AP Calculus BCAP Calculus AB

tốc độ biến thiên liên hệrelated rates

related ratesVietnamese: tốc độ biến thiên liên hệ

Tốc độ biến thiên liên hệ (related rates) là bài toán tìm tốc độ thay đổi theo thời gian của một đại lượng từ tốc độ đã biết của đại lượng khác liên quan.Related rates is the type of problem in which you find how fast one quantity is changing with respect to time from the known rate of change of another quantity linked to it.

Trực giác: Thổi hơi vào bóng bay đều tay, bán kính bóng vẫn tăng chậm dần khi bóng to ra: hai tốc độ gắn với nhau qua công thức thể tích.Intuition: When you blow air into a balloon at a steady rate, the radius grows more and more slowly as the balloon gets bigger: the two rates are linked through the volume formula.

Công thức chínhKey formula

\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\,\dfrac{dr}{dt}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tốc độ biến thiên liên hệ dùng khi các đại lượng cùng đổi theo thời gian $t$ và gắn với nhau bởi một phương trình. Ta lấy đạo hàm hai vế theo $t$ (quy tắc dây chuyền) để suy ra tốc độ khó đo từ tốc độ đo được. Với quả cầu bán kính $r$ và thể tích $V$ , tốc độ tăng của $V$ bằng diện tích mặt cầu nhân tốc độ tăng của $r$ .

Thứ tự giải: viết phương trình, lấy đạo hàm, rồi mới thay số. Chỉ hằng số thật sự (như chiều dài cái thang) mới thay từ đầu. Đại lượng đang tăng có đạo hàm dương, đang giảm có đạo hàm âm. Đơn vị đáp số là đơn vị đại lượng chia đơn vị thời gian.

Related rates problems apply when several quantities change with time $t$ and are tied together by an equation. Differentiating both sides of that equation with respect to $t$ (the chain rule) lets you find a rate that is hard to measure from a rate that is known. For a sphere with radius $r$ and volume $V$ , the rate at which $V$ increases equals the surface area times the rate at which $r$ increases.

Solve in this order: write the equation, differentiate, and only then substitute numbers. Substitute at the start only for true constants (such as the length of a ladder). A quantity that is increasing has a positive derivative, and one that is decreasing has a negative derivative. The units of the answer are the units of the quantity divided by the units of time.

Ký hiệuNotation

\dfrac{dV}{dt}

\dfrac{dr}{dt}

\dfrac{dh}{dt}

lần lượt là tốc độ thay đổi theo thời gian

t

của thể tích, bán kính và chiều cao.

Đơn vịUnitsĐơn vị của đại lượng chia cho đơn vị thời gian, ví dụ $\text{cm}^3/\text{s}$, $\text{m/min}$.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\dfrac{dV}{dt}}=\htmlClass{fp-1}{4\pi r^2}\,\htmlClass{fp-2}{\dfrac{dr}{dt}}

Dùng khi hai đại lượng cùng đổi theo thời gian: đạo hàm hệ thức thể tích hình cầu theo $t$ trước, thay số sau.Use this when two quantities change with time: differentiate the sphere volume formula with respect to $t$ first, then substitute numbers.

Trong đóWhere

V

thể tích quả bóng, là hàm của thời gian — cm³

r

bán kính quả bóng, cũng là hàm của thời gian — cm

t

thời gian, biến độc lập mà ta đạo hàm theo — s

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Không thay số cho đại lượng đang biến thiên trước khi đạo hàm.

Với $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ và bán kính $r$ đang đổi, thay $r=5$ trước thì $V$ thành số cố định, đạo hàm bằng $0$ . Hãy đạo hàm theo $t$ trước, rồi mới thay $r=5$ .

Đạo hàm của $r^2$ theo $t$ là $2r\,\frac{dr}{dt}$ , không phải $2r$ .

Vì $r$ đổi theo $t$ nên phải dùng quy tắc dây chuyền. Quên $\frac{dr}{dt}$ là mất đúng đại lượng cần tìm.

Đại lượng đang giảm có tốc độ biến thiên âm.

Gọi $y$ là độ cao đầu trên của thang. Thang trượt xuống $2$ m/s thì $\frac{dy}{dt}=-2$ . Quên dấu âm sẽ ra kết luận ngược chiều thực tế.

Do not substitute a value for a changing quantity before differentiating.

With $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ and a changing radius $r$ , substituting $r=5$ first turns $V$ into a constant, whose derivative is $0$ . Differentiate with respect to $t$ first, then substitute $r=5$ .

The derivative of $r^2$ with respect to $t$ is $2r\,\frac{dr}{dt}$ , not $2r$ .

Because $r$ changes with $t$ , the chain rule is required. Dropping $\frac{dr}{dt}$ removes the very rate you are trying to find.

A quantity that is decreasing has a negative rate of change.

Let $y$ be the height of the top of a ladder. If the ladder slides down at $2$ m/s, then $\frac{dy}{dt}=-2$ . Forgetting the negative sign leads to a conclusion that contradicts the actual motion.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết riêng từng dòng: hệ thức, đạo hàm hai vế theo thời gian $t$ , rồi mới thay số.

Câu tự luận chấm theo từng bước. Chỉ ghi đáp số, hoặc thay số lẫn vào phép đạo hàm, dễ mất điểm dù tính đúng.

Đáp số phải có đơn vị và nói rõ đại lượng đang tăng hay giảm.

Viết "thể tích tăng với tốc độ $12\pi$ cm³/phút", không chỉ ghi $12\pi$ . Thiếu đơn vị có thể mất điểm. Đơn vị không khớp cho thấy có thể sai ở bước đạo hàm hoặc thay số.

Write the equation, the derivative of both sides with respect to time $t$ , and the substitution on separate lines.

Free-response questions are scored step by step. Giving only a final answer, or mixing substitution into the differentiation, can cost points even when the arithmetic is correct.

Include units in your answer and state whether the quantity is increasing or decreasing.

Write "the volume is increasing at a rate of $12\pi$ cm³/min," not just $12\pi$ . Missing units can cost points. A unit that does not match suggests an error in the differentiation or substitution step.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

ít nhất từ 1836 (các bài toán này xuất hiện trong bối cảnh cải cách giảng dạy giải tích thế kỷ 19)Gottfried Wilhelm LeibnizIsaac Newton

Cuối thế kỷ 17, Newton và Leibniz xây dựng phép tính vi phân; kí hiệu

dy/dx

của Leibniz tiện dùng quy tắc dây chuyền, công cụ chủ chốt của dạng toán.

In the late 17th century, Newton and Leibniz developed differential calculus. Leibniz's

dy/dx

notation makes the chain rule, the key tool for this type of problem, convenient to use.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi này mô tả đúng bản chất của bài toán. Trong một tình huống thực tế, nhiều đại lượng thường ràng buộc lẫn nhau, chẳng hạn bán kính và thể tích của một quả bóng đang phình lên. Vì vậy, khi một đại lượng thay đổi theo thời gian thì các đại lượng còn lại cũng thay đổi theo. Các tốc độ biến thiên (rates) ấy do đó có liên hệ (related) với nhau. Việc cần làm là lấy đạo hàm hai vế của hệ thức giữa các đại lượng theo thời gian, và bước này đòi hỏi quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Cần nói rõ rằng các nguồn đã đọc không ghi ai là người đặt ra cụm từ này hay đặt vào năm nào. Cách giải thích trên chỉ dựa vào định nghĩa của dạng toán. Cũng nên phân biệt với từ "calculus" trong tên môn học. Từ này xuất phát từ tiếng Latin, nghĩa là "viên sỏi nhỏ", vì người xưa dùng sỏi để đếm và tính trên bàn tính, nên về sau từ này mang nghĩa là một phương pháp tính toán.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn tốc độ biến thiên liên quan (Related Rates)Ứng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiải bài toán related rates: thang trượt xuống tườngỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc dây chuyền (đạo hàm hàm hợp)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn tốc độ biến thiên liên quan (Related Rates)Ứng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiải bài toán related rates: thang trượt xuống tườngỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc dây chuyền (đạo hàm hàm hợp)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttốc độ biến thiên tức thờiinstantaneous rate of change

Dẫn tớiLeads tovận tốcvelocity

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

bài toán tối ưuoptimization problem

Khác nhau ở đâuHow they differTốc độ biến thiên liên hệ tìm

\dfrac{dy}{dt}

tại một thời điểm cụ thể từ

\dfrac{dx}{dt}

đã cho. Bài toán tối ưu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất bằng cách cho

f'(x)=0

Hay nhầm khiMixed up whenCả hai đều có hình vẽ và phương trình liên hệ. Nếu đề cho một tốc độ và hỏi tốc độ khác "tại thời điểm" nào đó thì đó là tốc độ biến thiên liên hệ; nếu hỏi "lớn nhất" hoặc "nhỏ nhất" thì là tối ưu.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 6, 277, 279.