AP Calculus BCAP Calculus AB

bài toán tối ưuoptimization problem

optimization problemVietnamese: bài toán tối ưu

Bài toán tối ưu (optimization problem) là bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng bằng cách lập hàm số rồi dùng đạo hàm.An optimization problem asks for the largest or smallest value of a quantity, found by writing the quantity as a function and using its derivative.

Trực giác: Cắt bốn góc một tấm bìa vuông rồi gấp thành hộp: cắt góc quá nhỏ hoặc quá lớn đều được hộp chứa ít. Có một mức cắt cho hộp chứa nhiều nhất.Intuition: Cut equal squares from the corners of a square sheet of cardboard and fold it into a box. If the corners are cut too small or too large, the box holds less. Some cut size gives the box with the greatest volume.

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Bài toán tối ưu là tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng trong thực tế. Ta viết đại lượng đó thành hàm số $f(x)$ của một biến $x$ , kèm khoảng giá trị hợp lý của $x$ .

Ví dụ: hai số có tổng $10$ , tìm tích lớn nhất. Gọi số thứ nhất là $x$ , với $0\le x\le 10$ . Tích là $f(x)=x(10-x)$ . Giải $f'(x)=10-2x=0$ được $x=5$ , và $f(5)=25$ lớn hơn $f(0)=f(10)=0$ .

Trên đoạn đóng, so sánh $f$ tại điểm có $f'(x)=0$ (hoặc $f'$ không tồn tại) với hai đầu mút. Đáp số phải đúng đại lượng đề hỏi, kèm đơn vị.

An optimization problem asks for the maximum or minimum value of a quantity in a real-world setting. Write that quantity as a function $f(x)$ of one variable $x$ , together with the reasonable interval of values for $x$ .

Example: two numbers have a sum of $10$ , and we want their largest possible product. Let the first number be $x$ , with $0\le x\le 10$ . The product is $f(x)=x(10-x)$ . Solving $f'(x)=10-2x=0$ gives $x=5$ , and $f(5)=25$ is greater than $f(0)=f(10)=0$ .

On a closed interval, compare $f$ at each point where $f'(x)=0$ (or where $f'$ does not exist) with its values at the two endpoints. The final answer must be the exact quantity the problem asks for, with units.

Ký hiệuNotation

•Hàm mục tiêu thường viết là $A(x)$ , $V(x)$ hoặc $C(x)$ (diện tích, thể tích, chi phí)
•điểm tối ưu $x=c$ thỏa $f'(c)=0$ hoặc là đầu mút của miền.

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Giải $f'(x)=0$ chưa đủ để kết luận lớn nhất hay nhỏ nhất.

Tại điểm đó hàm có thể có cực đại, cực tiểu, hoặc không có cực trị. Phải xét dấu $f'$ hai bên điểm đó.

Đừng bỏ qua đầu mút.

Trên đoạn $[a,b]$ với $f$ liên tục, giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất có thể nằm tại $x=a$ hoặc $x=b$ . Hãy tính cả hai đầu mút rồi so sánh.

Giá trị $x$ tìm được chưa chắc là đáp số.

Đề có thể hỏi diện tích, chi phí hay kích thước của hình. Đọc lại câu hỏi, thay $x$ vào công thức cần tìm, rồi ghi kèm đơn vị.

Solving $f'(x)=0$ is not enough to conclude a maximum or minimum.

At that point the function may have a local maximum, a local minimum, or no extremum at all. You must check the sign of $f'$ on both sides of the point.

Do not ignore the endpoints.

On $[a,b]$ with $f$ continuous, the maximum or minimum can occur at $x=a$ or $x=b$ . Evaluate $f$ at both endpoints and compare.

The value of $x$ you find is not necessarily the final answer.

The problem may ask for an area, a cost, or a dimension of a figure. Reread the question, substitute $x$ into the formula for the requested quantity, and include units.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết rõ hàm cần tối ưu, điều kiện đề cho và khoảng giá trị của $x$ trước khi lấy đạo hàm.

Phần thiết lập thường được chấm điểm riêng. Viết thẳng đạo hàm bằng $0$ mà không nói hàm từ đâu ra có thể mất điểm dù tính đúng.

Bài AP phải có câu justification, không chỉ có con số.

Có ba cách. Một: bảng xét dấu $f'$ đổi dấu tại điểm tới hạn duy nhất $x=c$ . Hai: $f''<0$ (lớn nhất) hoặc $f''>0$ (nhỏ nhất) trên cả khoảng. Ba: trên đoạn đóng, so sánh $f$ tại điểm tới hạn và hai đầu mút.

Define the function to optimize, the given constraints, and the interval for $x$ before taking the derivative.

The setup is often scored separately. Setting a derivative equal to $0$ without showing where the function came from can cost points even if the calculation is correct.

An AP answer needs a justification, not just a number.

There are three ways. First, a sign chart showing $f'$ changes sign at the only critical point $x=c$ . Second, $f''<0$ (maximum) or $f''>0$ (minimum) on the entire interval. Third, on a closed interval, compare $f$ at the critical points and at both endpoints.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1646Pierre de FermatJohann BernoulliJoseph-Louis LagrangeLeonid KantorovichGeorge B. Dantzig

Năm 1696, Johann Bernoulli thách các nhà toán học tìm đường đi giúp vật chịu trọng lực di chuyển giữa hai điểm khác độ cao trong thời gian ngắn nhất, tức bài toán đường dốc nhanh nhất.

In 1696, Johann Bernoulli challenged mathematicians to find the path along which an object moving under gravity travels between two points at different heights in the least time, known as the brachistochrone problem.

Vì sao mang đúng cái tên này? Các nguồn đã đọc không giải thích vì sao khái niệm này mang tên "tối ưu hóa", nên phần này chỉ nói về một thuật ngữ phái sinh. Trong quy hoạch tuyến tính (linear programming), từ "programming" không có nghĩa là lập trình máy tính. Nó xuất phát từ chữ "program" mà quân đội Hoa Kỳ dùng để chỉ các lịch huấn luyện và hậu cần được đề xuất, đúng loại bài toán George B. Dantzig nghiên cứu thời đó. Dantzig đặt tên "quy hoạch tuyến tính" cho một số dạng bài toán tối ưu, dù phần lớn lý thuyết đã được Leonid Kantorovich đưa ra từ năm 1939. Năm 1947, Dantzig công bố thuật toán đơn hình (Simplex algorithm).

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo x dọc đồ thị A(x) — tiếp tuyến nằm ngang là lúc diện tích lớn nhất

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn bài toán tối ưuỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiải bài toán tối ưuỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhép thử ứng viên tìm cực trị tuyệt đốiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn bài toán tối ưuỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiải bài toán tối ưuỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhép thử ứng viên tìm cực trị tuyệt đốiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđiểm tới hạn của hàm sốcritical point

Dẫn tớiLeads tophương pháp xét điểm ứng viêncandidates test

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tốc độ biến thiên liên hệrelated rates

Khác nhau ở đâuHow they differBài toán tối ưu đi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng bằng cách cho đạo hàm bằng 0. Bài toán tốc độ biến thiên liên hệ đạo hàm hai vế theo thời gian để tìm tốc độ của đại lượng này từ đại lượng kia.

Hay nhầm khiMixed up whenCả hai đều bắt đầu từ một hình hay tình huống thực tế và một phương trình liên hệ các đại lượng; nếu đề hỏi "lớn nhất, nhỏ nhất" thì là tối ưu, còn hỏi "thay đổi nhanh bao nhiêu tại thời điểm nào đó" thì là tốc độ liên hệ.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 6, 365, 367.