DucklingStudyDucklingStudy
Đăng nhậpSign in

AP Calculus BCAP Calculus AB

cực trịlocal extremum

local extremumVietnamese: cực trị

Còn gọi:Also called: relative extremum · relative extrema · local extrema

Cực trị (local extremum) là giá trị cực đại hoặc cực tiểu của hàm tại một điểm, so với các giá trị của hàm quanh điểm đó.A local extremum is a local maximum or local minimum value of a function at a point, compared with the function's values near that point.

Trực giác: Như đỉnh đồi hay đáy thung lũng: xung quanh đều thấp hơn (hoặc cao hơn), dù xa hơn có thể còn ngọn núi cao hơn.Intuition: Think of a hilltop or a valley floor: everything nearby is lower (or higher), even though a taller mountain may lie farther away.

Công thức chínhKey formula

f(x)≤f(c)∀x∈(c−δ, c+δ)f(x)\le f(c)\quad \forall x\in(c-\delta,\,c+\delta)
Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Cực trị là chỗ đồ thị đạt đỉnh hoặc đáy so với các điểm quanh nó. Hàm ff có cực đại tại x=cx=c nếu f(c)≥f(x)f(c)\ge f(x) với mọi xx trong một khoảng mở chứa cc. Cực tiểu thì ngược lại. Ví dụ f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x có cực đại f(−1)=2f(-1)=2 và cực tiểu f(1)=−2f(1)=-2.

Cực trị chỉ có thể nằm ở điểm cc mà f(c)f(c) xác định và f′(c)=0f'(c)=0 hoặc f′(c)f'(c) không tồn tại. Đó là điểm tới hạn. Điểm tới hạn chưa chắc là cực trị, ví dụ f(x)=x3f(x)=x^3 tại 00. Cực trị cũng khác giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên cả khoảng.

A local extremum is a point where a graph reaches a peak or a valley relative to the points around it. A function ff has a local maximum at x=cx=c if f(c)≥f(x)f(c)\ge f(x) for all xx in some open interval containing cc; a local minimum is defined the opposite way. For example, f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x has a local maximum f(−1)=2f(-1)=2 and a local minimum f(1)=−2f(1)=-2.

A local extremum can occur only at a point cc where f(c)f(c) is defined and either f′(c)=0f'(c)=0 or f′(c)f'(c) does not exist. Such a point is called a critical point. A critical point is not necessarily a local extremum; for example, f(x)=x3f(x)=x^3 at 00. A local extremum is also different from the absolute (global) maximum or minimum over the whole interval.

Ký hiệuNotation
  • •f′(c)=0f'(c)=0 hoặc f′(c)f'(c) không tồn tại tại điểm tới hạn x=cx=c
  • •f(c)f(c) là giá trị cực đại hoặc cực tiểu
  • •dấu của f′f' đổi qua cc và dấu của f′′(c)f''(c) dùng để phân loại.
Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas
f(x)≤f(c)∀x∈(c−δ, c+δ)\htmlClass{fp-0}{f(x)\le f(c)}\quad \htmlClass{fp-1}{\forall x\in(c-\delta,\,c+\delta)}

Dùng để kiểm tra trực tiếp một điểm có phải cực đại hay không, nhất là khi đạo hàm không tồn tại.Use this to test directly whether a point is a local maximum, especially when the derivative does not exist.

Trong đóWhere

ccđiểm thuộc miền xác định của ff, nơi ta xét cực trịδ\deltasố dương đủ nhỏ, xác định lân cận quanh ccf(c)f(c)giá trị của hàm tại cc, được so sánh với các giá trị lân cận
f′(c)=0 or f′(c) DNE\htmlClass{fp-0}{f'(c)=0}\ \text{or}\ \htmlClass{fp-1}{f'(c)\ \text{DNE}}

Dùng để tìm các điểm tới hạn, tức mọi ứng viên cực trị; sau đó còn phải xét dấu f′f' hoặc dùng f′′f''.Use this to find the critical points, which are all the candidates for local extrema; afterward, you still need to check the sign of f′f' or use f′′f''.

Trong đóWhere

ccđiểm trong khoảng mở thuộc miền xác định của ff, nghi là điểm cực trịf′(c)f'(c)đạo hàm của ff tại cc
Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

f′(c)=0f'(c)=0 chưa chắc là cực trị.

Đó chỉ là điểm tới hạn, tức một ứng viên. Với f(x)=x3f(x)=x^3, f′(0)=0f'(0)=0 nhưng f′f' không đổi dấu nên x=0x=0 không là cực trị. Phải xét dấu f′f' hai bên điểm đó.

Cực trị có thể nằm ở nơi f′f' không tồn tại.

Hàm f(x)=∣x∣f(x)=|x| có f(0)f(0) xác định và đạt cực tiểu tại x=0x=0, dù f′(0)f'(0) không tồn tại. Ở đó f′f' đổi dấu từ âm sang dương. Khi tìm điểm tới hạn, đừng bỏ sót các điểm như vậy.

Cực trị chưa chắc là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên cả khoảng.

Cực trị chỉ so f(c)f(c) với các điểm quanh cc. Giá trị lớn nhất phải so trên cả khoảng đang xét và có thể đạt tại đầu mút.

f′(c)=0f'(c)=0 does not guarantee a local extremum.

It only makes cc a critical point, which is a candidate. For f(x)=x3f(x)=x^3, f′(0)=0f'(0)=0 but f′f' does not change sign, so x=0x=0 is not a local extremum. You must check the sign of f′f' on both sides of the point.

A local extremum can occur where f′f' does not exist.

The function f(x)=∣x∣f(x)=|x| is defined at 00 and has a local minimum at x=0x=0, even though f′(0)f'(0) does not exist. There f′f' changes from negative to positive. When finding critical points, do not overlook points like this.

A local extremum is not necessarily the absolute maximum or minimum over the whole interval.

A local extremum compares f(c)f(c) only with points near cc. An absolute maximum must be compared over the entire interval under consideration and can occur at an endpoint.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Phải viết rõ f′f' đổi dấu thế nào quanh x=cx=c.

Chỉ ghi “f′(c)=0f'(c)=0 nên có cực đại” là chưa đủ. Hãy viết: “f′f' đổi dấu từ dương sang âm tại x=cx=c, nên ff có cực đại tại x=cx=c.”

Tìm mọi chỗ f′f' đổi dấu, kể cả chỗ f′f' không xác định mà ff liên tục.

Dương sang âm là cực đại, âm sang dương là cực tiểu. Nếu f′f' chỉ chạm trục rồi quay lại cùng phía thì không có cực trị.

State exactly how f′f' changes sign around x=cx=c.

Writing only “f′(c)=0f'(c)=0, so there is a local maximum” is not enough. Write instead: “f′f' changes from positive to negative at x=cx=c, so ff has a local maximum at x=cx=c.”

Find every place where f′f' changes sign, including points where f′f' is undefined but ff is continuous.

A change from positive to negative gives a local maximum, and from negative to positive gives a local minimum. If f′f' only touches zero and stays on the same side, there is no local extremum.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common
Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common
Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1684EuclidApolloniusIsaac NewtonGottfried Wilhelm Leibniz

Bài toán cực trị từng được giải bằng hình học thuần túy; năm 1684 Leibniz công bố bài báo về phép tính vi phân, dùng đạo hàm để tìm cực trị.
Extremum problems were once solved with purely geometric methods; in 1684 Leibniz published a paper on differential calculus, using derivatives to find extrema.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc hai tìm cực trịỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất tìm cực trị địa phươngỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn đạo hàm bậc hai tìm cực trịỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB
Cần trướcLearn firsthàm số đồng biếnincreasing function
Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn đạo hàm cấp mộtfirst derivative testbài toán tối ưuoptimization problem
Liên quanRelatedđạo hàmderivativeđiểm tới hạn của hàm sốcritical pointcực trị toàn cụcabsolute extremum
Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

cực trị toàn cụcabsolute extremum
Khác nhau ở đâuHow they differCực trị chỉ cần lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng nhỏ quanh điểm đó. Cực trị toàn cục phải lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên toàn bộ miền xác định đang xét.
Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "giá trị lớn nhất trên [a,b][a,b]" mà học sinh chỉ liệt kê các cực đại, quên so sánh với giá trị tại hai đầu mút.
điểm tới hạn của hàm sốcritical point
Khác nhau ở đâuHow they differĐiểm tới hạn là điểm có f′(x)=0f'(x)=0 hoặc f′(x)f'(x) không tồn tại. Cực trị là điểm tới hạn mà tại đó đạo hàm đổi dấu.
Hay nhầm khiMixed up whenVới f(x)=x3f(x)=x^3 thì f′(0)=0f'(0)=0 nên x=0x=0 là điểm tới hạn, nhưng đạo hàm không đổi dấu nên đó không phải cực trị.

Cùng chủ đềSame topic

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy.Written by DucklingStudy. © DucklingStudy. Xuất bảnPublished .