AP Calculus BCAP Calculus AB

cực trị toàn cụcabsolute extremum

absolute extremumVietnamese: cực trị toàn cục

Còn gọi:Also called: absolute extrema · global extremum

Cực trị toàn cục (absolute extremum) là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất mà hàm số đạt được trên toàn bộ miền đang xét, so với mọi điểm khác trong miền đó.An absolute extremum is the greatest or least value a function takes on its entire domain of interest, compared with every other point in that domain.

Trực giác: Như đỉnh cao nhất của cả dãy núi, khác với mỏm đồi chỉ cao hơn vùng quanh nó.Intuition: Think of the highest peak in an entire mountain range, as opposed to a hilltop that is merely higher than the ground around it.

Công thức chínhKey formula

f(c)\ge f(x),\ \forall x\in D

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Cực trị toàn cục là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm $f$ trên cả miền đang xét. Giá trị lớn nhất là $f(c)$ khi $f(c)\ge f(x)$ với mọi $x$ trong miền. Giá trị nhỏ nhất thì ngược lại: $f(c)\le f(x)$ . Cực trị địa phương chỉ so với các giá trị $x$ quanh $c$ .

Nếu $f$ liên tục trên đoạn $[a,b]$ , định lý giá trị cực trị cho biết giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đều tồn tại. Khi đó, tính $f$ tại hai đầu mút và tại các điểm tới hạn trong $(a,b)$ . Số lớn nhất trong các kết quả là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất. Trên khoảng mở, cực trị có thể không tồn tại: $f(x)=x$ trên $(0,1)$ không có giá trị lớn nhất.

An absolute extremum is the greatest or least value of a function $f$ over the entire domain under consideration. The absolute maximum is $f(c)$ when $f(c)\ge f(x)$ for every $x$ in the domain; the absolute minimum is the reverse, $f(c)\le f(x)$ . A local extremum is compared only with values of $f$ at $x$ near $c$ .

If $f$ is continuous on the closed interval $[a,b]$ , the Extreme Value Theorem guarantees that both an absolute maximum and an absolute minimum exist. To find them, evaluate $f$ at the two endpoints and at the critical points in $(a,b)$ . The largest of these values is the absolute maximum, and the smallest is the absolute minimum. On an open interval, an extremum may fail to exist: $f(x)=x$ on $(0,1)$ has no absolute maximum.

Ký hiệuNotation

•Giá trị lớn nhất của $f$ trên $[a,b]$ là $\max_{[a,b]} f$ , giá trị nhỏ nhất là $\min_{[a,b]} f$
•đề AP thường hỏi "absolute maximum value" hoặc "absolute minimum value" của $f$ trên $[a,b]$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{f(c)}\ge \htmlClass{fp-1}{f(x)}},\ \htmlClass{fp-3}{\forall x\in D}

Dùng để phát biểu $f$ đạt giá trị lớn nhất tại $c$ trên $D$ ; đổi chiều bất đẳng thức cho giá trị nhỏ nhất.Used to state that $f$ attains its absolute maximum at $c$ on $D$ ; reverse the inequality for the absolute minimum.

Trong đóWhere

c

điểm thuộc miền xác định mà tại đó hàm đạt giá trị lớn nhất

D

tập đang xét, thường là miền xác định của

f

hoặc một khoảng như

[a,b]

f(c)

giá trị lớn nhất của hàm trên

D

M=\htmlClass{fp-2}{\max\{\htmlClass{fp-0}{f(a),\,f(b)}\,,\ \htmlClass{fp-1}{f(c_1),\dots,f(c_k)}\}}

Khi $f$ liên tục trên $[a,b]$ : so $f$ tại đầu mút và điểm tới hạn; đổi $\max$ thành $\min$ cho giá trị nhỏ nhất.When $f$ is continuous on $[a,b]$ , compare the values of $f$ at the endpoints and at the critical points; replace $\max$ with $\min$ for the absolute minimum.

Trong đóWhere

M

giá trị lớn nhất của

f

trên

[a,b]

a,\ b

hai đầu mút của đoạn đóng

c_1,\dots,c_k

các điểm tới hạn nằm trong khoảng

(a,b)

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Cực đại địa phương chưa chắc là giá trị lớn nhất trên cả miền.

Khi $f'$ đổi dấu từ dương sang âm tại $c$ , ta chỉ biết $f(c)$ lớn hơn các giá trị quanh nó. Điểm tới hạn khác hoặc đầu mút vẫn có thể cho giá trị lớn hơn.

Trên đoạn đóng, cực trị toàn cục có thể nằm ở đầu mút.

Giải $f'(x)=0$ rồi dừng là thiếu. Hàm $f(x)=x$ trên $[0,2]$ không có điểm tới hạn, nhưng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đều ở đầu mút. Luôn tính $f$ tại hai đầu mút.

Có hàm không có giá trị lớn nhất hoặc không có giá trị nhỏ nhất.

Định lý giá trị cực trị chỉ bảo đảm khi $f$ liên tục trên một đoạn đóng. Ví dụ $f(x)=1/x$ trên $(0,1]$ càng lớn khi $x$ càng gần $0$ , nên không có giá trị lớn nhất.

A local maximum is not necessarily the absolute maximum on the whole domain.

If $f'$ changes from positive to negative at $c$ , we only know that $f(c)$ is greater than the nearby values. Another critical point or an endpoint can still give a larger value.

On a closed interval, an absolute extremum can occur at an endpoint, so solving $f'(x)=0$ and stopping is not enough.

The function $f(x)=x$ on $[0,2]$ has no critical points, yet its absolute maximum and minimum both occur at endpoints. Always evaluate $f$ at both endpoints.

Some functions have no absolute maximum or no absolute minimum.

The Extreme Value Theorem guarantees them only when $f$ is continuous on a closed interval. For example, $f(x)=1/x$ on $(0,1]$ grows larger as $x$ approaches $0$ , so it has no absolute maximum.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Lập bảng gồm $x$ và $f(x)$ cho mọi ứng viên trước khi kết luận.

Ứng viên là điểm tới hạn trong miền và hai đầu mút. Bài AP cần câu kết luận đầy đủ, như "giá trị lớn nhất là $5$ tại $x=2$ ". Chỉ ghi đáp số sẽ mất điểm.

Ghi rõ $f$ liên tục trên đoạn đóng trước khi tìm cực trị.

Đây là điều kiện để định lý bảo đảm cực trị tồn tại. Với khoảng mở hoặc khoảng vô hạn, hãy lập bảng biến thiên và xét giới hạn ở hai đầu để chứng minh điểm tìm được là toàn cục.

Make a table of $x$ and $f(x)$ for every candidate before drawing a conclusion.

The candidates are the critical points in the domain and the two endpoints. An AP response needs a complete concluding statement, such as "the absolute maximum is $5$ at $x=2$ "; giving only the value loses credit.

State that $f$ is continuous on the closed interval before you search for extrema.

This is the condition under which the theorem guarantees that the extrema exist. For open or infinite intervals, make a sign chart and examine the limits at both ends to justify that the point you found is absolute.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhép thử ứng viên tìm cực trị tuyệt đốiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhép thử ứng viên tìm cực trị tuyệt đốiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđiểm tới hạn của hàm sốcritical point định lý giá trị cực biênextreme value theorem

Dẫn tớiLeads tophương pháp xét điểm ứng viêncandidates test bài toán tối ưuoptimization problem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

cực trị (địa phương)local extremum

Khác nhau ở đâuHow they differCực trị toàn cục là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên toàn miền xét. Cực trị địa phương chỉ lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với các điểm lân cận.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho đồ thị có nhiều đỉnh và đáy rồi hỏi giá trị lớn nhất trên [a, b]; học sinh chọn đỉnh cực đại nhưng quên so sánh với giá trị tại hai đầu mút.

điểm tới hạn của hàm sốcritical point

Khác nhau ở đâuHow they differĐiểm tới hạn là điểm có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại, chỉ là ứng viên. Cực trị toàn cục là giá trị cuối cùng được chọn sau khi so sánh mọi ứng viên.

Hay nhầm khiMixed up whenHọc sinh thấy

f'(c)=0

liền kết luận

f(c)

là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất, mà không kiểm tra đầu mút hay các điểm tới hạn khác.

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic