AP Calculus BCAP Calculus AB

cát tuyếnsecant line

secant lineVietnamese: cát tuyến

Cát tuyến (secant line) là đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt, có hệ số góc bằng tốc độ biến thiên trung bình giữa hai điểm đó.A secant line is a line that intersects the graph of a function at two distinct points; its slope equals the average rate of change between those two points.

Trực giác: Hệ số góc cát tuyến giống tốc độ trung bình giữa hai trạm xe buýt: lấy quãng đường chia thời gian, chưa cho biết tốc độ đúng tại một trạm.Intuition: The slope of a secant line is like the average speed between two bus stops: distance divided by time, which does not tell you the exact speed at either stop.

Công thức chínhKey formula

m_{\text{sec}}=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Cát tuyến của đồ thị $y=f(x)$ là đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt trên đồ thị. Gọi $P(a;f(a))$ là điểm cố định và $Q(x;f(x))$ là điểm khác, với $x\neq a$ . Hệ số góc của $PQ$ là tỉ sai phân $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ , cũng là tốc độ biến thiên trung bình. Với $f(x)=x^2$ , $a=1$ , $x=3$ , hệ số góc là $\dfrac{9-1}{3-1}=4$ .

Cho $Q$ tiến về $P$ thì hệ số góc cát tuyến gần dần hệ số góc tiếp tuyến tại $P$ . Hệ số góc tiếp tuyến chính là đạo hàm $f'(a)$ , nếu hàm có đạo hàm tại $a$ . Với $x=1{,}1$ ta được $\dfrac{1{,}21-1}{0{,}1}=2{,}1$ , gần $f'(1)=2$ .

A secant line of the graph of $y=f(x)$ is a line passing through two distinct points on the graph. Let $P(a;f(a))$ be a fixed point and $Q(x;f(x))$ another point, with $x\neq a$ . The slope of line $PQ$ is the difference quotient $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ , which is also the average rate of change. For $f(x)=x^2$ , $a=1$ , $x=3$ , the slope is $\dfrac{9-1}{3-1}=4$ .

As $Q$ moves toward $P$ , the slope of the secant line approaches the slope of the tangent line at $P$ . That tangent slope is the derivative $f'(a)$ , provided $f$ is differentiable at $a$ . For $x=1.1$ we get $\dfrac{1.21-1}{0.1}=2.1$ , which is close to $f'(1)=2$ .

Ký hiệuNotation

• $m_{\text{sec}}$ hoặc $m_{PQ}$ là hệ số góc cát tuyến
• $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ là tốc độ biến thiên trung bình của $f$ trên $[a,b]$
• $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ là dạng tỉ sai phân dùng $h=x-a$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

m_{\text{sec}}=\htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{f(x)-f(a)}}{\htmlClass{fp-1}{x-a}}}

Dùng khi cần hệ số góc đường thẳng qua hai điểm trên đồ thị, hay tốc độ thay đổi trung bình trên đoạn từ $a$ đến $x$ ( $x\ne a$ ).Use this to find the slope of the line through two points on a graph, or the average rate of change over the interval from $a$ to $x$ ( $x\ne a$ ).

Trong đóWhere

m_{\text{sec}}

hệ số góc của cát tuyến

f(a)

giá trị của hàm tại điểm cố định

a

, tung độ của điểm đầu

f(x)

giá trị của hàm tại điểm thứ hai, tung độ của điểm sau

x-a

khoảng cách theo phương ngang giữa hai điểm, phải khác

0

m=\htmlClass{fp-2}{\lim_{\htmlClass{fp-1}{x\to a}}\htmlClass{fp-0}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}}

Dùng để đi từ cát tuyến sang tiếp tuyến: cho $x\to a$ để được $f'(a)$ , nếu giới hạn tồn tại.Use this to move from the secant line to the tangent line: let $x\to a$ to obtain $f'(a)$ , provided the limit exists.

Trong đóWhere

m

hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

a

a

hoành độ của điểm cố định mà ta tìm tiếp tuyến

x

hoành độ của điểm thứ hai, cho tiến dần tới

a

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Nói chung hệ số góc cát tuyến không bằng $f'(a)$ .

Nó là tốc độ trung bình trên cả đoạn, chỉ gần $f'(a)$ khi $Q$ rất gần $P$ . Riêng đồ thị là đường thẳng thì hai giá trị luôn bằng nhau.

Cát tuyến không nhất thiết chỉ cắt đồ thị tại hai điểm $P$ , $Q$ .

Với $y=x^3$ , cát tuyến qua $P(-1;-1)$ và $Q(1;1)$ là $y=x$ . Đường này còn đi qua $(0;0)$ .

In general, the slope of a secant line does not equal $f'(a)$ .

It is the average rate of change over the whole interval and only approximates $f'(a)$ when $Q$ is very close to $P$ . The two values are always equal only when the graph is itself a line.

A secant line does not necessarily meet the graph only at $P$ and $Q$ .

For $y=x^3$ , the secant line through $P(-1;-1)$ and $Q(1;1)$ is $y=x$ , and this line also passes through $(0;0)$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Đề cho bảng giá trị: với hai giá trị $x=a$ và $x=b$ trong bảng, tính $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

Phải trừ cùng thứ tự ở tử và mẫu. Đổi thứ tự một bên thì kết quả bị sai dấu.

Bài thực tế: ghi đơn vị và khoảng thời gian.

Đơn vị là đơn vị của đại lượng đó chia cho đơn vị thời gian, ví dụ m/s. Viết "trung bình trên khoảng từ … đến …" để khỏi nhầm với tốc độ tức thời.

Given a table of values, use two entries $x=a$ and $x=b$ and compute $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

Subtract in the same order in the numerator and denominator. Reversing the order in only one of them gives the wrong sign.

In applied problems, include units and the time interval.

The units are the units of the quantity divided by the units of time, for example m/s. Write "average over the interval from … to …" so the answer is not mistaken for an instantaneous rate.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Archimedes

Từ hình học đường tròn (đường thẳng cắt tại hai điểm), cát tuyến được Archimedes dùng thời Hy Lạp hóa để tính diện tích miền giới hạn bởi một parabol.

The secant line comes from the geometry of circles (a line that cuts a circle at two points). Archimedes used it in the Hellenistic period to find the area of a region bounded by a parabola.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi của cát tuyến mô tả đúng hành động của nó: đường thẳng này "cắt" đường tròn tại hai điểm. Cách đặt tên ấy đối lập với tiếp tuyến, vốn chỉ "chạm" vào đường tròn tại một điểm. Hai từ này còn xuất hiện trong lượng giác. Hàm tang và hàm sec mang tên như vậy vì chúng liên hệ với tiếp tuyến và cát tuyến của đường tròn đơn vị, nơi một điểm ở ngoài đường tròn vẽ ra một tiếp tuyến và một cát tuyến đi qua tâm. Vì vậy, nghĩa "cắt" của cát tuyến trong giải tích vẫn là nghĩa hình học gốc: đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn giải tích: biến thiên có xảy ra tại một khoảnh khắc?Giới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng đạo hàm tại một điểm từ bảng số liệu, đồ thị và máy tínhĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn giải tích: biến thiên có xảy ra tại một khoảnh khắc?Giới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termƯớc lượng đạo hàm tại một điểm từ bảng số liệu, đồ thị và máy tínhĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthệ số gócslope đồ thị của hàm sốgraph of a function

Dẫn tớiLeads tođạo hàmderivative định lý giá trị trung bìnhmean value theorem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tiếp tuyến (tangent line)tangent line

Khác nhau ở đâuHow they differCát tuyến cắt đồ thị tại hai điểm và cho tốc độ biến thiên trung bình. Tiếp tuyến chạm đồ thị tại một điểm và cho tốc độ biến thiên tức thời.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho hai điểm

x=a

và

x=b

rồi hỏi hệ số góc thì đó là cát tuyến, không phải

f'(a)

; chỉ khi cho một điểm và có

h\to 0

mới là tiếp tuyến.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 35–36, 110.