AP Calculus BCAP Calculus AB

tốc độ biến thiên tức thờiinstantaneous rate of change

instantaneous rate of changeVietnamese: tốc độ biến thiên tức thời

Tốc độ biến thiên tức thời (instantaneous rate of change) là mức độ một đại lượng thay đổi theo biến số tại một điểm, bằng đạo hàm tại điểm đó.The instantaneous rate of change is how fast a quantity changes with respect to its variable at a single point, and it equals the derivative at that point.

Trực giác: Kim đồng hồ xe máy chỉ xe đang chạy nhanh bao nhiêu ngay lúc này, khác với lấy cả quãng đường chia cho cả thời gian.Intuition: A motorcycle's speedometer shows how fast you are going right now, which is different from dividing the total distance by the total time.

Công thức chínhKey formula

f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tốc độ biến thiên tức thời của hàm số $y=f(x)$ tại $x=a$ cho biết $y$ đang thay đổi nhanh bao nhiêu đúng tại $x=a$ . Giá trị này chính là đạo hàm $f'(a)$ , nếu đạo hàm tồn tại.

Ví dụ: với $f(x)=x^2$ , $a=3$ và $h$ là số khác $0$ rất nhỏ, tốc độ trung bình từ $3$ đến $3+h$ là $\frac{(3+h)^2-9}{h}=6+h$ . Cho $h$ càng gần $0$ thì giá trị này càng gần $6$ , nên $f'(3)=6$ . Về hình học, $f'(a)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $a$ . Nếu $s=f(t)$ là vị trí trên đường thẳng tại thời điểm $t$ thì $f'(a)$ là vận tốc, còn tốc độ là $|f'(a)|$ .

The instantaneous rate of change of a function $y=f(x)$ at $x=a$ tells how fast $y$ is changing exactly at $x=a$ . It equals the derivative $f'(a)$ , provided the derivative exists.

Example: let $f(x)=x^2$ , $a=3$ , and let $h$ be a very small nonzero number. The average rate of change from $3$ to $3+h$ is $\frac{(3+h)^2-9}{h}=6+h$ . As $h$ gets closer to $0$ , this value gets closer to $6$ , so $f'(3)=6$ . Geometrically, $f'(a)$ is the slope of the tangent line at the point with $x$ -coordinate $a$ . If $s=f(t)$ gives position along a line at time $t$ , then $f'(a)$ is the velocity and the speed is $|f'(a)|$ .

Ký hiệuNotation

• $f'(a)$ , $\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=a}$
•với chuyển động thẳng: $v(t)=s'(t)$

Đơn vịUnitsĐơn vị của $y$ trên đơn vị của $x$ (ví dụ: m/s, người/năm, °C/phút)

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

f'(a)=\htmlClass{fp-2}{\lim_{h\to 0}\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{f(a+h)-f(a)}}{h}}}

Dùng khi tìm tốc độ tức thời hay hệ số góc tiếp tuyến tại $x=a$ . Với bảng số liệu, lấy trung bình hai tốc độ trung bình kề $a$ .Use this to find the instantaneous rate of change or the tangent slope at $x=a$ . With a data table, average the two average rates of change on either side of $a$ .

Trong đóWhere

f'(a)

tốc độ biến thiên tức thời của

y=f(x)

theo

x

tại

x=a

, cũng là đạo hàm của

f

tại

a

— đơn vị của

y

trên đơn vị của

x

(ví dụ m/s)

a

giá trị của

x

tại điểm đang xét

h

số gia của

x

, là khoảng cách từ

a

đến điểm lân cận

a+h

;

h

có thể dương hoặc âm nhưng khác

0

f(a+h)-f(a)

số gia của

y

ứng với số gia

h

của

x

f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

Dạng tương đương với $x=a+h$ . Dùng khi đề cho điểm lân cận $x$ thay vì số gia $h$ , hoặc khi xét cát tuyến qua $(a,f(a))$ và $(x,f(x))$ .This is the equivalent form with $x=a+h$ . Use it when a problem gives a nearby point $x$ instead of the increment $h$ , or when you work with the secant line through $(a,f(a))$ and $(x,f(x))$ .

Trong đóWhere

x

điểm lân cận

a

, được cho tiến dần đến

a

f(x)-f(a)

độ thay đổi của giá trị hàm khi đi từ

a

đến

x

x-a

độ thay đổi tương ứng của biến

x

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Tốc độ tức thời khác tốc độ trung bình.

Tức thời là độ dốc tiếp tuyến. Trung bình trên $[a,b]$ là độ dốc đoạn thẳng nối hai điểm của đồ thị có hoành độ $a$ và $b$ , bằng $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Hai giá trị này nói chung khác nhau.

Hỏi tốc độ tức thời tại $x=a$ thì tính $f'(a)$ .

Không phải $f(a)$ . Nhiều bạn thay thẳng $a$ vào hàm rồi lấy giá trị hàm làm đáp số. Phải lấy đạo hàm trước, rồi mới thay $a$ vào $f'(x)$ .

The instantaneous rate of change is not the same as the average rate of change.

The instantaneous rate is the slope of the tangent line, while the average rate on $[a,b]$ is the slope of the secant line through the graph points with $x$ -coordinates $a$ and $b$ , namely $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . In general, the two values differ.

To find the instantaneous rate of change at $x=a$ , compute $f'(a)$ , not $f(a)$ .

Many students substitute $a$ directly into the function and report that value as the answer. Differentiate first, then substitute $a$ into $f'(x)$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Ghi dòng $f'(a)=\dots$ và đơn vị khi đề thực tế.

Giám khảo chấm dòng này. Đừng chỉ ghi số cuối. Ví dụ: ghi $f'(3)=-1$ mét/giây, rồi kết luận bằng lời.

Đề cho đồ thị: tiếp tuyến cho tốc độ tức thời.

Đoạn nối hai điểm cho tốc độ trung bình. Giả sử tiếp tuyến tại một điểm nằm giữa hai đầu mút song song với đoạn nối hai đầu mút. Khi đó hai tốc độ bằng nhau.

Write the line $f'(a)=\dots$ with units in applied problems, and do not give only the final number.

Graders look for this line. For example, write $f'(3)=-1$ meters per second, then state your conclusion in words.

On a graph, the tangent line gives the instantaneous rate, and the secant line between two points gives the average rate.

If the tangent at some point between the endpoints is parallel to the secant through the endpoints, the two rates are equal.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thế kỷ 17ArchimedesPierre de FermatIsaac BarrowIsaac NewtonGottfried Wilhelm LeibnizAbu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni

Những năm 1665–1666, Newton xây dựng phương pháp thông lượng, coi vận tốc là tốc độ biến thiên tức thời của vị trí, vì tốc độ tại một khoảnh khắc rất khó nắm bắt.

In 1665–1666, Newton developed his method of fluxions, treating velocity as the instantaneous rate of change of position, because speed at a single moment is hard to pin down.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cụm từ "tức thời" (instantaneous) đặt khái niệm này đối lập với tốc độ biến thiên trung bình. Trung bình là đại lượng hữu hạn, tính được trên cả một khoảng. Còn tức thời là tốc độ tại đúng một thời điểm, vốn khó nắm bắt. Việc chuyển từ trung bình sang tức thời chính là điểm khởi đầu của toàn bộ phép tính vi phân. Về mặt kĩ thuật, Fermat từ năm 1629 đã so sánh giá trị hàm số tại các điểm lân cận, tức là tính một tỉ sai phân (difference quotient) rồi cho nó bằng không để tìm cực trị. Newton thì gắn ý niệm này với vận tốc, còn Leibniz đưa ra kí hiệu $\dfrac{dy}{dx}$ , vẫn được dùng đến ngày nay.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo h về 0 — cát tuyến xoay dần thành tiếp tuyến tại x = 3

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiễn giải ý nghĩa đạo hàm trong ngữ cảnhỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiễn giải ý nghĩa đạo hàm trong ngữ cảnhỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstgiới hạnlimit

Dẫn tớiLeads tovận tốc tức thờiinstantaneous velocity

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tốc độ biến thiên trung bìnhaverage rate of change

Khác nhau ở đâuHow they differTốc độ biến thiên tức thời đo sự thay đổi tại đúng một điểm, là hệ số góc của tiếp tuyến. Tốc độ biến thiên trung bình đo trên cả một khoảng, là hệ số góc của cát tuyến.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho bảng giá trị rồi hỏi "tại t = 3": nếu chỉ có hai mốc thời gian thì chỉ tính được giá trị trung bình, còn muốn có giá trị tức thời thì phải có đạo hàm hoặc ước lượng bằng khoảng rất nhỏ quanh điểm đó.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 177–178, 182.