa số $\dfrac{dy}{dx}$ (đạo hàm của $y$ theo $x$ ). Đạo hàm của $y^2$ theo $x$ là $2y\,\dfrac{dy}{dx}$ , không phải $2y$ .

In implicit differentiation, $y$ is not a constant.

Because $y$ changes with $x$ , the chain rule produces a factor of $\dfrac{dy}{dx}$ (the derivative of $y$ with respect to $x$ ), so the derivative of $y^2$ with respect to $x$ is $2y\,\dfrac{dy}{dx}$ , not $2y$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Với đạo hàm ẩn, viết rõ bước đạo hàm hai vế trước khi giải $\dfrac{dy}{dx}$ .

Với $x^2+y^2=25$ , ghi $2x+2y\,\dfrac{dy}{dx}=0$ , rồi suy ra $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$ . Bài thi chấm theo từng bước, nên bước đạo hàm đúng thường vẫn được điểm.

Muốn tìm đạo hàm tại một điểm $(a,b)$ , hãy lấy đạo hàm hai vế trước, rồi mới thế tọa độ.

Thế số trước thì $x$ và $y$ thành hằng số, đạo hàm bị sai. Ghi rõ kiểu $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(a,b)}$ .

In implicit differentiation, show the step of differentiating both sides before solving for $\dfrac{dy}{dx}$ .

For $x^2+y^2=25$ , write $2x+2y\,\dfrac{dy}{dx}=0$ , then conclude $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$ . Exams are graded step by step, so a correct differentiation step usually earns credit.

To find the derivative at a point $(a,b)$ , differentiate both sides first and substitute the coordinates afterward.

Substituting first turns $x$ and $y$ into constants, which makes the derivative wrong. Write the evaluation explicitly, as in $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(a,b)}$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thế kỷ 17Isaac NewtonGottfried Wilhelm Leibniz

Newton và Leibniz xây dựng độc lập phép lấy đạo hàm vào thế kỷ 17 để tính tốc độ thay đổi của một đại lượng theo đại lượng khác.

Newton and Leibniz developed differentiation independently in the 17th century to calculate the rate at which one quantity changes with respect to another.

Vì sao mang đúng cái tên này? Các trang đã đọc không giải thích trực tiếp vì sao có chữ "differentiation", nhưng cho thấy tên gọi này gắn với cách tiếp cận của Leibniz. Ông xem biến số chạy qua những giá trị vô cùng gần nhau và dùng $dx$ , $dy$ để chỉ các thay đổi của biến. Vì vậy, phương pháp của ông được gọi là phương pháp vi phân (differential method). Năm 1712, một ủy ban của Hội Hoàng gia Anh (Royal Society) kết luận rằng phương pháp này và phương pháp fluxion (method of fluxions) của Newton là một, chỉ khác tên gọi và cách kí hiệu. Điều đó cho thấy Newton không dùng cách gọi "phép tính vi phân", mà dùng "fluxion". Chữ "calculus" cũng có nguồn gốc riêng. Nghĩa đen của nó là "phương pháp tính toán", và theo một giải thích trong nguồn, từ này bắt nguồn từ những viên đá nhỏ dùng để đếm. Leibniz là người đầu tiên quảng bá từ này theo nghĩa hiện đại. Ông viết cuốn Historia et origo calculi differentialis một hai năm trước khi qua đời. Còn phép tính tích phân lúc đầu được gọi là "quadrature", như trong tác phẩm De quadratura của Newton.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính đạo hàmĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm hàm ẩn (Implicit Differentiation)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính đạo hàmĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm hàm ẩn (Implicit Differentiation)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđạo hàmderivative giới hạnlimit

Dẫn tớiLeads tođạo hàm hàm ẩnimplicit differentiation tốc độ biến thiên liên hệrelated rates

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

nguyên hàmantiderivative

Khác nhau ở đâuHow they differPhép lấy đạo hàm đi từ

F(x)

sang

F'(x)

và cho đúng một kết quả. Phép tìm nguyên hàm đi ngược lại và cho cả một họ hàm hơn kém nhau hằng số

C

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

f'(x)

và hỏi

f(x)

thì phải tìm nguyên hàm, đừng lấy đạo hàm thêm lần nữa; nhớ cộng

+C

hoặc dùng điều kiện đầu.

vi phândifferential

Khác nhau ở đâuHow they differPhép lấy đạo hàm là quá trình tìm

f'(x)

, tức tỉ số

\dfrac{dy}{dx}

. Vi phân

dy = f'(x)\,dx

là lượng thay đổi xấp xỉ của

y

khi

x

đổi một lượng nhỏ

dx

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi ước lượng độ thay đổi của

y

thì cần

dy = f'(x)\,dx

, chứ không chỉ dừng ở

f'(x)

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 6, 18, 187.