AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số đồng biếnincreasing function

increasing functionVietnamese: hàm số đồng biến

Hàm số đồng biến (increasing function) trên một khoảng là hàm mà lấy hai điểm bất kỳ trong khoảng, điểm bên phải luôn có giá trị hàm lớn hơn.An increasing function on an interval is a function for which, for any two points in the interval, the point on the right always has the larger function value.

Trực giác: Đi bộ lên dốc từ trái sang phải: càng đi tới, bạn càng ở chỗ cao hơn, không có đoạn nào bị tụt xuống.Intuition: Imagine walking uphill from left to right: the farther you go, the higher you are, and no stretch of the path ever drops back down.

Công thức chínhKey formula

\forall x_1,x_2\in I,\; x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số $f$ đồng biến trên khoảng $I$ nếu đồ thị luôn đi lên khi ta đi từ trái sang phải trong $I$ . Nói cách khác, với hai số $x_1<x_2$ bất kỳ trong $I$ thì $f(x_1)<f(x_2)$ . Vì vậy phải nêu rõ khoảng xét: $x^2$ nghịch biến trên $(-\infty,0]$ nhưng đồng biến trên $[0,+\infty)$ .

Nếu $f'(x)>0$ trên $I$ thì $f$ đồng biến. Nếu $f'(x)<0$ trên $I$ thì $f$ nghịch biến. Nếu chỉ đòi $f(x_1)\le f(x_2)$ thì hàm gọi là không giảm. Toán THPT dùng dấu $<$ (nghĩa chặt).

A function $f$ is an increasing function on an interval $I$ if its graph always rises as you move from left to right within $I$ . Equivalently, for any two numbers $x_1<x_2$ in $I$ , $f(x_1)<f(x_2)$ . Because of this, you must always specify the interval: $x^2$ is decreasing on $(-\infty,0]$ but increasing on $[0,+\infty)$ .

If $f'(x)>0$ on $I$ , then $f$ is increasing. If $f'(x)<0$ on $I$ , then $f$ is decreasing. If the condition is only $f(x_1)\le f(x_2)$ , the function is called nondecreasing. High school math uses the strict inequality $<$ .

Ký hiệuNotation

• $f'(x) > 0$ trên $I$ thì $f$ đồng biến trên $I$
•viết $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ với mọi $x_1, x_2 \in I$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-0}{\forall x_1,x_2\in I},\; \htmlClass{fp-1}{x_1<x_2} \Rightarrow \htmlClass{fp-2}{f(x_1)<f(x_2)}}

Dùng khi chứng minh trực tiếp từ định nghĩa rằng $f$ đồng biến trên $I$ . Dấu $\le$ chỉ cho hàm không giảm.Use this when proving directly from the definition that $f$ is increasing on $I$ . The sign $\le$ describes only a nondecreasing function.

Trong đóWhere

I

khoảng (hoặc đoạn, nửa khoảng) mà ta đang xét tính đồng biến

x_1,\,x_2

hai số bất kỳ thuộc

I

, với

x_1

nhỏ hơn

x_2

f(x_1),\,f(x_2)

giá trị của hàm số tại hai điểm đó

f'(x)>0 \text{ for all } x\in(a,b) \;\Rightarrow\; f \text{ is increasing on } (a,b)

Dùng khi xét dấu đạo hàm thay vì so sánh từng cặp điểm: $f'>0$ trên $(a,b)$ thì đồng biến. Chiều ngược lại không luôn đúng.Use this when checking the sign of the derivative instead of comparing every pair of points: if $f'>0$ on $(a,b)$ , then $f$ is increasing there. The converse is not always true.

Trong đóWhere

f'(x)

đạo hàm của

f

tại

x

, cho biết độ dốc của đồ thị

(a,b)

khoảng đang xét, trên đó

f

liên tục và có đạo hàm

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Đồng biến không cần $f'(x)>0$ tại mọi điểm.

Hàm $f(x)=x^3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ dù $f'(0)=0$ . Chỉ cần $f'\ge 0$ và $f'=0$ tại một số điểm rời rạc.

Vài giá trị tăng trong bảng chưa đủ để kết luận hàm đồng biến.

Giữa hai điểm của bảng, hàm vẫn có thể tăng rồi giảm. Chỉ kết luận khi đề cho hàm đồng biến, hoặc có đạo hàm dương.

An increasing function does not need $f'(x)>0$ at every point.

The function $f(x)=x^3$ is increasing on $\mathbb{R}$ even though $f'(0)=0$ . It is enough that $f'\ge 0$ and $f'=0$ only at isolated points.

A few increasing values in a table are not enough to conclude that a function is increasing.

Between two table entries, the function can still rise and then fall. Conclude that it is increasing only if the problem states so or the derivative is positive.

Mẹo phòng thiTần suất ra thi

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhoảng đồng biến & nghịch biến của hàm sốỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhoảng đồng biến & nghịch biến của hàm sốỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction đạo hàmderivative

Dẫn tớiLeads tocực trịlocal extremum định lý giá trị trung bìnhmean value theorem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số nghịch biếndecreasing function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm đồng biến có giá trị tăng khi

x

tăng, tức

f'(x)\ge 0

. Hàm nghịch biến có giá trị giảm khi

x

tăng, tức

f'(x)\le 0

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề cho đồ thị của

f'

thay vì của

f

: học sinh nhìn đồ thị

f'

đi lên rồi kết luận

f

đồng biến, trong khi phải xét

f'

nằm trên hay dưới trục hoành.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 51, 94–95.