AP Calculus BCAP Calculus AB

định lý giá trị trung bìnhmean value theorem

mean value theoremVietnamese: định lý giá trị trung bình

Định lý giá trị trung bình (mean value theorem) là định lý: hàm liên tục trên đoạn, khả vi bên trong thì có điểm đạo hàm bằng độ dốc trung bình.The mean value theorem states that if a function is continuous on a closed interval and differentiable on the open interval, then at some point its derivative equals the average rate of change over the interval.

Trực giác: Xe đi hết quãng đường với tốc độ trung bình 10 km/h thì có lúc đồng hồ tốc độ chỉ đúng 10 km/h.Intuition: If a car covers a trip at an average speed of 10 km/h, then at some moment the speedometer reads exactly 10 km/h.

Công thức chínhKey formula

f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Cho hàm $f$ liên tục trên $[a,b]$ và có đạo hàm trên $(a,b)$ . Khi đó có ít nhất một điểm $c$ trong $(a,b)$ mà tiếp tuyến tại $c$ song song với đoạn thẳng nối hai đầu đồ thị. Ví dụ $f(x)=x^2$ trên $[0,2]$ : độ dốc trung bình là $\dfrac{4-0}{2-0}=2$ , và $f'(1)=2$ .

Thiếu một trong hai điều kiện thì kết luận có thể sai. Với $f(x)=|x|$ trên $[-1,2]$ , độ dốc trung bình là $\dfrac13$ , nhưng $f'(x)$ chỉ bằng $-1$ hoặc $1$ khi $x\neq 0$ . Nếu $f(a)=f(b)$ , đây là định lý Rolle.

Let $f$ be continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$ . Then there is at least one point $c$ in $(a,b)$ at which the tangent line is parallel to the secant line through the endpoints of the graph. For example, for $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ , the average rate of change is $\dfrac{4-0}{2-0}=2$ , and $f'(1)=2$ .

If either condition fails, the conclusion can fail. For $f(x)=|x|$ on $[-1,2]$ , the average rate of change is $\dfrac13$ , but $f'(x)$ equals only $-1$ or $1$ for $x\neq 0$ . When $f(a)=f(b)$ , the theorem reduces to Rolle's theorem.

Ký hiệuNotation

• $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ với $c\in(a,b)$
•điều kiện: $f$ liên tục trên $[a,b]$ , khả vi trên $(a,b)$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{f'(c)}=\htmlClass{fp-3}{\dfrac{\htmlClass{fp-1}{f(b)-f(a)}}{\htmlClass{fp-2}{b-a}}}

Dùng khi $f$ liên tục trên $[a,b]$ , khả vi trên $(a,b)$ : chứng minh có $c$ để tốc độ tức thời bằng tốc độ trung bình.Use this when $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$ : it guarantees a point $c$ where the instantaneous rate of change equals the average rate of change.

Trong đóWhere

f

hàm số đang xét, liên tục trên

[a,b]

và khả vi trên

(a,b)

a,\ b

hai đầu mút của đoạn đang xét, với

a<b

c

số nằm trong khoảng

(a,b)

mà định lý đảm bảo tồn tại, tại đó đạo hàm bằng tốc độ biến thiên trung bình

f'(c)

đạo hàm của

f

tại

c

, chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

c

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Định lý chỉ đảm bảo có ít nhất một điểm $c$ , không đảm bảo $c$ duy nhất.

Nó cũng không cho biết $c$ bằng bao nhiêu. Muốn đếm số điểm $c$ , hãy giải $f'(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ trong $(a,b)$ .

Phải kiểm tra cả hai điều kiện: liên tục trên $[a,b]$ và có đạo hàm trên $(a,b)$ .

Hàm $|x|$ trên $[-1,1]$ liên tục nhưng không có đạo hàm tại $0$ , nên không áp dụng được. Điểm hỏng nằm ngoài đoạn đang xét thì không cản.

Phải chia cho $b-a$ , không chỉ lấy $f(b)-f(a)$ .

Lỗi này hay gặp khi đọc số từ bảng. Ví dụ $f(1)=3$ và $f(5)=11$ thì tỉ số là $\dfrac{11-3}{5-1}=2$ .

The theorem guarantees at least one point $c$ , not a unique one.

It also does not tell you the value of $c$ . To count the possible values of $c$ , solve $f'(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ on $(a,b)$ .

Both conditions must be checked: continuity on $[a,b]$ and differentiability on $(a,b)$ .

The function $|x|$ on $[-1,1]$ is continuous but not differentiable at $0$ , so the theorem does not apply. A trouble spot outside the interval under consideration does not matter.

You must divide by $b-a$ , not just compute $f(b)-f(a)$ .

This error is common when reading values from a table. For example, if $f(1)=3$ and $f(5)=11$ , the ratio is $\dfrac{11-3}{5-1}=2$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết cả hai điều kiện, kèm đoạn và khoảng cụ thể.

Ví dụ: " $f$ liên tục trên $[a,b]$ và có đạo hàm trên $(a,b)$ ". Viết chung chung kiểu "vì $f$ trơn" thì mất điểm lập luận dù tính đúng.

Viết phương trình $f'(c)=$ tỉ số đã thay số, rồi mới kết luận có $c\in(a,b)$ .

Nếu dùng máy tính giải, làm tròn nghiệm đến ba chữ số thập phân. Nhớ kiểm tra nghiệm nằm trong khoảng mở $(a,b)$ .

State both conditions, naming the specific closed and open intervals.

For example, write " $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$ ." A vague justification such as "since $f$ is smooth" loses reasoning points even if the computation is correct.

Write the equation $f'(c)=$ the ratio with the numbers substituted, and only then conclude that some $c\in(a,b)$ exists.

If you solve with a calculator, round the solution to three decimal places. Check that the solution lies in the open interval $(a,b)$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1823 (dạng hiện đại); các mốc trước đó: thế kỷ 14, 1691, 1797ParameshvaraMichel RolleJoseph-Louis LagrangeAugustin Louis Cauchy

Rolle chứng minh một dạng hẹp cho đa thức năm 1691; Cauchy phát biểu và chứng minh dạng hiện đại năm 1823, nối tốc độ thay đổi trung bình với đạo hàm.

Rolle proved a restricted form for polynomials in 1691; Cauchy stated and proved the modern form in 1823, linking average rate of change to the derivative.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "trung bình" (mean) trong tên gọi nói về tốc độ thay đổi trung bình (average rate of change) của hàm số trên đoạn $[a,b]$ , tức tỉ số $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Định lý khẳng định tồn tại một điểm $c$ trong $(a,b)$ mà tại đó $f'(c)$ , tức tốc độ thay đổi tức thời (instantaneous rate of change), đúng bằng giá trị trung bình ấy. Vì vậy, "giá trị trung bình" ở đây chính là giá trị mà đạo hàm phải nhận tại một điểm nào đó. Tên "định lý giá trị trung bình Lagrange" còn được dùng song song, do tên Lagrange gắn với định lý này trong nhiều giáo trình. Các nguồn tôi đọc không ghi lại ai là người đầu tiên đặt ra chính cái tên "mean value", nên phần này chỉ giải thích ý nghĩa của tên chứ không kể lịch sử đặt tên.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung bình (MVT)Ứng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhoảng đồng biến & nghịch biến của hàm sốỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung bình (MVT)Ứng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhoảng đồng biến & nghịch biến của hàm sốỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttính liên tụccontinuity

Dẫn tớiLeads tovận tốc tức thờiinstantaneous velocity

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

định lý giá trị trung gianintermediate value theorem

Khác nhau ở đâuHow they differĐịnh lý giá trị trung bình nói về đạo hàm và cần hàm khả vi. Định lý giá trị trung gian nói về chính giá trị hàm và chỉ cần hàm liên tục.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "chứng minh tồn tại

c

": nếu cần

f'(c)

bằng một số thì dùng giá trị trung bình, nếu cần

f(c)

bằng một số thì dùng giá trị trung gian.

định lý giá trị trung bình cho tích phânmean value theorem for integrals

Khác nhau ở đâuHow they differĐịnh lý giá trị trung bình cho đạo hàm: tồn tại

c

để

f'(c)

bằng tốc độ biến thiên trung bình. Bản cho tích phân: tồn tại

c

để

f(c)

bằng giá trị trung bình của hàm.

Hay nhầm khiMixed up whenCả hai đều cho một điểm

c

trong

(a,b)

và cùng chia cho

b-a

, nên dễ nhầm giữa

f'(c)

và

f(c)

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 6, 18, 320.