AP Calculus BCAP Calculus AB

tiêu chuẩn đạo hàm cấp mộtfirst derivative test

first derivative testVietnamese: tiêu chuẩn đạo hàm cấp một

Tiêu chuẩn đạo hàm cấp một (first derivative test) là cách xét dấu đạo hàm ở hai phía điểm tới hạn để biết đó là cực đại, cực tiểu hay không phải cực trị.The first derivative test examines the sign of the derivative on both sides of a critical point to determine whether it is a local maximum, a local minimum, or neither.

Trực giác: Đi bộ qua đồi: đang lên rồi chuyển sang xuống là vừa qua đỉnh. Đang xuống rồi chuyển sang lên là vừa qua đáy thung lũng.Intuition: Imagine walking over a hill: if you were going uphill and then start going downhill, you have just passed the peak. If you were going downhill and then start going uphill, you have just passed the bottom of a valley.

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tiêu chuẩn đạo hàm cấp một (first derivative test) cho biết điểm tới hạn $c$ là cực đại, cực tiểu hay không phải cực trị, dựa vào dấu của $f'$ hai bên $c$ . Điểm tới hạn là điểm $c$ thuộc tập xác định của $f$ mà $f'(c)=0$ hoặc $f'(c)$ không tồn tại.

Giả sử $f$ liên tục tại $c$ . Ta xét dấu $f'$ ở các giá trị $x$ quanh $c$ , không tính chính $c$ . Nếu $f'$ đổi dấu từ dương sang âm thì $f$ có cực đại tại $c$ . Từ âm sang dương thì có cực tiểu. Không đổi dấu thì $c$ không phải cực trị. Ví dụ: $f(x)=x^2$ có $f'(x)=2x$ đổi từ âm sang dương tại $0$ , nên $x=0$ là cực tiểu.

The first derivative test uses the sign of $f'$ on either side of a critical point $c$ to decide whether $c$ is a local maximum, a local minimum, or not an extremum at all. A critical point is a point $c$ in the domain of $f$ where $f'(c)=0$ or $f'(c)$ does not exist.

Assume $f$ is continuous at $c$ . Check the sign of $f'$ for values of $x$ near $c$ , excluding $c$ itself. If $f'$ changes from positive to negative, $f$ has a local maximum at $c$ . If $f'$ changes from negative to positive, $f$ has a local minimum at $c$ . If $f'$ does not change sign, $c$ is not an extremum. For example, $f(x)=x^2$ has $f'(x)=2x$ , which changes from negative to positive at $0$ , so $x=0$ is a local minimum.

Ký hiệuNotation

• $f'(x)>0$ trên $(a,c)$ và $f'(x)<0$ trên $(c,b)$ cho cực đại địa phương tại $x=c$
• $f'(x)<0$ rồi $f'(x)>0$ cho cực tiểu địa phương
• $f'$ không đổi dấu thì không có cực trị.

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Có $f'(c)=0$ chưa chắc có cực trị tại $c$ .

Với $f(x)=x^3$ , $f'(0)=0$ nhưng $f'(x)=3x^2\ge 0$ ở hai phía của $0$ , nên không có cực trị. Phải xem $f'$ có đổi dấu không.

Chỉ giải $f'(x)=0$ là bỏ sót điểm tới hạn.

Điểm thuộc tập xác định mà $f'$ không tồn tại cũng có thể là cực trị. Ví dụ $f(x)=|x|$ có cực tiểu tại $x=0$ dù $f'(0)$ không tồn tại.

Phải xét dấu của $f'$ , không phải dấu của $f$ .

$f'$ đổi từ dương sang âm thì $f$ có cực đại. Từ âm sang dương thì $f$ có cực tiểu. Nhớ: $f'>0$ là đồng biến, $f'<0$ là nghịch biến.

$f'(c)=0$ does not guarantee an extremum at $c$ .

For $f(x)=x^3$ , $f'(0)=0$ , but $f'(x)=3x^2\ge 0$ on both sides of $0$ , so there is no extremum. What matters is whether $f'$ changes sign.

Solving only $f'(x)=0$ misses some critical points.

A point in the domain where $f'$ does not exist can also be an extremum. For example, $f(x)=|x|$ has a local minimum at $x=0$ even though $f'(0)$ does not exist.

The test depends on the sign of $f'$ , not the sign of $f$ .

If $f'$ changes from positive to negative, $f$ has a local maximum; if it changes from negative to positive, $f$ has a local minimum. Recall that $f'>0$ means $f$ is increasing and $f'<0$ means $f$ is decreasing.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Phải ghi rõ $f'$ đổi dấu thế nào tại điểm đang xét.

Chỉ ghi “ $x=2$ là cực đại” hoặc “ $f'(2)=0$ ” thì chưa đủ điểm. Câu mẫu: “ $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại $x=2$ , nên $f$ có cực đại tại $x=2$ .”

Cực trị chưa phải giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên $[a,b]$ .

Phải tính thêm $f$ tại hai đầu mút rồi so với giá trị tại các điểm tới hạn. Bỏ đầu mút là lỗi hay mất điểm.

State exactly how $f'$ changes sign at the point in question.

Writing only “ $x=2$ is a maximum” or “ $f'(2)=0$ ” will not earn full credit. A model sentence: “ $f'(x)$ changes from positive to negative at $x=2$ , so $f$ has a local maximum at $x=2$ .”

A local extremum is not necessarily the absolute maximum or minimum on $[a,b]$ .

You must also evaluate $f$ at both endpoints and compare those values with the values at the critical points. Skipping the endpoints is a common way to lose points.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhoảng đồng biến & nghịch biến của hàm sốỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhoảng đồng biến & nghịch biến của hàm sốỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđạo hàmderivative

Dẫn tớiLeads tocực trịlocal extremum phương pháp xét điểm ứng viêncandidates test

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tiêu chuẩn đạo hàm cấp haisecond derivative test

Khác nhau ở đâuHow they differTiêu chuẩn đạo hàm cấp một xét dấu

f'(x)

ở hai phía của điểm tới hạn. Tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai chỉ xét dấu

f''(c)

tại chính điểm đó.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi

f''(c)=0

hoặc

f'(c)

không tồn tại, tiêu chuẩn cấp hai không kết luận được, nên phải quay lại xét dấu

f'(x)

hai bên điểm tới hạn.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 326–327, 329.